Transcription de la vidéo
Étant donné que 𝐵 est la matrice formée des éléments un, moins trois et sept, moins trois et que 𝐵 moins la transposée de 𝐵 le tout transposé est égal à 𝐴, déterminez la valeur de 𝑎 un deux plus 𝑎 deux un.
Commençons par clarifier certaines des notations de la question. Ces 𝑇 en exposants sont utilisés pour désigner la transposée d’une matrice. La transposée d’une matrice est la matrice trouvée en échangeant les lignes et les colonnes de cette matrice. Par exemple, la première colonne d’une matrice 𝐵 devient la première ligne de la matrice transposée de 𝐵 et ainsi de suite. Nous verrons comment trouver la transposée de ces matrices particulières au cours de la question.
La notation 𝑎 minuscule, puis un et deux en indices, désigne l’élément de la première ligne et de la seconde colonne de la matrice 𝐴 majuscule. Et de la même manière, la notation 𝑎 minuscule, puis deux un en indices, signifie l’élément de la seconde ligne et de la première colonne de la matrice 𝐴 majuscule.
On nous dit que la matrice 𝐴 est égale à 𝐵 moins la transposée de 𝐵 le tout transposée. Ainsi, afin de déterminer la valeur de cette somme, nous devons déterminer la matrice 𝐴. Commençons par déterminer la transposée de 𝐵. Donc, c’est la transposée de la matrice formée des éléments un, moins trois et sept, moins trois.
La transposée est trouvée en échangeant les lignes et les colonnes. Ainsi, la première ligne de la matrice 𝐵, qui est la ligne un, moins trois devient la première colonne de la matrice transposée de 𝐵. Et ensuite, la seconde ligne de la matrice 𝐵 devient la seconde colonne de la matrice transposée de 𝐵. Donc, la transposée de 𝐵 est la matrice formée des éléments un, sept et moins trois, moins trois.
Ensuite, nous devons calculer la matrice 𝐵 moins la transposée de 𝐵. Donc, nous prenons la matrice que nous venons de trouver pour la transposée de 𝐵 et nous la soustrayons à notre matrice 𝐵. Pour soustraire deux matrices, qui doivent être du même ordre, on soustrait les éléments correspondants. Donc, dans la première ligne et la première colonne, nous avons un moins un. Dans la première ligne et la seconde colonne, nous avons moins trois moins sept. Dans la seconde colonne et la seconde ligne, nous avons sept moins moins trois. Et dans la seconde colonne et la seconde ligne, nous avons moins trois moins moins trois.
Le calcul de chacune de ces soustractions donne la matrice formée des éléments zéro, moins 10 et 10, zéro. Ainsi la matrice 𝐴 est la transposée de cette matrice, donc la transposée de la matrice zéro, moins 10 et 10, zéro.
La première ligne devient la première colonne de la matrice transposée, donnant zéro, puis moins 10. Et puis la seconde ligne devient la seconde colonne de la matrice transposée. Ainsi, la matrice 𝐵 moins la transposée de 𝐵 le tout transposé est égal à zéro, 10 et moins 10, zéro.
Rappelez-vous qu’on nous demande de déterminer la valeur de 𝑎 un deux plus 𝑎 deux un. L’élément de la première ligne et de la seconde colonne est égal à 10. Et l’élément de la seconde colonne et de la seconde ligne est égal à moins 10. Ainsi, la somme de ces deux éléments, 10 plus moins 10, est égale à zéro. Nous avons alors constaté que si 𝐵 est la matrice un, moins trois et sept, moins trois et 𝐴 est la matrice 𝐵 moins la transposée de 𝐵 le tout transposé, alors la valeur de 𝑎 un deux plus 𝑎 deux un est égale à zéro.
