Vidéo de la leçon: Les Vecteurs dans la résolution de problèmes Mathématiques • Première année secondaire

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons utiliser nos connaissances sur les vecteurs que nous avons acquises jusqu’à présent pour résoudre un problème réel. Et en fait, le problème concerne un avion qui vole avec un vent venant de derrière. Nous avons sa vitesse de vol et nous devons calculer sa vitesse au sol. Et nous allons seulement utiliser des produits scalaires et des vecteurs pour représenter ce problème et le résoudre.

Bon, voici le problème.

Un avion vole dans une direction de cent vingt degrés. Nous commençons donc par regarder vers le nord comme nous l’avons ici, tournons dans le sens des aiguilles d’une montre de cent vingt degrés ; c’est la direction dans laquelle notre avion vole. Il a une vitesse de trois cent milles par heure. Maintenant, cela signifie qu’il se déplace à trois cent milles à l’heure par rapport à l’air qui l’entoure. Maintenant, la phrase suivante dit qu’il y a un vent de trente kilomètres à l’heure qui souffle du nord, directement vers le sud. Nous avons donc un vent de trente kilomètres à l’heure dans cette direction. Donc, s’il parcourt trois cent milles à l’heure par rapport au vent — par rapport à l’air qui l’entoure, il voyage vers le sud à trente milles à l’heure pour commencer. Il s’agit donc d’une composante supplémentaire de la vitesse soufflant dans la direction du sud — se déplaçant dans la direction du sud. Il faut maintenant trouver le relèvement réel de l’avion et sa vitesse au sol.

Nous allons donc représenter toutes ces informations sur une figure vectorielle, puis nous allons utiliser certaines des connaissances sur les vecteurs que nous avons acquises pour résoudre ce problème. Bon, voici notre figure. Nous avons le vecteur 𝑎 qui représente la vitesse de vol ou la vitesse de l’avion par rapport à l’air. Il s’agit donc d’une orientation de cent vingt degrés, comme nous l’avons déjà dit. Et la norme du vecteur 𝑎 va être égale à trois cents parce que c’est la vitesse avec laquelle il voyage. Donc, la norme du vecteur 𝑎 est trois cents et se déplaçant dans cette direction. Maintenant, parce que le vent se déplace à trente milles à l’heure dans cette direction, la vitesse au sol aura cette composante supplémentaire de la vitesse sud. Donc, la vitesse au sol va être légèrement plus grande que ça et elle va se diriger dans une direction légèrement plus au sud.

Et nous essayons également de trouver la taille de cet angle ici ; noté θ. Et si nous ajoutons θ aux cent vingt degrés que nous avions ici, cela nous donnerait le relèvement de la vitesse au sol — le relèvement réel — avec lequel l’avion se dirige. Maintenant, ce que vous pourriez voir, c’est que nous avons deux vecteurs et que nous essayons de mesurer l’angle qu’il forme. Nous allons donc utiliser ici des produits scalaires vectoriels. Et nous allons aussi étudier la norme des vecteurs. Nous allons donc utiliser certaines de ces compétences également.

Donc, nous allons essayer de combler certains des détails sur le vecteur 𝑎. Eh bien, il y a une composante 𝑥, qui est dans ce cas une direction est sur notre figure. Et il y a une composante 𝑦 qui, dans ce cas, est orientée vers le sud. Donc ça va être un nombre négatif ; il se dirige vers le bas dans la direction des 𝑦 négatifs. Nous avons dit que la norme de notre vecteur était de trois cents car il se déplaçait à trois cent milles par heure. Faisons donc un petit calcul sur ce triangle que nous avons tracé avant de calculer ce que sont la composante 𝑥 et la composante 𝑦.

Donc, je viens de tracer dans mes directions ouest, est et sud et j’ai rempli cet angle de trente degrés car l’angle entre les directions nord et est mesure 90 degrés, ce qui laisse ici trente degrés. En regardant simplement le cosinus de cela, nous avons obtenu un triangle rectangle. Le cosinus de trente degrés est égal à la longueur du côté adjacent sur l’hypoténuse ; donc 𝑎𝑥 sur trois cents. Nous pouvons donc réorganiser cela pour calculer ce que vaut 𝑎𝑥, simplement en multipliant les deux côtés par trois cents. Donc, ça fait trois cent cos trente. Et puis cos trente est bien sûr égal à la racine de trois sur deux.

Ainsi, lorsque nous calculons tout cela, la composante est de la vitesse de 𝑎 est de cent cinquante racine trois milles à l’heure. Ok, regardons maintenant 𝑎𝑦 — la composante 𝑦. Et sinus de trente est le côté opposé de l’hypoténuse qui est 𝑎𝑦 sur trois cents, qui multiplient à nouveau les deux côtés par trois cent trente et nous obtenons cent sin trente. Or le sin trente est égal à un demi, ce qui donne cent cinquante. Donc, la vitesse de l’avion si vous voulez dans la direction est vaut cent cinquante racine trois et dans la direction du sud c’est cent cinquante milles à l’heure. Nous avons donc calculer ce que valent les composantes du vecteur 𝑎.

Maintenant, la seule chose à laquelle nous devons prêter attention est que vous vous rappelez que la direction positive des 𝑦 est vers plutôt vers le nord. Mais comme nous nous dirigeons vers le sud, nous avons une composante 𝑦 négative. De sorte que cent cinquante milles par heure est en direction du sud. Donc, à notre échelle, le vecteur 𝑎 va être ainsi : cent cinquante racine trois, moins cent cinquante.

Passons maintenant au vecteur vitesse au sol, nous pouvons voir que la composante horizontale est exactement la même que la vitesse. Le vent supplémentaire ne soufflait que dans la direction du sud ; donc cela n’affecte pas la composante horizontale. Donc, la composante horizontale — la composante de la vitesse au sol est la même que pour la vitesse. Maintenant, avec la composante sud, la composante 𝑦, nous avons ces trente milles supplémentaires à l’heure de départ. Nous avons donc quelle que soit la vitesse qui était en l’air ici, mais nous ajoutons encore 30 milles à l’heure. Ainsi, la composante 𝑦 -vitesse au sol va être de cent cinquante identique à la vitesse, plus les trente supplémentaires soit cent quatre vingt milles par heure.

Et encore parce que c’est dans une direction sud, pas vers le nord, c’est la composante 𝑦 négative, donc elle vaudra moins cent quatre-vingts milles à l’heure pour que notre vecteur 𝑔 est cent cinquante racine trois pour la composante 𝑥 identique à la vitesse et moins cent quatre-vingts que trente milles à l’heure supplémentaire pour la composante 𝑦.

Nous avons donc calculé nos vecteurs vitesse puis pour les vecteurs vitesse et vitesse au sol 𝑎 et 𝑔. Et ce que nous devons maintenant faire, c’est déterminer quelle est la norme de la vitesse au sol. Nous allons donc essayer de trouver la norme de 𝑔. Et pour ce faire se rappeler que nous mettons la composante de 𝑥 au carré et nous ajoutons le carré de la composante 𝑦. Et en calculant cela, nous obtenons la racine carrée de quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cents, ce qui est égal à trente racine de un un un, si vous voulez être exact à ce sujet ou à une décimale, trois un six virgule un mille par heure. Donc, la vitesse au sol est de trois cent seize virgule un mille à l’heure au dixième près. Voilà donc notre vitesse au sol alors. Nous devons maintenant déterminer la mesure de cet angle afin de pouvoir l’ajouter à cent vingt degrés et obtenir la mesure de notre relèvement.

Et pour mesurer l’angle, nous allons utiliser le produit scalaire des vecteurs unitaires dans le sens de la vitesse et de la vitesse sol. Donc 𝑎 sur la norme de 𝑎 point 𝑔 sur la norme de 𝑔 dans ce cas. Donc, la norme de 𝑎 correspond aux composantes au carré et ajoutées ensemble et on prend la racine carrée de cela. Nous avons déjà travaillé sur la norme de 𝑔 ; afin que nous puissions maintenant simplifier cela. Et pour élaborer ces produits scalaires, je vais prendre cette composante et la multiplier par cette composante et l’ajouter à cette composante multipliée par cette composante.

C’est ce que cela nous donne. N’oubliez pas que, parce que nous fabriquons des produits scalaires, nous ne devons pas utiliser le signe de multiplication en croix ; nous devons être cohérents et utiliser ces points pour multiplier les nombres ensemble. Nous venons donc d’avoir un dénominateur commun qui, en multipliant ces nombres et en les additionnant, nous donne vingt et un plus deux. Donc, ce que nous disons est que ce cos ici est égal à vingt et un sur deux racine un un un. Donc, si je fais cos moins cela, il me dira ce que vaut θ.

Et à une décimale près cela nous donne quatre virgule sept degrés. Il convient maintenant de mentionner que je n’ai pas arrondi ces chiffres au fur et à mesure que je progressais ; j’ai essayé de les garder dans un format radical, le format racine, juste pour garder l’exactitude de la question aussi longtemps que possible. Il n’est donc pas toujours possible de le faire car vous savez que certains nombres ne sortent pas aussi facilement ; la calculatrice ne peut pas les gérer dans ce format. Mais s’ils le peuvent, il est préférable de travailler dans ce format le plus longtemps possible. Rappelez-vous maintenant dans notre question que nous venons de résoudre ce problème ici. Nous avons donc dû ajouter cela à cent vingt afin de déterminer le relèvement réel. Donc, ça va nous donner une réponse de cent vingt-quatre virgule sept degrés. Donc voilà, nous l’avons. Nos réponses étaient trois cent seize virgule un mille par heure au dixième près pour la vitesse au sol et cent vingt-quatre virgule sept degrés à une décimale près pour le relèvement.

Récapitulons donc quelques-uns des meilleurs conseils au fur et à mesure. Cela vaut toujours la peine de faire une figure, ce qui nous a certainement aidé c’est de faire une figure. Nous avons représenté la vitesse de vol et la vitesse au sol sous forme de vecteurs, ce qui s’est avéré très utile. Nous avons pu déterminer assez facilement la norme du vecteur en utilisant efficacement le théorème de Pythagore. Nous essayions de conserver nos valeurs au format radical — dans ce format racine — dans la mesure du possible, afin que les nombres soient aussi précis que possible. Et nous avons aussi pu utiliser le cos θ égal au produit scalaire du vecteur unité dans chaque direction pour mesurer l’angle entre ces deux vecteurs.

J’espère donc que cela vous a donné un peu plus de perspicacité dans l’utilisation de vecteurs pour résoudre certains problèmes.