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Fiche explicative de la leçon : Moyenne géométrique Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment trouver une moyenne géométrique entre deux termes non consécutifs d’une suite géométrique.

Dans de nombreux cas, nous associons la moyenne de deux nombres 𝑎 et 𝑏 à la quantité 𝑎+𝑏2, qui est la moyenne arithmétique. Cependant, ce n’est pas la seule notion de « moyenne ». Par exemple, la moyenne géométrique de deux nombres de même signe est définie comme étant la racine carrée du produit des deux nombres.

Définition : Moyenne géométrique de deux nombres

Étant donné une paire de nombres 𝑎 et 𝑏, de même signe, la moyenne géométrique de 𝑎 et 𝑏 est 𝑎𝑏.

Nous notons que nous ne pouvons pas prendre la moyenne géométrique entre deux nombres de signes opposés, car la racine carrée d’un nombre négatif donne un résultat non réel.

Quand 𝑎 et 𝑏 sont des nombres positifs, la moyenne géométrique des deux nombres est la longueur du côté du carré qui a la même aire que le rectangle dont les côtés ont pour longueurs 𝑎 et 𝑏.

L’aire du rectangle de gauche vaut 𝑎𝑏 et celle du carré de droite vaut 𝑎𝑏×𝑎𝑏=𝑎𝑏=𝑎𝑏.

Ainsi, le carré de côté 𝑎𝑏 a la même aire que le rectangle dont les côtés ont pour longueurs 𝑎 et 𝑏.

On peut aussi interpréter la moyenne géométrique de deux nombres dans le contexte de suites géométriques. On rappelle qu’une suite est dite géométrique si les termes consécutifs ont un rapport constant, appelé raison. En d’autres termes, le rapport entre les premier et deuxième termes est le même que le rapport entre les deuxième et troisième termes, et ainsi de suite. Par exemple, la suite (3;6;12;24;48) est géométrique où le rapport entre les deux premiers termes est 63=2. Nous pouvons voir que le rapport de toute paire de termes consécutifs est également égal à 2:2=63=126=2412=4824.

Quand on place ces termes sur une droite, on peut voir que la longueur de l’intervalle entre deux termes est toujours le double de la longueur de l’intervalle précédent.

En prenant la moyenne géométrique des premier et troisième termes de cette suite, 𝑎𝑎=3×12=36=6=𝑎.

En d’autres termes, le deuxième terme de la suite géométrique est la moyenne géométrique du terme précédent et suivant. De même, 12×48=576=24.

Ainsi, le quatrième terme, 24, est la moyenne géométrique de 12 et 48, qui sont le terme qui le précède et le terme qui le suit dans la suite géométrique.

Fait standard : Termes consécutifs d’une suite géométrique avec une raison positive

Étant donnée une suite géométrique avec une raison positive, tout terme intermédiaire de cette suite est la moyenne géométrique des deux termes voisins.

Dans notre premier exemple, nous calculerons la moyenne géométrique de deux nombres.

Exemple 1: Déterminer la moyenne géométrique de deux nombres

Déterminez la moyenne géométrique de 16 et 4.

Réponse

Rappelons que la moyenne géométrique de deux nombres 𝑎 et 𝑏 de même signe est 𝑎𝑏.

Sachant que 16 et 4 sont tous les deux positifs, leur moyenne géométrique est donnée par 16×4=64=8.

La moyenne géométrique de 16 et 4 est 8.

Dans l’exemple suivant, nous allons trouver la moyenne géométrique de deux expressions algébriques.

Exemple 2: Écrire une expression algébrique pour décrire la moyenne géométrique de deux termes

Déterminez la moyenne géométrique de 9𝑥 et 36𝑦.

Réponse

Rappelons que la moyenne géométrique de deux nombres 𝑎 et 𝑏 de même signe est 𝑎𝑏.

Étant donné que les deux expressions, 9𝑥 et 36𝑦, ont des puissances paires, ces quantités doivent être positives. Ainsi, leur moyenne géométrique est donnée par (9𝑥)×(36𝑦)=9×36𝑥𝑦=324𝑥𝑦.

On rappelle que la racine carrée peut être distribuée sur chaque facteur. En d’autres termes, 324𝑥𝑦=324×𝑥×𝑦=18𝑥𝑦.

Nous savons que la racine carrée peut être écrite comme une puissance 12. Rappelons que lorsque nous élevons une puissance à une autre puissance, nous multiplions les deux exposants:18𝑥×𝑦=180𝑥𝑦=18𝑥𝑦=18𝑥𝑦.

Par conséquent, la moyenne géométrique est 18𝑥𝑦.

On peut aussi calculer la moyenne géométrique de plus de deux nombres. Étant donné trois nombres 𝑎, 𝑏 et 𝑐, la moyenne géométrique est définie par 𝑎𝑏𝑐.

À la différence de la moyenne géométrique de deux nombres, la moyenne géométrique de trois nombres est bien définie même si les signes des nombres sont différents. Cependant, en pratique, seules des valeurs positives sont utilisées avec la moyenne géométrique.

Si 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres positifs, la moyenne géométrique représente la longueur du côté du cube qui a le même volume que le pavé droit dont les côtés ont pour longueurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐.

Le volume du pavé droit sur la gauche vaut 𝑎𝑏𝑐, tandis que le volume du cube sur la droite est donné par 𝑎𝑏𝑐×𝑎𝑏𝑐×𝑎𝑏𝑐=𝑎𝑏𝑐=𝑎𝑏𝑐.

Par conséquent, le pavé dont les côtés ont pour longueurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐 a le même volume que le cube dont la longueur d’un côté est donnée par leur moyenne géométrique. En général, la moyenne géométrique d’une suite de nombres peut être définie de manière analogue.

Définition : Moyenne géométrique d’une suite de nombres

Étant donné une suite de nombres 𝑎,𝑎,,𝑎, la moyenne géométrique de cette suite de nombres est 𝑎𝑎𝑎.

En particulier, le produit 𝑎𝑎𝑎 doit être positif lorsque 𝑛 est un entier pair.

Considérons un exemple où nous calculons la moyenne géométrique de trois nombres en utilisant cette formule.

Exemple 3: Déterminer la moyenne géométrique d’un ensembles de nombres

Déterminez la moyenne géométrique des nombres 6, 72 et 108.

Réponse

Rappelons que la moyenne géométrique d’une suite de nombres 𝑎,𝑎,,𝑎 est 𝑎𝑎𝑎.

Dans cet exemple, on nous donne trois nombres, ce qui conduit à 𝑛=3. Par conséquent, nous devons calculer 𝑎𝑎𝑎.

En remplaçant les valeurs 6, 72 et 108 pour 𝑎, 𝑎 et 𝑎, respectivement, 6×72×108=46656=36.

Ainsi, la moyenne géométrique des trois nombres donnés est 36.

Dans les exemples précédents, nous avons considéré la moyenne géométrique de deux nombres ou plus. Nous introduisons maintenant un concept relié, connu sous le nom de 𝑛-moyennes géométriques entre deux nombres.

Définition : 𝑛-moyennes géométriques

Étant donné une paire de nombres 𝑎 et 𝑏, les 𝑛-moyennes géométriques entre 𝑎 et 𝑏 sont les valeurs d’une suite géométrique entre 𝑎 et 𝑏 avec exactement 𝑛 termes entre les deux.

Nous pouvons voir que les 𝑛-moyennes géométriques entre deux nombres font référence à une suite de 𝑛 nombres, tandis que la moyenne géométrique de deux nombres correspond à un nombre. Notez que la 1-moyenne géométrique entre deux nombres est le seul terme entre la paire donnée de nombres faisant partie d’une suite géométrique. Comme tout terme intermédiaire dans une suite géométrique est la moyenne géométrique des deux termes voisins, une moyenne géométrique entre deux nombres est la même chose que la 1-moyenne géométrique de la paire donnée.

Déterminons les 𝑛-moyennes géométriques entre deux nombres dans l’exemple suivant.

Exemple 4: Insertion de moyennes géométriques entre deux nombres

Insérer cinq moyennes géométriques positives entre 2138 et 67219.

Réponse

Les 𝑛-moyennes géométriques entre une paire de nombres sont les 𝑛 termes d’une suite géométrique entre les deux nombres donnés. Puisque l’on doit trouver les 5-moyennes géométriques positives entre 2138 et 67219, nous devons d’abord identifier une suite géométrique positive commençant par 2138 et se terminant par 67219 avec exactement cinq termes entre les deux. Rappelons que le terme général d’une suite géométrique de premier terme 𝑎 et de raison 𝑟 est 𝑎=𝑎𝑟.

Puisque le premier terme de notre suite géométrique est 2138, nous avons 𝑎=2138. Puisqu’il y a cinq termes entre le premier et le dernier termes, nous pouvons voir que le dernier terme 67219 est le septième terme de cette suite géométrique, ce qui signifie que 𝑎=67219. En substituant 𝑛=7, 𝑎=2138 et 𝑎=67219 dans la formule ci-dessus, 67219=2138𝑟,𝑟=67219×3821=64.

Sachant que 6 est une puissance paire, prendre la racine 6-ième des deux côtés de l’équation donne des valeurs positive et négative 𝑟=6464,ou ce qui conduit à 𝑟=2 ou 𝑟=2. Cependant, sachant que nous recherchons une suite géométrique positive, nous pouvons ignorer la raison négative. Cela nous indique que notre suite géométrique a 𝑎=2138 et 𝑟=2. On sait qu’un terme dans une suite géométrique est obtenu en multipliant le terme précédent par la raison. Commençant par 𝑎=2138, on multiplie chaque terme par 2 pour obtenir la suite 2138,2119,4219,8419,16819,33619,67219.

Nous pouvons nous arrêter à 67219 étant donné qu’il s’agit du dernier terme de notre suite géométrique.

En prenant les cinq termes entre les premier et dernier termes de cette suite, les 5-moyennes géométriques positives entre la paire donnée de nombres sont 2119,4219,8419,16819,33619.

Dans l’exemple précédent, nous avons identifié les 𝑛-moyennes géométriques entre une paire donnée de nombres. En regardant de plus près, nous pouvons voir qu’il y a deux options possibles pour la suite géométrique dans cet exemple, une avec la raison positive 𝑟=2 et l’autre avec la raison négative 𝑟=2. Comme le problème spécifie des moyennes géométriques positives, nous avons ignoré la raison négative. Cependant, cela nous indique également que, sauf si les 𝑛-moyennes géométriques sont restreintes à un signe spécifique, nous pouvons avoir deux ensembles de 𝑛-moyennes géométriques entre deux nombres lorsque le nombre de moyennes géométriques est impair.

Par exemple, considérons la suite géométrique que nous avons regardé plus tôt:(3;6;12;24;48). Comme les termes 6, 12, 24 sont compris entre 3 et 48 dans la suite géométrique, ce sont les 3-moyennes géométriques comprises entre 3 et 48. Cependant, ce ne sont pas les seules 3-moyennes géométriques comprises entre 3 et 48. On sait aussi que (3;6;12;24;48) est une suite géométrique de raison 2 et les trois termes 6;12;24 sont compris entre 3 et 48 selon une suite géométrique. Par conséquent, 6;12;24 sont aussi des 3-moyennes géométriques comprises entre 3 et 48.

Dans l’exemple suivant, nous allons trouver toutes les 𝑛-moyennes géométriques possibles entre deux nombres.

Exemple 5: Déterminer les 𝑛-moyennes géométriques d’une suite géométrique donnée

Déterminer les 3-moyennes géométriques de la suite (2;;;;4802).

Réponse

Les 𝑛-moyennes géométriques entre une paire de nombres sont les termes d’une suite géométrique entre les deux nombres donnés. Par conséquent, nous devons d’abord identifier la suite géométrique commençant par 2 et se terminant par 4‎ ‎802 avec exactement trois termes entre les deux. Rappelons que le terme général d’une suite géométrique de premier terme 𝑎 et de raison 𝑟 est 𝑎=𝑎𝑟.

Comme le premier terme de notre suite géométrique est 2, nous avons 𝑎=2. On peut aussi voir que le terme 4‎ ‎802 est le cinquième terme de la suite géométrique, ce qui conduit à 𝑎=4802. En remplaçant 𝑛=5, 𝑎=2 et 𝑎=4802 dans la formule ci-dessus, 4802=2𝑟,𝑟=2401.cequidonne

Sachant que 4 est une puissance paire, prendre la racine quatrième des deux côtés de l’équation se traduira par des valeurs positives et négatives 𝑟=24012401,ou ce qui conduit à 𝑟=7 ou 𝑟=7. Ceci nous indique qu’il y a deux suites géométriques possibles avec les conditions données:la suite géométrique avec 𝑎=2 et 𝑟=7 et la suite géométrique avec 𝑎=2 et 𝑟=7. Déterminons d’abord la suite avec 𝑟=7. Nous savons que chaque terme d’une suite géométrique est obtenu en multipliant le terme précédent par la raison. En commençant par 𝑎=2, on multiplie chaque terme par 7 pour obtenir la suite 2,14,98,686,4802.

Nous pouvons nous arrêter à 4‎ ‎802, car il s’agit du dernier terme de notre suite. Ceci conduit aux 3-moyennes géométriques 14, 98, 686.

Ensuite, trouvons la suite géométrique de raison 7. En commençant par 2, on multiplie chaque terme par 7 pour obtenir 2,14,98,686,4802.

Cela nous donne les 3-moyennes géométriques 14;98;686.

Les 3-moyennes géométriques de la suite donnée sont 14,98,68614,98,686.ou

Dans notre dernier exemple, nous identifierons le nombre de 𝑛-moyennes géométriques entre deux nombres lorsque des informations suffisantes seront fournies.

Exemple 6: Déterminer le nombre de 𝑛-moyennes géométriques insérées entre deux nombres sous une condition donnée

Déterminer le nombre de 𝑛-moyennes géométriques insérées entre 82 et 1‎ ‎312 sachant que la somme des deux dernières 𝑛-moyennes est égale au double de la somme des deux premières 𝑛-moyennes.

Réponse

Rappelons que les 𝑛-moyennes géométriques entre deux nombres sont les termes d’une suite géométrique entre les deux nombres donnés. Dans cet exemple, nous avons besoin de trouver le nombre de 𝑛-moyennes géométriques entre 82 et 1‎ ‎312 pour que les 𝑛-moyennes satisfassent aux conditions données. On peut trouver le nombre de 𝑛-moyennes géométriques en identifiant d’abord la suite géométrique entre la paire donnée de nombres qui satisfait aux conditions données. Identifions la suite géométrique commençant par 82 et se terminant par 1‎ ‎312. S’il y a 𝑁 termes dans cette suite, on peut poser 𝑎=82,𝑎=1312.

Le terme général d’une suite géométrique de premier terme 𝑎 et de raison 𝑟 est 𝑎=𝑎𝑟.

On nous donne que la somme des deux dernières 𝑛-moyennes est égale à deux fois la somme des deux premières 𝑛-moyennes. Comme les 𝑛-moyennes géométriques excluent le premier terme, 𝑎, et le dernier terme, 𝑎, de la suite géométrique, les deux dernières 𝑛-moyennes sont 𝑎 et 𝑎. De même, les deux premières 𝑛-moyennes sont 𝑎 et 𝑎. En mettant la condition donnée dans une équation contenant ces termes, 𝑎+𝑎=2(𝑎+𝑎).

En utilisant la formule du terme général, on peut écrire 𝑎=𝑎𝑟=82𝑟,𝑎=𝑎𝑟=82𝑟,𝑎=𝑎𝑟=82𝑟,𝑎=𝑎𝑟=82𝑟.()()

Par conséquent, nous avons 82𝑟+82𝑟=282𝑟+82𝑟.

On peut factoriser par 82𝑟 du côté gauche de l’équation et par 82𝑟 du côté droit de l’équation:82𝑟(1+𝑟)=164𝑟(1+𝑟).

Nous savons que 𝑟1, car ce rapport ne créera qu’une suite géométrique avec des signes alternés 82;82;82;82, ce qui ne peut jamais atteindre 1‎ ‎312. 𝑟1 signifie 1+𝑟0, de sorte que nous pouvons diviser les deux côtés de l’équation par 82(1+𝑟) pour obtenir 𝑟=2𝑟.

On sait aussi que 𝑟0, car cela conduit à une suite de zéros après 82. En divisant les deux côtés de l’équation par 𝑟 on obtient 𝑟=2.

Maintenant, il y a deux inconnues dans cette équation, alors nous avons besoin d’une autre équation pour nous aider à trouver les inconnues. Nous savons que 𝑎=1312. En utilisant la formule pour les termes généraux de la suite géométrique, cela nous donne 82𝑟=1312.

Cela conduit à 𝑟=16. On peut diviser cette équation par l’équation pour 𝑟 et obtenir 82𝑟𝑟=13122=656.

En divisant les deux côtés de l’équation par 82 et en simplifiant la fraction, on obtient 𝑟=65682=8.()()

Puisque (𝑁1)(𝑁4)=3, nous avons 𝑟=8.

Cela nous donne 𝑟=8=2. Maintenant que nous connaissons 𝑟, on peut substituer cette valeur dans 𝑟=2 pour trouver 𝑁:2=2.

Si 2 élevé à une puissance est égal à 2, l’exposant doit être égal à 1. Par conséquent, 𝑁4=1,𝑁=5.cequidonne

Cela nous indique qu’il y a cinq termes dans cette suite géométrique. Vérifions cela en calculant la suite géométrique. En commençant par 82, nous multiplions chaque terme par le rapport 2 pour obtenir 82,164,328,656,1312.

On peut voir que 5 termes se trouvent exactement dans cette suite géométrique, en commençant par 82 et en finissant par 1‎ ‎312. Comme les 𝑛-moyennes géométriques n’incluent pas les premier et dernier termes, le nombre de 𝑛-moyennes géométriques est égal à 52=3.

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Étant donné une paire de nombres 𝑎 et 𝑏, de même signe, la moyenne géométrique de 𝑎 et 𝑏 est 𝑎𝑏.
  • Étant donné une suite de nombres 𝑎,𝑎,,𝑎, la moyenne géométrique de cette suite de nombres est 𝑎𝑎𝑎.En particulier, le produit 𝑎𝑎𝑎 doit être positif lorsque 𝑛 est un entier pair.
  • Étant donné une paire de nombres 𝑎 et 𝑏, les 𝑛-moyennes géométriques entre 𝑎 et 𝑏 sont les valeurs d’une suite géométrique allant de 𝑎 à 𝑏 avec exactement 𝑛 termes entre les deux.
  • Dans une suite géométrique de forme générale 𝑇=𝑇𝑟, les valeurs de 𝑇 à 𝑇 sont les (𝑛-2)-moyennes géométriques. La 𝑘-ième (𝑛-2)-moyenne géométrique est le (𝑘+1)-ième terme.
  • Comme les 𝑛-moyennes géométriques sont tous les termes d’une suite géométrique, à l’exception des premier et dernier termes d’une suite avec 𝑛 nombre de termes, il y a 𝑛2 moyennes géométriques entre 𝑇 et 𝑇.

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