Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment calculer la capacité totale de plusieurs condensateurs connectés dans des combinaisons en série et en parallèle.
Pour commencer, rappelons les lois de Kirchhoff, qui nous aideront à comprendre les effets des différentes façons de combiner des condensateurs :
- Le courant arrivant à une jonction est égal au courant sortant de la jonction.
- La somme des différences de tension autour d’une boucle fermée est égale à zéro.
Nous entamerons notre analyse en étudiant les condensateurs combinés en parallèle, comme illustré sur le schéma ci-dessous :
Notez que chaque condensateur se trouve sur sa propre branche de ce circuit, et rappelez-vous que chaque branche dans un circuit parallèle reçoit la même tension, c’est-à-dire la même différence de potentiel. La deuxième loi de Kirchhoff confirme cela. Ainsi, la différence de potentiel aux bornes du condensateur 1, que nous pouvons appeler , est égale à la différence de potentiel du deuxième condensateur, , et la différence de potentiel fournie par la batterie, . Cette relation générale est exprimée mathématiquement ci-dessous.
Dans le schéma ci-dessus, nous avons deux condensateurs, mais les pointillés dans l’équation ci-dessous (et d’autres dans cette fiche explicative) impliquent que la relation continue pour tous les condensateurs que nous pourrions envisager :
La première loi de Kirchhoff stipule que le courant entrant dans une branche d’un circuit est égal à celui qui en sort. De plus, rappelez-vous que la quantité de charge qui passe à travers une branche d’un circuit est égal au produit du courant dans la branche et du temps pendant lequel la charge circule. Ainsi, lorsque le circuit est fermé et qu’on permet aux condensateurs de se charger pendant un certain temps, les charges sur tous les condensateurs (ici et ) s’additionnent pour donner la charge totale dans tout le circuit, , comme :
Nous savons déjà que nous pouvons relier la différence de potentiel et la charge à la capacité en utilisant l’équation , qui peut être réécrite sous la forme
Appliquons cela à l’équation de charge donnée ci-dessus en remplaçant « » au lieu de « », comme :
Rappelez-vous que les valeurs de la différence de potentiel aux bornes des composants combinés en parallèle sont équivalentes, donc nous pouvons diviser toute cette équation par la différence de potentiel. Cela donne l’équation que nous utilisons pour relier la valeur de la capacité totale à celle de chaque condensateur dans une combinaison parallèle.
Définition : capacité totale pour la combinaison parallèle
La capacité totale d’une combinaison parallèle de condensateurs est donnée par
Nous allons nous entraîner à combiner des condensateurs en parallèle dans les exemples suivants.
Exemple 1: Combinaison de condensateurs en parallèle
Le circuit sur le schéma contient deux condensateurs connectés en parallèle. Quelle est la capacité totale du circuit ?
Réponse
Commençons par rappeler l’équation des condensateurs combinés en parallèle :
Comme nous avons ici deux condensateurs en parallèle et que nous connaissons leurs valeurs, nous sommes prêts à les additionner pour déterminer la capacité totale du circuit :
Ainsi, nous avons trouvé que la capacité totale de ce circuit est de 100 µF.
Exemple 2: Combiner des condensateurs en parallèle
Le circuit sur le schéma contient deux condensateurs connectés en parallèle. La capacité totale du circuit est de 240 µF. Quelle est la capacité ?
Réponse
Ici, nous devons déterminer la valeur de capacité inconnue , et nous pouvons commencer en regardant l’équation de la capacité totale d’une combinaison en parallèle :
Ainsi, les valeurs de capacité individuelles s’additionnent tout simplement pour donner une valeur de capacité totale. En remplaçant les valeurs qu’on nous a données, l’équation deviant :
Nous pouvons résoudre en fonction de en soustrayant 135 µF des deux côtés de l’équation :
Ainsi, nous avons trouvé que la capacité est égale à 105 µF.
Concentrons-nous maintenant sur la combinaison de condensateurs en série, comme illustré sur le schéma cidessous.
Rappelons que le courant est égal en tous points dans un circuit en série, ce qui est confirmé par la première loi de Kirchhoff. Cela signifie que les condensateurs en série stockent des charges égales. Ainsi, pour une combinaison en série,
En raison de la deuxième loi de Kirchhoff, nous savons que la somme des différences de potentiel entre les bornes des composants dans une boucle fermée est égale à zéro. Une combinaison en série forme une seule boucle fermée, donc la somme des différences de potentiel aux bornes des condensateurs doit être égale à la différence de potentiel aux bornes de la batterie. Donc,
Une fois encore, rappelez-vous que la capacité, la différence de potentiel et la charge de tout condensateur sont données par , qui peut être réarrangé sous la forme
On peut remplacer cela dans l’équation de la différence de potentiel ci-dessus pour que la relation soit écrite sous la forme
Nous avons déjà déterminé que les charges sur tous les composants du circuit en série sont équivalentes, de sorte que nous pouvons diviser l’équation entière par la charge. Et nous avons une relation pour décrire les valeurs de capacité dans une combinaison en série.
Définition : capacité totale pour une combinaison en série
La capacité totale d’une combinaison de condensateurs en série est donnée par
Remarquez que cette équation donne une relation inverse, ce qui signifie que lorsque on ajoute des condensateurs en série, la capacité totale diminue. Nous explorerons ce concept dans les exemples suivants.
Exemple 3: Combiner des condensateurs en série
Deux condensateurs, et , sont connectés en série, où . Laquelle des affirmations suivantes donne la relation correcte entre la capacité totale, , et les capacités et ?
Réponse
Le choix A peut vous sembler familier, mais cette équation ne s’appliquerait que si les deux condensateurs étaient en parallèle, et non en série. Par conséquent, A est incorrect. L’équation de la capacité totale de deux condensateurs en série est :
On ne peut ni réécrire ni simplifier cette équation pour obtenir celles données en B ni en C, donc ces deux choix sont incorrects. Bien que l’équation ci-dessus ne soit pas directement exprimée parmi les choix de réponse possibles, nous pouvons l’utiliser pour comparer les grandeurs de , , et pour déterminer lequel parmi les choix D et E est correct.
Vu la relation inverse dans l’équation ci-dessus, nous pouvons dire qu’au fur et à mesure que des condensateurs sont ajoutés en série, la capacité équivalente ou totale diminue. Ainsi, pour une combinaison de condensateurs en série, la capacité totale est inférieure à la capacité de chaque condensateur dans le circuit. Cela signifie que et que .
Par conséquent, le choix E est correct.
Exemple 4: Combiner des condensateurs en série
Le circuit sur le schéma contient deux condensateurs connectés en série. Quelle est la capacité totale du circuit ? Réponder au microfarad près.
Réponse
Nous pouvons commencer en se rappelant l’équation qui donne la capacité équivalente des condensateurs en série :
Maintenant, remplaçons les valeurs des deux condensateurs ci-dessus :
Pour additionner les fractions du côté droit de l’équation, nous allons utiliser 750 µF comme plus petit dénominateur commun :
Nous pouvons maintenant prendre l’inverse, ou retourner, les deux côtés de l’équation pour résoudre en fonction de la valeur finale de :
En arrondissant au microfarad près, nous trouvons que la capacité totale du circuit est de 94 µF.
Comme nous avons vu comment ajouter des condensateurs en série et en parallèle, mettons les deux compétences en pratique dans les exemples suivants.
Exemple 5: Combiner des condensateurs en série et en parallèle
Un condensateur de 135 µF et un condensateur de 264 µF peuvent être combinés en série ou en parallèle. Déterminer le rapport entre la capacité totale en parallèle et la capacité totale en série. Donnez votre réponse au centième près.
Réponse
Ici, nous explorerons les effets sur la capacité totale de deux condensateurs lorsqu’on les combine de différentes manières. On peut commencer par rappeler l’équation de combinaison de condensateurs en parallèle :
Ainsi, on sait avant même de susbtituer de valeurs pour ou , que la capacité totale sera supérieure à la capacité de chaque condensateur séparément. Maintenant, en remplaçant les deux valeurs qui nous ont été données, nous pouvons trouver la capacité totale pour une combinaison parallèle, que nous pouvons appeler :
Maintenant, nous pouvons regarder l’équation de combinaison de condensateurs en série :
Nous pouvons voir que la capacité totale de la combinaison en série, que nous pouvons appeler , sera inférieure aux capacités individuelles de ou . Ainsi, on peut s’attendre à ce que sera plus grand que et que le rapport de leurs valeurs sera supérieur à 1.
Déterminons maintenant une valeur pour la capacité totale en série :
En réécrivant l’équation afin que nous puissions ajouter les fractions en utilisant le plus petit dénominateur commun, nous avons
Prenons l’inverse de, ou retournons, l’équation entière pour la résoudre en fonction de en le déplaçant du dénominateur au numérateur :
Maintenant que nous connaissons et , nous pouvons trouver le rapport de leurs valeurs :
En arrondissant au centième près, nous trouvons que le rapport de la capacité totale en parallèle à la capacité totale en série est de 4,47.
Exemple 6: Combiner des condensateurs en série et en parallèle
Le circuit sur le schéma contient des condensateurs connectés en série et en parallèle. Quelle est la capacité totale du circuit ? Donnez votre réponse au microfarad près.
Réponse
Ici, nous avons un circuit qui contient des condensateurs connectés en série et en parallèle. Nous analyserons ce circuit en plusieurs étapes et nommerons les trois condensateurs A, B et C, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
Les condensateurs A et B sont combinés en série, alors trouvons d’abord leur capacité équivalente. Cette capacité équivalente, que nous pouvons appeler , représentera la capacité totale du fil au milieu de ce circuit parallèle. Nous pouvons commencer par l’équation permettant de déterminer la capacité totale d’une combinaison en série et remplacer nos valeurs pour les condensateurs A et B :
Le plus petit dénominateur commun de ces fractions est 825 µF :
Nous allons maintenant prendre l’inverse de, ou retourner, l’équation entière et calculer une valeur pour la capacité équivalente de A et B :
Maintenant, nous pouvons imaginer que le circuit est composé de seulement deux condensateurs connectés en parallèle, comme illsutré sur le schéma ci-dessous.
En effet, nous avons maintenant deux capacités combinées en parallèle, nous pouvons donc insérer leurs valeurs et résoudre la capacité totale de l'ensemble du circuit :
En arrondissant au microfarad près, nous trouvons que la capacité totale de ce circuit est de 67 µF.
Terminons par résumer quelques concepts importants.
Points clés
- Lors de la combinaison de condensateurs en parallèle, utilisez .
- Lors de la combinaison de condensateurs en série, utilisez .
- Les condensateurs combinés en parallèle ont des différences de potentiel égales.
- Les condensateurs combinés en série stockent des charges égales.
