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Sachant que 𝑎𝑒 puissance deux 𝑖𝜃 plus 𝑏𝑒 puissance moins deux 𝑖𝜃 est égal à cos de deux 𝜃 moins cinq 𝑖 sin de deux 𝜃, où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels, déterminez 𝑎 et 𝑏.
Pour résoudre cette question, nous devons nous assurer que les nombres complexes des deux côtés de l’équation sont sous la même forme. Actuellement, le côté gauche est sous forme exponentielle et le côté droit est sous forme polaire. Commençons par réécrire les nombres complexes 𝑎𝑒 puissance deux 𝑖𝜃 et 𝑏𝑒 puissance moins deux 𝑖𝜃 sous forme polaire.
Nous savons que 𝑟𝑒 puissance 𝑖𝜃 est égal à 𝑟 multiplié par cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃, où 𝑟 est le module et 𝜃 est l’argument du nombre complexe. Le module de notre premier nombre complexe est égal à 𝑎 et l’argument est deux 𝜃. Par conséquent, 𝑎𝑒 puissance deux 𝑖𝜃 est égal à 𝑎 multiplié par cos deux 𝜃 plus 𝑖 sin deux 𝜃. De la même manière, 𝑏𝑒 puissance moins deux 𝑖𝜃 est égal à 𝑏 multiplié par cos de moins deux 𝜃 plus 𝑖 sin de moins deux 𝜃.
Nous savons que cos 𝜃 est une fonction paire, et sin 𝜃 est une fonction impaire. Par conséquent, cos de moins deux 𝜃 est égal à cos de deux 𝜃, et sin de moins deux 𝜃 est égal à moins sin de deux 𝜃. Cela signifie que nous pouvons réécrire l’équation comme 𝑎 fois cos deux 𝜃 plus 𝑖 sin deux 𝜃 plus 𝑏 fois cos deux 𝜃 moins 𝑖 sin deux 𝜃.
Ensuite, nous pouvons développer 𝑎 et 𝑏 selon leurs parenthèses, comme indiqué. Nous pouvons ensuite collecter les termes similaires et factoriser cos deux 𝜃 et sin deux 𝜃. Cela nous donne 𝑎 plus 𝑏 multiplié par cos deux 𝜃 plus 𝑎 moins 𝑏 multiplié par 𝑖 sin deux 𝜃. Si on compare cela à notre équation initiale, on voit que cela est égal à cos deux 𝜃 moins cinq 𝑖 sin deux 𝜃. Lorsque l’on compare les coefficients de cos deux 𝜃 on a 𝑎 plus 𝑏 est égal à un, et lorsque l’on compare les coefficients de sin deux 𝜃 on a 𝑎 moins 𝑏 est égal à moins cinq.
Nous avons des équations simultanées. Nous pouvons résoudre par élimination en additionnant les deux équations. Cela nous donne deux 𝑎 est égal à moins quatre. Lorsque l’on divise les deux côtés par deux, on obtient 𝑎 égale moins deux. Nous pouvons ensuite substituer cette valeur dans l’équation un et obtenir moins deux plus 𝑏 est égal à un. Si on ajoute deux aux deux côtés de cette équation, on obtient 𝑏 est égal à trois.
Nous avons maintenant les valeurs des deux constantes. 𝑎 est égal à moins deux et 𝑏 est égal à trois.
