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Un condensateur de 135 microfarads et un condensateur de 264 microfarads peuvent être combinés en série ou en parallèle. Trouvez le rapport entre la capacité totale en parallèle et la capacité totale en série. Donnez votre réponse arrondie à deux décimales près.
Commençons par dessiner des schémas montrant les deux agencements possibles de ces deux condensateurs. Ils peuvent soit être combinés en série, ce qui signifie l’un après l’autre sur le même chemin comme ceci, ou ils peuvent être combinés en parallèle, ce qui signifie que chaque condensateur est sur une branche distincte ou parallèle du circuit. Nous pouvons ensuite ajouter une pile et transformer chacun de ces schémas en un circuit complet. Nous allons nommer les deux capacités 𝐶 un et 𝐶 deux. Disons que 𝐶 un est la capacité de 135 microfarads et que 𝐶 deux est la capacité de 264 microfarads.
On nous demande de déterminer le rapport de la capacité totale lorsque les condensateurs sont connectés en parallèle et de la capacité totale lorsqu’ils sont connectés en série. Si nous notons la capacité totale en série 𝐶 indice S et la capacité totale en parallèle 𝐶 indice P, alors ce rapport qu’on nous demande de calculer est égal à 𝐶 indice P divisé par 𝐶 indice S. Afin de trouver les valeurs de 𝐶 indice P et 𝐶 indice S, nous devrons rappeler comment nous combinons les capacités en série et en parallèle.
Commençons par le cas où les condensateurs sont connectés en parallèle. Nous pouvons rappeler que si nous connectons plusieurs condensateurs ensemble en parallèle, alors la capacité totale est égale à la somme des capacités individuelles. C’est-à-dire que si nous connectons plusieurs condensateurs en parallèle avec des capacités de 𝐶 un, 𝐶 deux, 𝐶 trois, etc., alors la capacité totale 𝐶 indice T est égale à 𝐶 un plus 𝐶 deux plus 𝐶 trois et ainsi de suite.
Dans notre cas, nous venons de connecter deux condensateurs en parallèle, et nous avons noté leur capacité totale 𝐶 indice P. Nous avons donc que 𝐶 indice P est égal à 𝐶 un plus 𝐶 deux. Lorsque nous insérons nos valeurs pour 𝐶 un et 𝐶 deux, nous constatons que 𝐶 indice P est égal à 135 microfarads plus 264 microfarads, ce qui équivaut à 399 microfarads.
Maintenant que nous avons trouvé la capacité totale en parallèle, libérons de l’espace et concentrons notre attention sur le cas où les deux condensateurs sont connectés en série.
Afin de calculer 𝐶 indice S, la capacité totale en série, nous devons rappeler que lorsque nous combinons plusieurs condensateurs ensemble en série, nous ajoutons les inverses des différentes capacités, ce qui nous donne l’inverse de la capacité totale. Dans notre cas, nous avons nommé la capacité totale en série 𝐶 indice S. Nous avons donc que un sur 𝐶 indice S est égal à un sur 𝐶 un plus un sur 𝐶 deux.
Nous pouvons ajouter les fractions sur le côté droit en les mettant au même dénominateur. Et nous pouvons y parvenir en multipliant la première fraction un sur 𝐶 un par 𝐶 deux sur 𝐶 deux et en multipliant la deuxième fraction un sur 𝐶 deux par 𝐶 un sur 𝐶 un. Nous pouvons alors réécrire le côté droit de l’équation comme 𝐶 un plus 𝐶 deux divisé par 𝐶 un fois 𝐶 deux.
Enfin, pour faire de 𝐶 indice S le sujet de l’équation, nous voulons prendre l’inverse de chaque côté de l’équation, c’est-à-dire calculer un divisé par chaque terme de l’équation. Lorsque nous faisons un divisé par un sur 𝐶 indice S, cela nous donne simplement 𝐶 indice S. Ensuite, à droite, lorsque nous calculons un divisé par une fraction, l’effet est d’inverser le numérateur et le dénominateur de la fraction. Nous nous retrouvons donc avec 𝐶 un fois 𝐶 deux divisé par 𝐶 un plus 𝐶 deux.
Si nous remplaçons maintenant 𝐶 un par 135 microfarads et 𝐶 deux par 264 microfarads, nous nous retrouvons avec cette expression pour 𝐶 indice S. Au numérateur, nous avons 135 microfarads multipliées par 264 microfarads. Et cela équivaut à 35640 microfarads carrés. Ensuite, au dénominateur, 135 microfarads plus 264 microfarads équivaut à 399 microfarads. Nous pouvons annuler un facteur de microfarads au numérateur et au dénominateur, ce qui nous laisse avec des unités de microfarads. Le calcul de l’expression donne un résultat pour 𝐶 indice S de 89,3233 etc. microfarads.
Maintenant que nous avons des valeurs pour 𝐶 indice P, la capacité totale en parallèle, et 𝐶 indice S, la capacité totale en série, libérons de l’espace et calculons le rapport 𝐶 indice P divisé par 𝐶 indice S.
Lorsque nous insérons nos valeurs calculées de 𝐶 indice P et 𝐶 indice S dans ce rapport de capacités, nous obtenons cette expression ici. Et puisque nous avons des unités de microfarads au numérateur et au dénominateur, ces unités s’annulent, nous laissant avec une grandeur sans dimension. Maintenant, cela a du sens parce que ce que nous calculons n’est pas une capacité mais plutôt un rapport entre deux capacités.
En faisant la division sur le côté droit, nous obtenons un résultat de 4,4669 etc. Puisque ce rapport est supérieur à un, cela signifie que 𝐶 indice P est plus grand que 𝐶 indice S, ce que nous pouvons également voir en regardant nos capacités calculées individuellement. Exprimée en mots, cette affirmation dit que la capacité totale de ces deux condensateurs connectés en parallèle est supérieure à la capacité totale de ces deux mêmes condensateurs connectés en série.
En fait, en bref, nous pouvons montrer que cette affirmation serait toujours vraie quelles que soient les valeurs que nous avons pour les capacités individuelles 𝐶 un et 𝐶 deux. Rappelons que 𝐶 indice P est égal à 𝐶 un plus 𝐶 deux. Et nous avons montré que 𝐶 indice S est égal à 𝐶 un fois 𝐶 deux divisé par 𝐶 un plus 𝐶 deux. Donc, en utilisant ces expressions à la place de 𝐶 indice P et 𝐶 indice S dans ce rapport, nous avons 𝐶 un plus 𝐶 deux divisé par la fraction 𝐶 un fois 𝐶 deux sur 𝐶 un plus 𝐶 deux.
Nous pouvons alors réécrire ce rapport comme ceci, avec deux facteurs de 𝐶 un plus 𝐶 deux au numérateur divisé par 𝐶 un fois 𝐶 deux au dénominateur. En développant les parenthèses du numérateur, nous avons 𝐶 un au carré plus 𝐶 deux au carré plus deux multiplié par 𝐶 un fois 𝐶 deux. Nous pouvons ensuite diviser cette fraction en deux fractions individuelles. Dans la première fraction, nous pouvons annuler 𝐶 un au numérateur avec 𝐶 un au dénominateur. Et nous pouvons faire la même chose avec les facteurs de 𝐶 deux. Alors ce premier terme est simplement égal à deux.
Le deuxième terme doit être positif car les condensateurs ne peuvent avoir que des valeurs positives. Cela signifie que la somme de ces deux termes doit être supérieure à cette valeur de deux. Donc, non seulement nous avons montré que le rapport 𝐶 indice P sur 𝐶 indice S doit être supérieur à un, ce qui rend 𝐶 indice P supérieur à 𝐶 indice S, mais en fait nous avons montré que ce rapport doit être supérieur à deux.
En formulant cette affirmation, nous pouvons dire que pour deux condensateurs, la capacité totale lorsque nous les combinons en parallèle doit être au moins deux fois la capacité totale lorsque nous les combinons en série.
Revenons maintenant à la question posée. Nous avons constaté que pour les deux capacités qui nous sont données dans cette question, le rapport de la capacité totale en parallèle 𝐶 indice P et de la capacité totale en série 𝐶 indice S est égal à 4,4669 etc. Ce rapport est exactement ce que la question nous demandait de trouver, mais on nous demande de donner notre réponse arrondie à deux décimales près. Donc, en arrondissant notre résultat à deux décimales, nous obtenons notre réponse finale de 4,47.
Le rapport entre la capacité totale en parallèle et la capacité totale en série, à deux décimales près, est de 4,47.
