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Vidéo de la leçon : Moyenne géométrique Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver des moyennes géométriques entre deux termes non consécutifs d’une suite géométrique.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver des moyennes géométriques entre deux termes non consécutifs d’une suite géométrique.

Lorsque nous pensons à la moyenne de deux nombres, nous pensons à la moyenne arithmétique. Donc si nous prenons deux nombres 𝑎 et 𝑏, nous additionnons ces nombres et les divisons par deux. Mais ce n’est pas la seule notion de « moyenne ». Par exemple, la moyenne géométrique de deux nombres ayant le même signe est définie comme la racine carrée du produit des deux nombres. Formellement, nous disons, étant donné une paire de nombres 𝑎 et 𝑏 avec le même signe, leur moyenne géométrique est la racine carrée de 𝑎 fois 𝑏. Notez que si les signes de 𝑎 et 𝑏 sont différents, leur produit sera négatif, et donc la moyenne géométrique est indéfinie.

Nous pensons également à la moyenne géométrique de deux nombres par rapport aux suites géométriques. Rappelez-vous qu’une suite géométrique est une suite de nombres qui a un rapport commun entre les termes successifs, appelé raison. Par exemple, prenons la suite avec les termes trois, six, 12, 24 et 48. La raison est obtenue en divisant un terme par le terme qui le précède. Donc c’est six divisé par trois ou 12 divisé par six et ainsi de suite. Mais de toute façon, nous trouvons que la raison est de deux. Maintenant, montrons ce qui se passe en prenant la moyenne géométrique du premier terme et du troisième terme de la suite.

Rappelez-vous, si 𝑎 et 𝑏 ont le même signe, leur moyenne géométrique est la racine carrée de leur produit. Donc dans ce cas, il s’agit de la racine carrée de trois fois 12 ou de la racine carrée de 36, ce qui est bien sûr égal à six. Puis, nous remarquons que cela est égal au deuxième terme de notre suite. Ainsi, la moyenne géométrique du premier et du troisième terme est la valeur du deuxième. Essayons à nouveau. Trouvons la moyenne géométrique du troisième terme et du cinquième terme. C’est la racine carrée de 12 fois 48, et c’est égal à 24. Et encore une fois, c’est le terme qui se situe entre nos deux termes. Ainsi, la moyenne géométrique du troisième terme et du cinquième terme est le quatrième terme.

Nous pouvons généraliser de la manière suivante. Étant donné une suite géométrique avec une raison positive, tout terme intermédiaire de la suite est la moyenne géométrique des deux termes voisins. Donc avec toutes ces définitions à l’esprit, commençons par trouver la moyenne géométrique d’une paire de nombres.

Trouvez la moyenne géométrique de 16 et quatre.

Rappelez-vous que si deux nombres 𝑎 et 𝑏 ont le même signe, alors leur moyenne géométrique est la racine carrée de 𝑎 fois 𝑏. Nos deux nombres sont 16 et quatre, et ils sont tous deux positifs. Posons 𝑎 égal à 16 et 𝑏 égal à quatre. Leur moyenne géométrique est alors la racine carrée de 16 fois quatre. Et bien que nous puissions appliquer les lois des radicaux pour simplifier cela, en fait 16 fois quatre égale 64, qui est lui-même un carré. Ainsi, puisque la racine carrée de 64 est égale à huit, la moyenne géométrique de 16 fois quatre est huit.

Nous avons démontré comment trouver la moyenne géométrique de deux nombres. Voyons maintenant comment étendre cela pour trouver la moyenne géométrique de deux expressions algébriques.

Trouvez la moyenne géométrique de 9𝑥 puissance 36 et de 36𝑦 puissance 40.

Rappelez-vous, si 𝑎 et 𝑏 sont deux nombres qui ont le même signe, alors leur moyenne géométrique est la racine carrée de 𝑎 fois 𝑏. Si les nombres ont des signes différents, alors le produit de 𝑎 et 𝑏 est négatif, et donc la moyenne géométrique n’est pas définie. Alors regardons de plus près les deux expressions algébriques que nous avons. Le premier est le produit de deux nombres positifs. Nous le savons parce que 𝑥 puissance 36 a une puissance paire, donc substituer par n’importe quel nombre réel dans cette expression, donnera un résultat positif. Et le terme suivant est aussi le produit de deux nombres positifs. 𝑦 à la puissance 40 a une puissance paire, et va donc être non négatif.

Ainsi, nous pouvons simplement substituer les expressions 9𝑥 puissance 36 et 36𝑦 puissance 40 pour 𝑎 et 𝑏, respectivement. Et donc la moyenne géométrique est la racine carrée de 9𝑥 puissance 36 fois 36𝑦 puissance 40. Et nous pourrions à ce stade multiplier neuf et 36 puis l’expression algébrique. Mais le produit de neuf et de 36 est un nombre assez important. Donc au lieu de cela, nous pouvons utiliser les lois des radicaux pour séparer chaque expression. Et quand nous le faisons, nous voyons que c’est égal à la racine carrée de neuf fois la racine carrée de 𝑥 à la puissance 36 fois la racine carrée de 36 fois la racine carrée de 𝑦 à la puissance 40. Ensuite, nous savons que la racine carrée de neuf est trois et la racine carrée de 36 est six. Trois fois six égale 18, donc le coefficient de notre expression finale sera 18.

Mais comment évaluons-nous la racine carrée de 𝑥 à la puissance 36 ? Eh bien, la racine carrée d’un nombre réel – appelons-le 𝑐 - peut être écrite comme 𝑐 à la puissance un demi. Ensuite, nous trouvons 𝑥 à la puissance 36 à la puissance un demi. Et pour simplifier cela, nous multiplions les exposants ; 36 fois un demi égale 18. Ainsi, la racine carrée de 𝑥 à la puissance 36 est 𝑥 à la puissance 18. Nous répétons cela avec la racine carrée de 𝑦 à la puissance 40. C’est 𝑦 à la puissance 40 à la puissance un demi. Et 40 fois un demi est égal à 20. Ainsi, la racine carrée de 𝑦 à la puissance 40 est 𝑦 à la puissance 20. Et donc nous avons notre moyenne géométrique ; elle est égale à 18𝑥 puissance 18 fois 𝑦 puissance 20.

Dans nos deux exemples précédents, nous avons calculé la moyenne géométrique d’une paire de nombres ou d’expressions. En fait, cette idée peut être étendue pour trouver la moyenne géométrique de n’importe quelle quantité de nombres. Prenez, par exemple, trois nombres 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Leur moyenne géométrique est la racine cubique du produit de ces trois nombres. Et notez que contrairement à la moyenne géométrique de deux nombres, la moyenne géométrique de trois nombres est bien définie même si les signes des nombres sont différents. Et c’est parce que la racine cubique d’un nombre négatif est définie. Cependant, en pratique, nous travaillons généralement uniquement avec des valeurs positives lors du calcul d’une moyenne géométrique. Étendons cela à 𝑛 nombres.

Étant donné 𝑛 nombres 𝑎 un, 𝑎 deux jusqu’à 𝑎 𝑛, la moyenne géométrique est donnée par la racine 𝑛-ième du produit de ces 𝑛 nombres, où le produit doit être positif si 𝑛 est un entier pair. Et en gardant cela à l’esprit, considérons un exemple où nous calculons la moyenne géométrique de trois nombres en utilisant cette formule.

Trouvez la moyenne géométrique des nombres six, 72 et 108.

Rappelez-vous, étant donné trois nombres 𝑎, 𝑏 et 𝑐, leur moyenne géométrique est la racine cubique de 𝑎𝑏𝑐, le produit de ces trois nombres. Nos nombres sont six, 72 et 108. Nous trouvons donc la moyenne géométrique en substituant ces trois nombres dans cette expression. Et donc la moyenne géométrique est la racine cubique de six fois 72 fois 108.

Maintenant, bien que nous puissions les multiplier puis évaluer la racine cubique en utilisant notre calculatrice, nous allons utiliser quelques astuces pour le faire de tête. Nous commençons par écrire chaque nombre comme un produit de ses facteurs premiers. Donc six égale deux fois trois, et nous pouvons utiliser un arbre de facteurs si nécessaire. 72 égale deux au cube fois trois au carré, et 108 égale deux au carré fois trois au cube. Et donc nous avons remplacé l’expression à l’intérieur de la racine cubique par deux fois trois fois deux au cube fois trois au carré fois deux au carré fois trois au cube.

Ensuite, nous remarquons que nous pouvons ajouter les exposants pour les nombres dont la base est la même puisque nous faisons une multiplication. Puisque deux et trois sont individuellement élevés à la puissance un, nous obtenons la racine cubique de deux à la puissance six fois trois à la puissance six. Puis nous notons que la racine cubique d’un nombre 𝑥 est la même chose que 𝑥 à la puissance un tiers. Et donc deux à la puissance six à la puissance un tiers est égal à deux au carré. De même, trois à la puissance six à la puissance un tiers est égal à trois au carré. Cela est égal à quatre fois neuf, ce qui est égal à 36. Ainsi, la moyenne géométrique des trois nombres six, 72 et 108 est 36.

Jusqu’à ce stade, nous avons étudié comment trouver la moyenne géométrique de deux nombres ou plus. Nous allons maintenant introduire un concept connexe connu sous le nom de 𝑛-moyennes géométriques entre deux nombres quelconques. Étant donné une paire de nombres, 𝑎 et 𝑏, les 𝑛-moyennes géométriques entre 𝑎 et 𝑏 sont les valeurs dans une suite géométrique de 𝑎 à 𝑏 avec exactement 𝑛 termes entre les deux. Donc nous voyons que c’est très différent de trouver la moyenne géométrique de deux nombres. L’un n’était qu’un seul nombre, tandis que l’autre est une suite de 𝑛 nombres. En fait, si nous considérons une suite géométrique avec 𝑛 termes, le nombre de moyennes géométriques entre le premier et le dernier terme est 𝑛 moins deux. Démontrons cela dans l’exemple suivant.

Insérez cinq moyennes géométriques positives entre 21 sur 38 et 672 sur 19.

Rappelez-vous que si nous avons une paire de nombres, les 𝑛-moyennes géométriques entre eux sont les 𝑛 termes d’une suite géométrique entre les deux nombres donnés. Nous cherchons à trouver cinq moyennes entre 21 sur 38 et 672 sur 19. Donc nous voulons trouver une suite géométrique, et conformément à la question elle sera positive, qui commence par 21 sur 38, se termine par 672 sur 19 et a exactement cinq termes entre les deux.

Nous allons donc utiliser la formule qui nous aide à trouver n’importe quel terme d’une suite géométrique. C’est 𝑎 𝑛 est égal à 𝑎 un fois 𝑟 à la puissance 𝑛 moins un, où 𝑟 est la raison. Pour qu’il y ait cinq termes entre le premier et le dernier, cela signifie nécessairement qu’il y a sept termes en tout. Ainsi, le premier terme, 𝑎 un, est 21 sur 38, et le septième terme, 𝑎 sept, est 672 sur 19. Cela signifie que nous pouvons générer une expression en fonction de 𝑟 pour le septième terme en utilisant le premier. C’est 𝑎 sept égale 21 sur 38 fois 𝑟 à la puissance sept moins un, ce qui peut être écrit 21 sur 38 fois 𝑟 à la puissance six.

Ensuite, nous savons que 𝑎 sept égale 672 sur 19. Donc nous pouvons résoudre cette équation pour 𝑟 en divisant les deux côtés par 21 sur 38. Cela nous donne 𝑟 à la puissance six est égal à 64. Ensuite, nous pouvons résoudre cette équation en prenant la racine sixième positive et négative de 64, ce qui nous donne que 𝑟 est égal à plus ou moins deux. Mais rappelez-vous, nous essayons de trouver des moyennes géométriques positives. Cela signifie que notre suite elle-même ne doit contenir que des termes positifs. Donc nous choisissons 𝑟 est égal à plus deux.

Maintenant, nous pouvons soit remplacer 𝑟 est égal à deux dans notre formule précédente, soit utiliser le fait que pour générer chaque terme dans une suite, nous le multiplions par la raison. Donc, le deuxième terme est égal au premier terme multiplié par deux, soit 21 sur 19. Le troisième terme est égal au deuxième terme fois deux, soit 42 sur 19. Nous continuons ainsi, ce qui nous donne un quatrième terme de 84 sur 19, un cinquième terme de 168 sur 19 et un sixième terme de 336 sur 19. Et en fait, si nous multiplions cette valeur par deux, nous obtiendrons 672 sur 19, comme prévu. Ainsi, nos cinq moyennes géométriques positives sont 21 sur 19, 42 sur 19, 84 sur 19, 168 sur 19 et 336 sur 19.

Dans cet exemple, nous avons examiné les moyennes géométriques entre une paire de nombres donnée. Mais rappelez-vous, nous aurions pu générer deux suites possibles. La première, celle que nous avons examinée, avait la raison positive 𝑟 égale deux, mais l’autre avait une raison négative 𝑟 égale moins deux. Et donc ce que cela nous dit, c’est qu’à part si les moyennes géométriques sont limitées à un signe spécifique, nous pouvons générer deux ensembles de 𝑛-moyennes géométriques entre deux nombres lorsque le nombre de moyennes géométriques est impair. Regardons un dernier exemple.

Trouvez les moyennes géométriques de la suite dont le premier terme est deux et dont le dernier terme est 4802.

Rappelez-vous que les 𝑛-moyennes géométriques entre deux nombres sont les 𝑛 termes d’une suite géométrique entre les deux nombres donnés. Donc nous allons devoir identifier la suite dont le premier terme est deux et dont le dernier terme est 4802 et où il y a exactement trois termes entre eux. Ainsi, nous utilisons la formule du 𝑛-ième terme d’une suite géométrique avec le premier terme 𝑎 un et la raison 𝑟. C’est 𝑎 𝑛 égale 𝑎 un fois 𝑟 à la puissance 𝑛 moins un.

Le premier terme de notre suite est deux ; et le cinquième terme est 4802. Puis en utilisant notre formule, nous pouvons exprimer cela en fonction de 𝑟 ; c’est deux fois 𝑟 à la puissance cinq moins un ou deux fois 𝑟 à la puissance quatre. Donc, nous avons maintenant une équation que nous pouvons résoudre pour trouver la valeur de 𝑟.

Nous commençons par diviser les deux côtés de cette équation par deux. Donc, 𝑟 à la puissance quatre est 2401. Ensuite, nous pouvons trouver la quatrième racine positive et négative de 2401. Et rappelez-vous, nous le faisons parce que quatre est un exposant pair ou puissance paire, et cela nous donne une valeur pour 𝑟 de plus ou moins sept. Et donc il y a en fait deux séquences possibles qui nous intéressent. La première est quand 𝑟 est égal à sept. En commençant par notre premier terme deux, nous multiplions par sept à chaque fois. Et cela nous donne la suite deux, 14, 98, 686 et 4802. Et si 𝑟 est égal à moins sept, nous changeons le signe du 14 et du 686. Ainsi, les moyennes géométriques de cette suite sont 14, 98, 686 ou moins 14, 98 et moins 686.

Récapitulons maintenant les points clés de cette leçon. Dans cette leçon, nous avons appris que nous pouvons trouver la moyenne géométrique de n’importe quelle quantité de nombres. Étant donné 𝑛 nombres de 𝑎 un à 𝑎 𝑛, la moyenne géométrique est la racine 𝑛-ième du produit de ceux-ci. Mais si 𝑛 est un entier pair, alors leur produit doit être positif. Nous avons vu que les 𝑛-moyennes géométriques entre une paire de nombres sont les valeurs d’une suite géométrique entre ces deux nombres avec exactement 𝑛 termes entre eux. Et puis il est également logique que si on nous donne une suite géométrique avec 𝑛 termes, il doit y avoir 𝑛 moins deux termes entre le premier et le dernier de ceux-ci.

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