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Étant donnés le vecteur 𝐅 indice un égal à huit 𝐢 moins cinq 𝐣, le vecteur 𝐅 indice deux égal à moins 15𝐢 moins cinq 𝐣 et leur résultante, le vecteur 𝐑 égal à moins 𝑎𝐢 moins 𝑏𝐣, déterminez les valeurs de 𝑎 et 𝑏.
Dans cette question, on nous donne deux vecteurs 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux. On nous les donne en fonction des vecteurs directionnels unitaires 𝐢 et 𝐣. Il convient de souligner ici que puisque nos vecteurs sont nommés 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux, nous pouvons supposer que ceux-ci représentent des forces. On nous dit que la résultante de ces deux forces est donnée sous la forme moins 𝑎𝐢 moins 𝑏𝐣. Nous devons déterminer les valeurs de 𝑎 et 𝑏. Pour répondre à cette question, commençons par rappeler exactement ce que nous entendons par la résultante de deux forces ou plus. Parfois, nous n’avons qu’une seule force agissant sur un objet. Cependant, il est possible d’avoir deux ou plusieurs forces agissant sur le même objet.
La force résultante sera alors la force que nous trouvons en considérant toutes les forces agissant sur notre corps. Dans notre cas, deux forces agissent sur notre objet, la force 𝐅 un et la force 𝐅 deux. Pour combiner deux forces en tant que vecteurs, nous devons les additionner. En d’autres termes, le vecteur résultant 𝐑 va être égal à 𝐅 indice un plus 𝐅 indice deux. Nous commençons donc avec l’équation 𝐑 est égale à 𝐅 indice un plus 𝐅 indice deux. Cependant, on nous donne ces vecteurs en fonction des vecteurs directionnels unitaires, 𝐢 et 𝐣. Nous savons que 𝐑 est égal à moins 𝑎𝐢 moins 𝑏𝐣. Nous savons que 𝐅 indice un est égal à huit 𝐢 moins cinq 𝐣. Aussi, 𝐅 indice deux est égal à moins 15𝐢 moins cinq 𝐣. Nous pouvons donc simplement les remplacer, ce qui nous donne l’équation suivante.
Nous voulons utiliser cette équation pour trouver les valeurs de 𝑎 et 𝑏. Pour simplifier la partie droite de cette équation, nous devons additionner nos termes en 𝐢 et nos termes en 𝐣. Premièrement, huit moins 15 est égal à moins sept. Ainsi, notre terme en 𝐢 va être moins sept 𝐢. Ensuite, nous avons moins cinq 𝐣 moins cinq 𝐣. Bien, moins cinq moins cinq est égal à moins 10. Ainsi, notre terme en 𝐣 est moins 10𝐣. Nous savons que cela doit être égal à notre vecteur résultant, moins 𝑎𝐢 moins 𝑏𝐣. Pour que deux vecteurs soient égaux, rappelons que nous avons besoin que leurs composantes soient les mêmes. Ainsi, moins 𝑎 doit être égal à moins sept et moins 𝑏 doit être égal à moins 10. Cela nous donne deux équations que nous pouvons utiliser pour trouver les valeurs de 𝑎 et 𝑏.
Pour trouver la valeur de 𝑎, nous multiplions l’équation supérieure par moins un En faisant cela, nous voyons que 𝑎 est égal à sept. Nous pouvons faire quelque chose de très similaire pour trouver la valeur de 𝑏 ; nous multiplions notre équation du bas par moins un. Nous voyons que notre valeur de 𝑏 est égale à 10. Cela nous donne notre réponse finale 𝑎 est égal à sept et 𝑏 est égal à 10. Par conséquent, nous avons pu montrer que si nous avons deux forces représentées par des vecteurs - la première force, huit 𝐢 moins cinq 𝐣, et la deuxième force, moins 15𝐢 moins cinq 𝐣 - et que si le vecteur résultant est de la forme moins 𝑎𝐢 moins 𝑏𝐣, alors la valeur de 𝑎 doit être sept et la valeur de 𝑏 doit être 10.
