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Utilisez la dérivation logarithmique pour déterminer la dérivée de la fonction 𝑦 égale deux cosinus 𝑥 à la puissance 𝑥.
Nous voulons trouver la dérivée de 𝑦 égale deux cosinus 𝑥 à la puissance 𝑥. En d’autres termes, nous voulons trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Et on nous donne une indication sur la façon de le faire. On nous dit d’utiliser la dérivation logarithmique. Alors, que signifie la dérivation logarithmique ?
Eh bien, la partie logarithmique d’une dérivation logarithmique est de prendre le logarithme népérien des deux membres de cette équation. La partie dérivation de la dérivation logarithmique consiste à ensuite dériver les deux membres. Mais avant de faire cela, utilisons certaines lois des logarithmes pour faciliter la dérivation du membre droit.
La première chose que nous pouvons faire est d’écrire le logarithme d’un produit comme la somme de deux logarithmes. Mais cela n’est pas particulièrement utile aux fins de la dérivation logarithmique. La loi vraiment utile des logarithmes est que le logarithme de 𝑎 à la puissance 𝑏 est 𝑏 fois le logarithme de 𝑎. Donc, avec 𝑎 égal à cosinus 𝑥 et 𝑏 égal à 𝑥, nous découvrons que le logarithme népérien de 𝑦 ln 𝑦 est ln deux plus 𝑥 ln cos 𝑥.
Bon, maintenant que nous avons simplifié autant que possible en utilisant les lois des logarithmes, il est temps de passer à la partie dérivation de la dérivation logarithmique. Et donc nous dérivons les deux membres par rapport à 𝑥. Laissons de la place pour faire cette dérivation. Comment dérivons-nous ln 𝑦 par rapport à 𝑥 ? Eh bien, nous pouvons appliquer la règle de dérivation en chaîne. Avec 𝑓 égal à ln 𝑦, alors la quantité que nous recherchons est 𝑑𝑓 sur 𝑑𝑥.
Et la règle de la dérivation en chaîne nous dit que c’est 𝑑𝑓 sur 𝑑𝑦 fois 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Donc, ici, nous appliquons simplement la règle de dérivation en chaîne avec 𝑓 égal à ln 𝑦. Et quel est 𝑑 ln 𝑦 par 𝑑𝑦 - la dérivée de ln 𝑦 par rapport à 𝑦 ? C’est juste un sur 𝑦. La dérivée de la fonction du logarithme népérien est la fonction inverse.
Bon, maintenant, passons au membre droit, la dérivée d’une somme est la somme des dérivées. Et comme le logarithme népérien de deux ln deux n’est qu’une constante, sa dérivée par rapport à 𝑥 est nulle. Nous devons nous inquiéter de l’autre terme. C’est la dérivée du produit de 𝑥 et de ln cosinus 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous devrions donc appliquer la règle de dérivation du produit.
Nous appliquons la règle de dérivation du produit. Prenez un moment ici si vous souhaitez mettre la vidéo en pause et vérifier que nous l’avons correctement appliquée. Et nous pouvons voir que le deuxième terme que nous obtenons est relativement simple. 𝑑 sur 𝑑𝑥 de 𝑥 vaut un. Et donc ce terme est juste ln cosinus 𝑥. L’autre dérivée est un peu plus difficile. Pour la calculer, nous allons à nouveau avoir besoin de la règle de dérivation en chaîne.
Si nous posons 𝑓 égale à ln cosinus 𝑥, alors nous recherchons 𝑑𝑓 sur 𝑑𝑥. Et appelons notre variable auxiliaire dans la règle de dérivation en chaîne 𝑧. Définissons 𝑧 égale à cosinus 𝑥, donc 𝑓 est juste ln 𝑧. Ici, je viens d’utiliser la définition de 𝑓 pour écrire 𝑑 sur 𝑑𝑥 sur ln cosinus 𝑥 comme 𝑑𝑓 sur 𝑑𝑥. Maintenant, nous pouvons appliquer la règle de derivation e chaîne. 𝑑𝑓 sur 𝑑𝑥 est 𝑑𝑓 sur 𝑑𝑧 fois 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥. Qu’est-ce que 𝑑𝑓 sur 𝑑𝑧 ? Comme 𝑓 égale ln 𝑧, 𝑑𝑓 sur 𝑑𝑧 est un sur 𝑧. Et quel était 𝑧 ? Eh bien, c’était notre variable auxiliaire, qui se redéfinit pour être cosinus 𝑥.
Remplaçons donc 𝑧 par cosinus 𝑥 pour que tout soit écrit en fonction de 𝑥. Maintenant, qu’est-ce que 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥 ? Eh bien, 𝑧 est toujours cosinus 𝑥 et la dérivée de cosinus 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins sinus 𝑥. Donc voilà, nous avons appliqué la règle de dérivation en chaîne. Nous avons constaté que la dérivée de ln cosinus 𝑥 est un sur cosinus 𝑥 fois moins sinus 𝑥, que nous pouvons bien sûr écrire sous la forme d’une seule fraction. C’est moins sinus 𝑥 sur cosinus 𝑥, que nous pouvons simplifier encore à moins 10𝑥.
Ceci est peut-être un peu surprenant et il s’avère que c’est un fait relativement utile plus tard. Quoi qu’il en soit, rappelez-vous que nous recherchons 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Et nous l’avons presque obtenue. Sur le membre gauche, nous en avons un sur 𝑦 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Et donc nous pouvons multiplier les deux membres par 𝑦 pour trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 en fonction de 𝑥 et 𝑦. Dans la mesure du possible, nous aimons donner 𝑑𝑦 un 𝑑𝑥 en fonction de 𝑥 seul. Et c’est possible ici parce que nous pouvons substituer deux fois cosinus 𝑥 à la puissance 𝑥 par 𝑦.
En faisant cette substitution, en réarrangeant, et en écrivant 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 comme 𝑦 prime, nous obtenons notre réponse finale 𝑦 prime est deux cosinus 𝑥 à la puissance 𝑥 fois ln cosinus 𝑥 moins 𝑥 10𝑥.
