Transcription de la vidéo
En utilisant la dérivation logarithmique, déterminez la dérivée de 𝑦 égale la racine carrée de 𝑥 plus un sur deux 𝑥 à la puissance quatre moins deux.
On nous donne ce qui semble être une fonction 𝑦 assez compliquée, qui est la racine carrée d’une fonction quotient. Et nous pouvons écrire cela comme 𝑥 plus un sur deux 𝑥 à la puissance quatre moins deux tous élevés à la puissance un demi puisqu’un exposant un demi est la même chose qu’une racine carrée. Maintenant, nous pouvons traiter cela comme la fonction d’une fonction et utiliser la règle de dérivation en chaîne et la règle du quotient pour les dériver. Cependant, on nous demande spécifiquement d’utiliser la dérivation logarithmique.
Mais comment ça marche ? Eh bien, voyons voir. Supposons que nous ayons une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. Ensuite, la première chose que nous faisons est d’appliquer le logarithme népérien des deux membres. Nous avons alors le logarithme népérien de 𝑦 est égal au logarithme népérien de 𝑓 de 𝑥, en rappelant que le logarithme népérien signifie le logarithme en base 𝑒, où 𝑒 est le nombre d’Euler, qui est d’environ 2,71828 et ainsi de suite. Et pour que cela soit valide, nous devons spécifier que 𝑦 est supérieur à zéro, puisque le logarithme de zéro est indéfini et le logarithme n’existe pas pour des valeurs négatives.
Si nous voulions inclure des valeurs négatives, nous utilisons les valeurs absolues de 𝑦 et 𝑓 de 𝑥, puis spécifions que 𝑦 n’est pas égal à zéro. Notre deuxième étape dans la dérivation logarithmique est d’utiliser les lois des logarithmes pour développer le logarithme népérien de 𝑓 de 𝑥. Cela devrait nous donner quelque chose que nous pouvons facilement dériver. Et donc nous dérivons les deux membres par rapport à 𝑥. Et une fois que nous avons fait cela, nous pouvons résoudre pour 𝑦 prime. C’est d𝑦 sur d𝑥. Commençons donc par nos étapes avec notre fonction 𝑦 en prenant les logarithmes népériens des deux membres.
Et dans notre cas, nous pouvons spécifier que 𝑦 est la racine carrée positive. Ensuite, nous utilisons les lois des logarithmes pour développer notre membre droit. Et la première loi que nous pouvons utiliser puisque nous avons un exposant un demi sur la droite est la règle de puissance pour les logarithmes. Cela signifie que le logarithme en base 𝑎 de 𝑏 élevé à la puissance 𝑐 est 𝑐 fois le logarithme en base 𝑎 de 𝑏. Autrement dit, nous mettons notre exposant au premier plan et multiplions par ce dernier. Dans notre cas, cela signifie que nous mettons notre un demi vers le bas.
Maintenant, l’argument de notre logarithme népérien à droite est un quotient. Et nous pouvons simplifier cela en utilisant la règle du quotient pour les logarithmes qui dit que le logarithme en base 𝑎 de 𝑏 sur 𝑐 est le logarithme en base 𝑎 de 𝑏 moins logarithme en base 𝑎 de 𝑐. Dans notre cas, 𝑥 plus un correspond à 𝑏 et deux 𝑥 à la puissance quatre moins deux correspondent à 𝑐. Et donc nous avons un sur deux fois le logarithme népérien de 𝑥 plus un moins le logarithme népérien de deux 𝑥 à la puissance quatre moins deux. Alors maintenant, nous avons quelque chose de gérable sur le membre droit que nous savons assez facilement comment dériver.
Maintenant, nous voulons la dérivée par rapport à 𝑥. Et sur notre membre gauche, nous dérivons la fonction d’une fonction parce que, bien sûr, 𝑦 est une fonction de 𝑥. Et sur notre membre droit, la dérivée d’une somme est la somme des dérivées. Nous pouvons donc diviser cela en deux dérivées et mettre la constante un demi devant. Et des deux membres, nous allons utiliser le résultat connu que d sur d𝑥 du logarithme népérien de 𝑢, où 𝑢 est une fonction dérivable de 𝑥, est un sur 𝑢 fois d𝑢 sur d𝑥. Et c’est pour 𝑢 supérieur à zéro.
Sur notre gauche, cela nous donne un sur 𝑦 d𝑦 sur d𝑥. Et sur notre droite, dans notre premier terme, si nous avons 𝑢 est égal à 𝑥 plus un et d𝑢 sur d𝑥 est égal à un, alors d sur d𝑥 du logarithme népérien de 𝑥 plus un est un fois un sur 𝑥 plus un. De même, dans notre deuxième terme, si nous posons 𝑢 égal à deux 𝑥 à la puissance quatre moins deux, alors d𝑢 sur d𝑥 est huit fois 𝑥 à la puissance trois. Et donc la dérivée par rapport à 𝑥 du logarithme népérien de deux 𝑥 élevée à la puissance quatre moins deux est huit 𝑥 au cube fois un sur deux 𝑥 à la puissance quatre moins deux.
Et en écrivant ceci un peu plus proprement, nous avons un sur 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 sur notre gauche est égal à un sur deux fois un sur 𝑥 plus un moins huit 𝑥 au cube sur deux 𝑥 à la puissance quatre moins deux. Au deuxième terme, à notre droite, au dénominateur, nous avons un facteur commun de deux, que nous pouvons simplifier avec le facteur deux au numérateur. Et nous pouvons aussi mettre notre un demi entre parenthèses. Et nous pouvons noter à nouveau qu’au deuxième terme de notre membre droit, nous avons un facteur commun de deux au numérateur et au dénominateur. Et donc nous avons un sur 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 est un sur deux 𝑥 plus deux moins deux 𝑥 à la puissance trois sur 𝑥 à la puissance quatre moins un.
Maintenant, faisant de la place, nous pouvons noter que nous avons un facteur de un sur 𝑦 sur le membre gauche, donc nous n’avons pas tout à fait fini. Pour éliminer cela, nous pouvons multiplier les deux membres par 𝑦. Et donc les 𝑦 sur le membre gauche se simplifieront. Et si nous substituons ensuite dans notre fonction 𝑦, nous avons d𝑦 sur d𝑥 comme indiqué. Et si nous réécrivons cela comme une racine carrée comme c’est donné dans la question, nous avons d𝑦 sur d𝑥, donc c’est la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥, c’est la racine carrée de 𝑥 plus un sur deux 𝑥 à la puissance quatre moins deux fois un sur deux 𝑥 plus deux moins deux 𝑥 au cube sur 𝑥 à la puissance quatre moins un.
