Fiche explicative de la leçon: Opérations sur les vecteurs | Nagwa Fiche explicative de la leçon: Opérations sur les vecteurs | Nagwa

Fiche explicative de la leçon: Opérations sur les vecteurs Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser des vecteurs pour résoudre plusieurs problèmes concrets.

Certaines grandeurs concrètes telles que la masse, la longueur ou l’âge sont des scalaires et sont donc représentées par un nombre que l’on appelle leur norme, tandis que d’autres grandeurs, telles que le déplacement, le vecteur vitesse ou la force sont des vecteurs, représentés par une norme, une direction et un sens. Les vecteurs sont fréquemment utilisés en mathématiques, en ingénierie, en physique et en informatique. Par exemple, en mécanique newtonienne, si on considère les forces ou la quantité de mouvement agissant sur un corps, on doit prendre en compte leur norme ainsi que leur direction et leur sens pour savoir où le corps se déplacera à tout instant:si un corps est en chute libre, il faut non seulement prendre en compte le sens du poids agissant sur le corps, mais également le sens et l’intensité d’autres forces telles que la résistance de l’air ou le vent.

Définition : Vecteur

Un vecteur est une grandeur définie par une norme, une direction et un sens. On peut le représenter géométriquement par un segment orienté dont la longueur est l’intensité du vecteur et dont la flèche indique le sens.

Le sens peut être exprimé en fonction des directions nord, est, ouest et sud, comme une combinaison de celles-ci ou plus généralement comme un angle ou un azimut. Par exemple, un objet peut se déplacer à une vitesse de 25 mi/h vers l’est.

Commençons par étudier une situation impliquant un vecteur vitesse dont nous devons identifier la norme, la direction et le sens à partir des informations données.

Exemple 1: Norme, direction et sens d’un vecteur vitesse

Le vecteur vitesse est une grandeur vectorielle qui combine une vitesse, une direction et un sens. Par exemple, le vecteur vitesse d’une section du fleuve Mississippi près de la Nouvelle-Orléans est de 3 milles par heure vers l’est.

  1. Quelle est la norme de ce vecteur vitesse?
  2. Quel est le sens de ce vecteur vitesse?

Réponse

Partie 1

Identifions d’abord la norme du vecteur vitesse.

Rivière du Mississippi

La norme d’un vecteur vitesse est sa vitesse;dans le cas de la section du Mississippi, sa vitesse est de 3 milles par heure.

Partie 2

Comme indiqué dans la question, un vecteur vitesse est une grandeur vectorielle qui combine vitesse et direction/sens. Il est indiqué que le vecteur vitesse de l’eau est de 3 mi/h vers l’est. Par conséquent, le sens du vecteur vitesse est vers l’est.

En plus de la norme, de la direction et du sens, on peut représenter un vecteur sous forme cartésienne. En général, les vecteurs peuvent être représentés dans un nombre quelconque de dimensions qui est égal au nombre de composantes nécessaires pour définir complètement le vecteur. Dans cette fiche explicative, nous allons étudier des vecteurs en une et deux dimensions, mais les mêmes principes s’appliquent pour trois dimensions ou plus.

En une dimension, les vecteurs sont représentés par un seul nombre 𝑣, qui peut être positif ou négatif selon le sens du vecteur. En deux dimensions, un vecteur 𝑣 sous forme cartésienne est représenté par un couple de nombres. Un vecteur sous forme cartésienne définit une position comme la distance en ligne droite à partir de l’origine dans deux ou plusieurs directions perpendiculaires entre elles.

Les vecteurs unitaires standard d’un repère en deux dimensions sont 𝑖=(1;0) et 𝑗=(0;1), comme illustré sur les figures ci-dessous.

L’origine est le point d’intersection des axes et tous les vecteurs du plan cartésien peuvent être définis par une combinaison linéaire des vecteurs unitaires en utilisant les notations 𝑣=𝑥𝑖+𝑦𝑗=(𝑥,𝑦).

La direction et le sens sont inclus dans cette forme des vecteurs:d’ouest en est signifie par exemple que l’on se déplace dans le sens de 𝑖 alors que d’est en ouest signifie que l’on se déplace dans le sens de 𝑖. De même, du sud vers le nord signifie que l’on se déplace dans le sens de 𝑗, et du nord au sud signifie que l’on se déplace dans le sens de 𝑗. Un déplacement dans un autre sens, tel que vers le sud-est, sera une combinaison de ces deux sens.

Par exemple, si on souhaite déterminer le vecteur déplacement d’une personne qui se déplace de 2 m vers l’ouest puis de 4 m vers le sud, on peut utiliser ces directions perpendiculaires:2 m à l’ouest représente un déplacement de 2𝑖 et 4 m vers le sud représente un déplacement de 4𝑗, en supposant que les sens vers le nord et vers l’est sont positifs. En combinant ces informations, le vecteur déplacement est alors 𝑠=2𝑖4𝑗.

L’addition ou la soustraction de vecteurs en une dimension est simple, car il suffit d’additionner ou de soustraire les composantes ou les nombres représentant chaque vecteur. L’addition ou la soustraction de deux vecteurs 𝑢 et 𝑣 en deux dimensions peuvent être représentées sur la figure suivante.

Pour additionner ou soustraire deux vecteurs, il suffit simplement d’additionner ou de soustraire leurs composantes correspondantes. Par exemple, pour 𝑢=(𝑥,𝑦) et 𝑣=(𝑥,𝑦), 𝑢+𝑣=(𝑥,𝑦)+(𝑥,𝑦)=(𝑥+𝑥,𝑦+𝑦)=(𝑥+𝑥)𝑖+(𝑦+𝑦)𝑗,𝑢𝑣=(𝑥,𝑦)(𝑥,𝑦)=(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=(𝑥𝑥)𝑖+(𝑦𝑦)𝑗.

On peut également étudier un vecteur relativement à un autre, comme lorsque l’on étudie le mouvement de deux corps.

Définition : Vecteur vitesse relative

On considère le mouvement de deux corps 𝐴 et 𝐵.

Si ces corps se déplacent avec des vecteurs vitesses respectifs 𝑣 et 𝑣, le vecteur vitesse relative de 𝐴 par rapport à 𝐵, noté 𝑣, est la différence entre ces deux vecteurs vitesses:𝑣=𝑣𝑣.

De même, le vecteur vitesse relative de 𝐵 par rapport à 𝐴 est noté 𝑣 et est défini par 𝑣=𝑣𝑣.

Remarquez que 𝑣=𝑣, comme on pouvait s’y attendre car l’opposé d’un vecteur pointe dans le sens opposé.

Dans des situations simples, on peut supposer que des corps se déplacent le long d’une ligne droite dans deux sens, vers la gauche ou la droite, et qu’ils se déplacent soit dans le même sens, soit dans des sens opposés. S’ils se déplacent dans le même sens, leurs vecteurs vitesses seront du même signe, tandis que s’ils se déplacent dans des sens opposés, leurs vecteurs vitesses seront de signes opposés. La vitesse est simplement la norme du vecteur vitesse, c’est-à-dire 𝑣.

Étudions un exemple où nous devons déterminer le vecteur vitesse relative d’une moto par rapport à une autre se déplaçant dans le même sens le long d’une ligne droite. Les vecteurs vitesses de chaque moto, 𝑣 et 𝑣, seront exprimés par un seul nombre, représentant un vecteur en une dimension.

Exemple 2: Déterminer le vecteur vitesse relative d’un corps par rapport à un autre se déplaçant dans le même sens

Deux motos 𝐴 et 𝐵 se déplacent dans le même sens. Sachant que le vecteur vitesse de 𝐴 est de 30 km/h et que le vecteur vitesse de 𝐵 est de 15 km/h, déterminez le vecteur vitesse relative de 𝐴 par rapport à 𝐵.

Réponse

Dans cet exemple, nous souhaitons trouver le vecteur vitesse relative de la moto 𝐴 par rapport à la moto 𝐵, qui se déplace dans le même sens.

On désigne le vecteur vitesse de la moto 𝐴 par 𝑣=30/kmh et le vecteur vitesse de la moto 𝐵 par 𝑣=15/kmh puisque les motos se déplacent dans le même sens.

Le vecteur vitesse relative de la moto 𝐴 par rapport à 𝐵 est 𝑣=𝑣𝑣=3015=15.

Par conséquent, le vecteur vitesse relative est de 15 km/h.

Étudions maintenant un exemple où nous devons déterminer la vitesse absolue d’un camion à partir d’informations sur la vitesse absolue d’une voiture de police et sur leur vecteur vitesse relative.

Exemple 3: Déterminer la vitesse d’un corps en mouvement à partir de son vecteur vitesse relative par rapport à un autre corps

Une voiture de police roulait le long d’une autoroute en ligne droite à 47 km/h. Les policiers ont utilisé un radar pour mesurer la vitesse d’un camion roulant dans le même sens. Sachant que le radar a indiqué 50 km/h, calculez la vitesse absolue du camion.

Réponse

Dans cet exemple, nous souhaitons déterminer la vitesse absolue du camion en utilisant les informations du vecteur vitesse de la voiture de police et du vecteur vitesse relative du camion par rapport à la voiture de police mesuré par le radar.

Soit 𝑣=47/kmh le vecteur vitesse de la voiture de police et 𝑣=50/kmh le vecteur vitesse du camion mesuré par le radar, qui est en fait le vecteur vitesse relative du camion par rapport au vecteur vitesse de la voiture de police. Les deux vecteur vitesses sont de même signe car la voiture de police et le camion se déplacent dans le même sens. On peut déterminer le vecteur vitesse absolue du camion en réarrangeant 𝑣=𝑣𝑣:𝑣=𝑣+𝑣=50+47=97.

Puisqu’il s’agit d’une valeur positive, la vitesse absolue du camion est de 97 km/h.

Un vecteur vitesse relative peut également être exprimé sous forme cartésienne en deux dimensions. Supposons par exemple que deux corps 𝐴 et 𝐵 se déplacent avec les vecteurs vitesses respectifs 𝑣 et 𝑣 exprimés sous forme cartésienne ou en fonction de deux vecteurs unitaires orthogonaux. On doit alors calculer la différence de chaque composante du vecteur 𝑣 et de la composante correspondante du vecteur 𝑣.

Les vecteurs ne doivent pas nécessairement être exprimés en fonction de 𝑖 et 𝑗, qui sont les vecteurs unitaires standard. Ils peuvent également être exprimés en fonction d’autres vecteurs, par exemple 𝑒 et 𝑓, à condition qu’ils soient orthogonaux et que leur norme soit égale à 1.

Par exemple, si un corps 𝐴 se déplace avec un vecteur vitesse 𝑣=𝑥𝑒+𝑦𝑓 et un autre corps 𝐵 se déplace avec un vecteur vitesse 𝑣=𝑥𝑒+𝑦𝑓, le vecteur vitesse relative de 𝐴 par rapport à 𝐵 est noté 𝑣 et est défini par 𝑣=𝑣𝑣=𝑥𝑒+𝑦𝑓𝑥𝑒+𝑦𝑓=(𝑥𝑥)𝑒+(𝑦𝑦)𝑓.

Étudions maintenant un exemple où nous devons déterminer le vecteur vitesse relative d’une voiture par rapport à une autre se déplaçant en sens opposé en fonction d’un vecteur unitaire.

Exemple 4: Déterminer le vecteur vitesse relative d’un corps par rapport à un autre se déplaçant en sens opposé

Deux voitures 𝐴 et 𝐵 se déplacent dans des sens opposés sur la même route à 62 km/h et 31 km/h respectivement. Sachant que 𝑒 est un vecteur unitaire dans le sens du mouvement de la voiture 𝐴, déterminez le vecteur vitesse relative de la voiture 𝐴 par rapport à la voiture 𝐵.

Réponse

Dans cet exemple, nous souhaitons déterminer le vecteur vitesse relative de la voiture 𝐴 par rapport à la voiture 𝐵 en fonction du vecteur unitaire 𝑒 dans le sens du mouvement de la voiture 𝐴, sachant que les voitures se déplacent dans des sens opposés.

Comme 𝑒 est un vecteur unitaire dans le sens du mouvement de la voiture 𝐴 et que cette voiture se déplace à une vitesse de 62 km/h, le vecteur vitesse de la voiture 𝐴 est 𝑣=62𝑒.

De même, étant donné que la voiture 𝐵 se déplace dans le sens opposé à la voiture 𝐴 à une vitesse de 31 km/h, son vecteur vitesse est négatif:𝑣=31𝑒.

Le vecteur vitesse relative de la voiture 𝐴 par rapport à la voiture 𝐵 est 𝑣=𝑣𝑣=62𝑒31𝑒=93𝑒.

Par conséquent, le vecteur vitesse relative est 93𝑒/.kmh

Lorsque deux forces ou plus agissent sur un corps, la force résultante 𝐹 est égale à la somme des différents vecteurs forces.

Définition : Force résultante

Si 𝑛 forces 𝐹,𝐹,,𝐹 agissent sur un seul corps, alors la force résultante 𝐹 est définie par 𝐹=𝐹+𝐹++𝐹.

Un système subissant de telles forces est en équilibre lorsque la force résultante est nulle:𝐹=0.

Par exemple, si deux forces 𝐹 et 𝐹 agissent sur un corps alors leur force résultante est 𝐹=𝐹+𝐹.

Étudions donc un exemple où nous devons déterminer des composantes inconnues de vecteurs forces exprimés en fonction des vecteurs unitaires standard 𝑖 et 𝑗 pour des forces agissant sur une particule à l’équilibre.

Exemple 5: Déterminer les composantes inconnues de deux forces sachant que la particule est à l’équilibre

Une particule subissant deux forces 𝐹=3𝑖+𝑥𝑗N et 𝐹=𝑦𝑖+2𝑗N est à l’équilibre. Déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

Réponse

Dans cet exemple, nous souhaitons calculer les valeurs de 𝑥 et 𝑦, qui sont les composantes respectives dans les directions 𝑗 et 𝑖 de 𝐹 et 𝐹, pour une particule en équilibre sous l’action de ces deux forces.

On rappelle que la force résultante agissant sur un corps est la somme de toutes les forces agissant sur ce corps. La force résultante des deux forces agissant sur la particule est donc 𝐹=𝐹+𝐹=3𝑖+𝑥𝑗+𝑦𝑖+2𝑗=(3+𝑦)𝑖+(𝑥+2)𝑗.

La particule est en équilibre si la force résultante 𝐹 est nulle. Si un vecteur est nul, ses composantes doivent toutes être égales à 0;par conséquent, 3+𝑦=0𝑦=3 et 𝑥+2=0𝑥=2.

Les valeurs recherchées sont donc 𝑥=2,𝑦=3.

Dans le prochain exemple, nous devons à nouveau calculer des composantes inconnues de vecteurs forces exprimés en fonction des vecteurs unitaires standard 𝑖 et 𝑗, où trois forces agissent cette fois sur une particule et leur force résultante est connue.

Exemple 6: Déterminer les composantes inconnues de trois forces à partir de leur force résultante

Les forces 𝐹=10𝑖7𝑗, 𝐹=𝑎𝑖𝑗 et 𝐹=5𝑖+(𝑏10)𝑗 agissent sur une particule, où 𝑖 et 𝑗 sont deux vecteurs unitaires orthogonaux. Sachant que la résultante des forces est 𝐹=13𝑖3𝑗, calculez les valeurs de 𝑎 et 𝑏.

Réponse

Étant donnée la résultante des forces 𝑛𝑎𝑔𝑤𝑎𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝐹=13𝑛𝑎𝑔𝑤𝑎𝑈𝑛𝑖𝑡𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖3𝑛𝑎𝑔𝑤𝑎𝑈𝑛𝑖𝑡𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑗, déterminez les valeurs de 𝑎 et 𝑏;dans cet exemple, nous souhaitons déterminer les valeurs inconnues de 𝑎 et 𝑏 apparaissant dans les composantes des forces 𝐹 et 𝐹, qui agissent avec 𝐹 sur une particule et dont nous connaissons la force résultante.

On rappelle que la force résultante agissant sur un corps est la somme de toutes les forces agissant sur ce corps. La force résultante des trois forces agissant sur la particule est donc 𝐹=𝐹+𝐹+𝐹=10𝑖7𝑗+𝑎𝑖𝑗+5𝑖+(𝑏10)𝑗=(𝑎5)𝑖+(𝑏18)𝑗.

Comme on sait que la force résultante est 𝐹=13𝑖3𝑗, on peut poser leurs composantes en 𝑖 et 𝑗 égales séparément, ce qui donne 𝑎5=13𝑎=8 et 𝑏18=3𝑏=15.

Les valeurs recherchées sont donc 𝑎=8,𝑏=15.

Pour un vecteur sous forme cartésienne, 𝑣=𝑥𝑖+𝑦𝑗, sa norme est définie par 𝑣=𝑥+𝑦.

Il s’agit de la « longueur » du vecteur, que l’on peut calculer en utilisant le théorème de Pythagore sur un triangle rectangle de côtés 𝑥 et 𝑦.

Les normes des vecteurs unitaires sont 𝑖=1+0=1,𝑗=0+1=1, ce qui est la raison pour laquelle on les appelle vecteurs unitaires:leur « longueur » est égale à 1 unité. La norme d’un vecteur déplacement est la distance et la norme d’un vecteur vitesse est la vitesse. Par exemple, si le vecteur vitesse d’un objet est 𝑣=3𝑖+4𝑗/,ms alors sa vitesse est de 𝑣=3+4=25=5/.ms

On peut également définir la direction et le sens d’un vecteur en fonction d’un angle mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir du sens de 𝑖. En utilisant la trigonométrie, on a tan𝜃=𝑦𝑥,𝜃 définit la direction et le sens du vecteur. En utilisant la norme et cet angle, on peut convertir un vecteur exprimé sous forme cartésienne en un vecteur représenté par sa norme et son sens. Cela est en fait équivalent à la forme polaire d’un vecteur de composante radiale 𝑟𝑣 et de composante angulaire 𝜃, où l’angle 𝜃 est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des 𝑥 positifs.

Il faut parfois tracer le vecteur pour s’assurer d’obtenir le bon angle, car prendre la réciproque de la tangente peut ne pas être suffisant. L’ensemble image de la réciproque de la fonction tangente est 𝜋2;𝜋2 lorsque l’ensemble de définition de la fonction tangente est restreint au même intervalle.

Par conséquent, à condition que 𝜃𝜋2;𝜋2, on peut prendre la réciproque de la tangente des deux membres de l’équation pour obtenir 𝜃=𝑦𝑥.tan

Une composante angulaire 𝜃𝜋2;𝜋2 correspond aux premier et quatrième quadrants, c’est-à-dire aux quadrants où 𝑥>0. Cela n’est cependant pas le cas si le vecteur appartient au deuxième ou troisième quadrant. Pour le deuxième et le troisième quadrant, on doit ajouter 𝜋 en radians, ou 180 en degrés, à l’angle 𝜃 pour s’assurer que le vecteur se situe dans le bon quadrant. Cela n’affecte pas la fonction tangente elle-même car elle est périodique:tantan𝜃=(𝜃+180).

Considérons par exemple un vecteur dans le deuxième quadrant.

Sur le schéma, on peut voir que 𝛼=𝑦𝑥.tan

La mesure d’un angle plat est 180, donc 𝛼+𝜃=180. Par conséquent, pour le deuxième ou troisième quadrant où 𝑥<0, l’angle sera 𝜃=𝛼+180=𝑦𝑥+180.tan

Étudions un dernier exemple où nous devons déterminer le déplacement, c’est-à-dire la distance, la direction et le sens, d’un corps à partir des informations données. Nous allons pour cela d’abord définir le vecteur déplacement en fonction des vecteurs unitaires, puis utiliser le théorème de Pythagore et la trigonométrie.

Exemple 7: Résoudre un problème en additionnant deux vecteurs décrits dans un énoncé

Un corps s’est déplacé de 28 m vers l’est, puis de 14 m vers le nord. Déterminez le déplacement du corps, en indiquant sa direction et son sens à la minute la plus proche.

Réponse

Dans cet exemple, nous souhaitons déterminer le déplacement, donc la distance, la direction et le sens, d’un corps se déplaçant dans des directions perpendiculaires.

Commençons par déterminer le vecteur déplacement à partir des informations données. On rappelle que l’on peut représenter un vecteur sous forme cartésienne en fonction deux vecteurs orthogonaux 𝑖 et 𝑗.

On suppose que le sens d’ouest en est (vers l’est) est positif, donc dans le sens de 𝑖, et que le sens du sud au nord (vers le nord) est positif, donc dans le sens de 𝑗.

Comme le corps s’est déplacé de 28 m, son déplacement dans ce sens est 28𝑖, et 14 m vers le nord représente un déplacement de 14𝑗. En les combinant, le vecteur déplacement est 𝑠=28𝑖+14𝑗.

La distance est la norme du vecteur déplacement, que l’on peut déterminer à l’aide du théorème de Pythagore:𝑑=𝑠=28+14=145.

La direction et le sens peuvent être représentés par l’angle 𝜃, que l’on peut calculer grâce à la trigonométrie des triangles rectangles:tantantan𝜃=1428𝜃=12𝜃=12=2634.

Par conséquent, le déplacement est de 145m dans une direction à 2634 de l’est vers le nord.

Points clés

  • Les vecteurs sont représentés par une norme, une direction et un sens, ou en fonction de deux vecteurs unitaires dans des directions perpendiculaires dans un plan cartésien. Les vecteurs unitaires standard pour ces directions sont 𝑖 et 𝑗 et la forme cartésienne d’un vecteur est 𝑣=𝑥𝑖+𝑦𝑗.
  • On peut résoudre des problèmes concrets en traduisant les informations en vecteurs et en effectuant des additions ou des soustractions de ces vecteurs.
  • Le vecteur vitesse relative d’un corps 𝐴 par rapport à un autre corps 𝐵, dont les vecteurs vitesses respectifs sont 𝑣 et 𝑣, noté 𝑣, est la différence entre les deux vecteurs vitesses:𝑣=𝑣𝑣.
  • La force résultante agissant sur une particule 𝐹 est la somme de tous les vecteurs forces agissant sur la particule.
  • On peut trouver la norme 𝑣, la direction et le sens 𝜃 d’un vecteur sous forme cartésienne grâce au théorème de Pythagore et à la trigonométrie:𝑣=𝑥+𝑦 et tan𝜃=𝑦𝑥. Ces formules permettent de convertir un vecteur exprimé sous forme cartésienne en un vecteur représenté par sa norme, sa direction et son sens. La mesure de l’angle 𝜃 dépend du quadrant dans lequel se trouve le vecteur, conformément à la figure ci-dessous.

Rejoindre Nagwa Classes

Assistez à des séances en direct sur Nagwa Classes pour stimuler votre apprentissage avec l’aide et les conseils d’un enseignant expert !

  • Séances interactives
  • Chat et messagerie électronique
  • Questions d’examen réalistes

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité