Vidéo : Forme exponentielle d’un nombre complexe

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment convertir un nombre complexe de la forme algébrique à la forme exponentielle (forme d’Euler) et vice versa.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à exprimer des nombres complexes sous forme exponentielle. Nous devons savoir comment exprimer un nombre complexe sous forme algébrique et trigonométrique. C’est donc une extension naturelle de cette logique. Nous apprendrons ce que nous entendons par forme exponentielle et comment multiplier et diviser avec ces nombres. Nous apprendrons également comment convertir entre des nombres sous forme algébrique, trigonométrique et exponentielle avant de découvrir comment la forme exponentielle peut nous aider à résoudre des équations impliquant des nombres complexes.

La forme algébrique d’un nombre complexe est 𝑧 égale à 𝑎 plus 𝑏𝑖. 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. Et nous disons que 𝑎 est la partie réelle du nombre complexe, tandis que 𝑏 est la partie imaginaire. Et nous savons que la forme trigonométrique — parfois appelée forme polaire d’un nombre complexe — est 𝑟 cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃. 𝑟 est le module et 𝜃 est l’argument généralement donné en radians. Qu’en est-il de la forme exponentielle d’un nombre complexe ?

Ici, nous avons besoin de la formule d’Euler. Cela signifie que 𝑒 de 𝑖𝜃 est égal à cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃. Maintenant, comparons cela à la forme trigonométrique d’un nombre complexe. Nous pouvons voir que si nous multiplions par 𝑟, nous obtenons 𝑟𝑒 de 𝑖𝜃 égal 𝑟 cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃. Et donc, nous pouvons écrire notre nombre complexe 𝑧 comme 𝑟𝑒 dans le 𝑖𝜃, où 𝑟 est toujours le module et 𝜃 est toujours l’argument, donné en radians ici. Et nous pouvons utiliser les mêmes méthodes pour calculer le module et l’argument d’un nombre complexe sous forme exponentielle que nous le ferions pour un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique. Voyons à quoi cela pourrait ressembler.

Mettez le nombre 𝑧 égal à cinq racine deux sur deux moins cinq racine six sur deux 𝑖 sous forme exponentielle.

Ce nombre complexe est actuellement sous forme algébrique. Il a une partie réelle de cinq racine deux sur deux et une partie imaginaire de cinq racine moins six sur deux. Rappelez-vous qu’un nombre complexe sous forme exponentielle est 𝑟𝑒 au 𝑖𝜃, où 𝑟 est le module et 𝜃 est l’argument en radians. Le module est assez simple à calculer. Pour un nombre complexe de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, son module est la racine carrée de la somme des carrés de 𝑎 et 𝑏.

Dans ce cas, il s’agit de la racine carrée de cinq racine deux sur deux toutes au carré plus moins cinq racine six sur deux toutes au carré. Cinq racine deux sur deux tout carré est 25 sur deux. Et moins cinq racine six sur deux tout au carré est 75 sur deux. La somme de 25 sur deux et 75 sur deux est de 100 sur deux, ce qui est tout simplement 50. Ainsi, le module de 𝑧 est la racine carrée de 50, que nous pouvons simplifier en cinq racine deux. Mais qu’en est-il de l’argument ?

Si nous plaçons ce nombre complexe sur le plan d’Argand, il est représenté par le point dont les coordonnées cartésiennes sont cinq racine deux sur deux et moins cinq racine six sur deux. Cela signifie qu’il se trouve dans le quatrième quadrant. Nous pouvons trouver l’argument pour les nombres complexes qui se trouvent dans les premier et quatrième quadrants en utilisant la formule arctan de 𝑏 divisé par 𝑎 ou arctan de la partie imaginaire divisée par la partie réelle.

Dans cet exemple, c’est un arctan de cinq racine moins six sur deux divisé par cinq racine deux sur deux, ce qui est moins 𝜋 sur trois. L’argument de notre nombre complexe est donc moins 𝜋 sur trois. Nous avons calculé le module de 𝑧 à 𝑏 cinq racine deux et son argument moins 𝜋 sur trois. Donc, sous forme exponentielle, nous pouvons dire que c’est cinq racine deux 𝑒 au moins 𝜋 sur trois 𝑖. Et à ce stade, il convient de rappeler que l’argument est périodique avec une période de deux 𝜋. Nous pouvons donc ajouter ou soustraire des multiples de deux 𝜋 à notre argument.

Si nous ajoutons deux 𝜋 au moins 𝜋 sur trois, nous obtenons cinq racine deux 𝑒 de cinq 𝜋 sur trois 𝑖.

Bien que l’argument du nombre complexe dans cette deuxième forme soit en dehors de la plage de l’argument principal qui est supérieur à moins 𝜋 et inférieur ou égal à 𝜋, il n’est pas inhabituel de voir ces nombres écrits sous l’une ou l’autre forme. Et qu’en est-il de la conversion d’un nombre sous forme exponentielle ?

Eh bien, la conversion entre la forme exponentielle et la forme trigonométrique est assez simple, ce qui revient à utiliser les mêmes valeurs pour le module et l’argument. Pour reconvertir de la forme exponentielle en forme algébrique, nous convertissons d’abord en forme trigonométrique puis la convertissons en forme algébrique. Puisque 𝑟𝑒 de 𝑖𝜃 est identique à 𝑟 cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃, nous pouvons distribuer ces parenthèses et les comparer directement à la forme algébrique d’un nombre complexe. La partie réelle sera 𝑟 cos 𝜃 et la partie imaginaire sera 𝑖 sin 𝜃.

Maintenant que nous avons une définition de la forme exponentielle d’un nombre complexe, nous pouvons l’utiliser pour développer des règles de multiplication et de division avec ces nombres. Disons que nous avons deux nombres complexes 𝑟 un 𝑒 de 𝑖𝜃 un et 𝑟 deux 𝑒 de 𝑖𝜃 deux. Leur produit est 𝑟 un 𝑒 de 𝑖𝜃 multiplié par 𝑟 deux 𝑒 de 𝑖𝜃 deux. Et puis, nous rappelons les propriétés du module et les arguments d’un nombre complexe.

Le module du produit de deux nombres complexes est égal au produit de leurs modules et l’argument de leur produit est égal à la somme de leurs arguments respectifs. On peut donc dire que le produit de 𝑧 un et 𝑧 deux est 𝑟 un 𝑟 deux 𝑒 de 𝑖 𝜃 un plus 𝜃 deux. Essentiellement, nous multiplions leurs modules et ajoutons leurs arguments. De même, pour diviser deux nombres complexes, on obtient 𝑟 un divisé par 𝑟 deux multiplié par 𝑒 de 𝑖 𝜃 un moins 𝜃 deux. Cette fois, nous divisons leurs modules et soustrayons leurs arguments.

Maintenant, même s’il semble que nous aurions pu simplement appliquer les règles des exposants entiers pour dériver ces résultats, nous devons être un peu prudents en supposant que ces règles fonctionnent pour tous les nombres complexes. Ce n’est pas toujours nécessairement vrai. Et donc, il est beaucoup plus préférable de penser au produit et au quotient des nombres complexes en fonction de modules et d’arguments. Voyons comment appliquer ces processus à la multiplication et à la division de nombres complexes sous forme exponentielle.

Étant donné que 𝑧 un est égal à cinq 𝑒 de moins 𝜋 sur deux 𝑖 et 𝑧 deux est égal à six 𝑒 de 𝜋 sur trois 𝑖, exprimez 𝑧 un 𝑧 deux sous la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖.

Ici, on nous a donné deux nombres complexes sous forme exponentielle et on nous demande de trouver leur produit sous forme algébrique. Il est beaucoup plus simple de multiplier des nombres complexes alors qu’ils sont sous forme exponentielle. Nous allons donc faire ce morceau d’abord avant de convertir leur produit sous forme algébrique. Pour multiplier deux nombres complexes sous forme exponentielle, nous multiplions leurs modules et ajoutons leurs arguments.

Le module de notre premier nombre complexe est cinq et son argument est moins 𝜋 sur deux. Le module de notre deuxième nombre complexe est six et son argument est 𝜋 sur trois. Cela signifie que le module du produit de ces deux nombres complexes sera cinq fois six, ce qui est 30. Et l’argument de 𝑧 un 𝑧 deux sera moins 𝜋 sur deux plus 𝜋 sur trois.

Nous pouvons ajouter ces deux fractions en créant un dénominateur commun. Ça fait six. Et nous obtenons moins trois 𝜋 sur six plus deux 𝜋 sur six, ce qui est moins 𝜋 sur six. Et donc, nous voyons que 𝑧 un 𝑧 deux est 30 𝑒 au moins 𝜋 sur six 𝑖. Et c’est sous forme exponentielle. Alors, comment pouvons-nous convertir cela en forme algébrique ? Le moyen le plus simple est de le représenter sous forme trigonométrique en premier. C’est 30 cos moins 𝜋 sur six plus 𝑖 sin de moins 𝜋 sur six. Nous distribuerons ces parenthèses.

Et nous voyons que cela équivaut à 30 cos de moins 𝜋 sur six plus 30 sin de moins 𝜋 sur six 𝑖. Maintenant, ce sont des résultats standard. Le cos de moins 𝜋 sur six est racine trois sur deux et le sin de moins 𝜋 sur six est moins un demi. Et nous pouvons donc voir que 𝑧 un 𝑧 deux — le produit de ces deux nombres complexes — se simplifie en 15 racine trois moins 15 𝑖. Ceci est maintenant sous forme algébrique selon les besoins. Si nous la comparons à la forme générale de notre question, nous voyons que 𝑎 est 15 racine trois et 𝑏 est moins 15.

Étant donné que 𝑧 est égal à 𝑖 racine deux sur un moins 𝑖, écrivez 𝑧 sous forme exponentielle.

Pour répondre à cette question, nous avons deux options. Nous pourrions diviser ces deux nombres complexes sous forme algébrique. Et pour ce faire, il faut multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur puis répartir et simplifier autant que possible. Je suis sûr que vous conviendrez que c’est un processus assez long. Au lieu de cela, nous choisirons d’écrire ces nombres complexes sous forme exponentielle. Nous aurons donc besoin de calculer leurs modules et arguments.

𝑖 racine deux est un nombre purement imaginaire. Sur un diagramme d’Argand, il est représenté par le point dont les coordonnées cartésiennes sont nulles, racine deux. Son module est la longueur du segment de droite qui relie ce point à l’origine. C’est donc la racine deux. Et puisque l’argument est mesuré dans le sens antihoraire à partir de l’axe réel positif, nous pouvons voir que l’argument de ce nombre complexe est équivalent à 90 degrés. C’est 𝜋 sur deux radians. Et sous forme exponentielle, nous pouvons dire que c’est la même chose que la racine deux 𝑒 de 𝜋 sur deux 𝑖.

Le nombre complexe un moins 𝑖 est un peu plus délicat. Sa partie réelle est positive et sa partie imaginaire est négative. Elle se situe donc dans le quatrième quadrant. Maintenant, son module est indépendant de ce fait. Nous utilisons simplement la formule racine carrée de la somme des carrés des parties réelles et imaginaires. Voilà donc la racine carrée de un carré plus moins un carré qui est encore une fois la racine carrée de deux.

Nous devons être un peu plus prudents avec l’argument. Comme il se trouve dans le quatrième quadrant, nous pouvons utiliser la formule qui est unique aux nombres complexes qui sont tracés dans les premier et quatrième quadrants. C’est l’arctan de 𝑏 sur 𝑎, l’arctan de la partie imaginaire divisée par la partie réelle. Donc dans ce cas, c’est l’arctan de moins un sur un qui est moins 𝜋 sur quatre. Nous nous attendions à une valeur négative pour l’argument car cette fois, nous mesurons dans le sens horaire. Et donc, nous pouvons réécrire notre fraction en tant que racine deux 𝑒 de 𝜋 sur deux 𝑖 sur racine deux 𝑒 de moins 𝜋 sur quatre 𝑖. Et maintenant, nous pouvons facilement diviser.

Pour diviser des nombres complexes sous forme exponentielle, nous divisons leurs modules et soustrayons leurs arguments. La racine deux divisée par la racine deux est un et 𝜋 sur deux moins moins 𝜋 sur quatre est trois 𝜋 sur quatre. Sous forme exponentielle alors, 𝑧 est égal à 𝑒 de trois 𝜋 sur quatre 𝑖.

Nous avons vu comment se multiplier et se diviser avec des nombres complexes sous forme exponentielle. Voyons maintenant comment utiliser les propriétés de nombres complexes sous forme exponentielle pour résoudre des équations.

Étant donné que 𝑎𝑒 de 𝑖𝜃 plus 𝑏𝑒 de moins deux 𝑖𝜃 est égal à cos de deux 𝜃 moins cinq 𝑖 sin de deux 𝜃, où 𝑎 est un nombre réel et 𝑏 est un nombre réel, trouvez 𝑎 et 𝑏.

Ici, nous avons une équation formée de nombres complexes, pour laquelle nous avons quelques inconnues. Avant de pouvoir résoudre pour 𝑎 et 𝑏, nous devons nous assurer que chaque nombre complexe est sous la même forme. Convertissons le côté gauche en forme trigonométrique. Il est composé de deux nombres complexes. Leurs modules sont respectivement 𝑎 et 𝑏. Et leurs arguments sont deux 𝜃 et moins deux 𝜃. On peut donc dire que leur somme est égale à 𝑎 cos deux 𝜃 plus 𝑖 sin deux 𝜃 plus 𝑏 cos de moins deux 𝜃 plus 𝑖 sin de moins deux 𝜃.

Maintenant, nous allons utiliser le fait que cos 𝜃 est une fonction paire et sin 𝜃 est une fonction impaire. Et cela signifie que cos de moins deux 𝜃 est le même que cos de deux 𝜃. Mais le sin de moins deux 𝜃 est le même que le moins sin de deux 𝜃. Et nous pouvons réécrire notre équation très légèrement comme indiqué. Nous devons répartir 𝑎 et 𝑏 sur leurs parenthèses respectives. Et puis, nous collectons des termes similaires. Et nous voyons que nous obtenons cos de deux 𝜃 fois 𝑎, plus 𝑏, plus 𝑖 sin deux 𝜃 de 𝑎 moins 𝑏. Et bien sûr, en comparant cela à l’équation d’origine, nous voyons que cela est égal à cos de deux 𝜃 moins cinq 𝑖 sin deux 𝜃. Et maintenant, nous pouvons assimiler les coefficients.

En égalisant les coefficients pour cos de deux 𝜃, on obtient un égal à 𝑎 plus 𝑏. Et pour un sin de deux 𝜃, nous obtenons moins cinq égaux à 𝑎 moins 𝑏. Nous avons maintenant une paire d’équations simultanées en 𝑎 et 𝑏. Ajoutons-les pour éliminer 𝑏. Et quand nous le faisons, nous obtenons moins quatre égal à deux 𝑎. Donc 𝑎 doit être égal à moins deux. Et puis, nous substituons cela dans la première équation. Et nous obtenons un égal à moins deux plus 𝑏. Donc 𝑏 doit être égal à trois. Par conséquent, 𝑎 est égal à moins deux et 𝑏 est égal à trois.

Nous pouvons bien sûr vérifier cela en insérant 𝑎 égal à moins deux et 𝑏 égal à trois dans l’autre équation. Lorsque nous le faisons, nous voyons que moins deux moins trois égal moins cinq comme requis.

Dans notre dernier exemple, nous allons rappeler les propriétés du conjugué complexe et voir comment le fait de pouvoir repérer le conjugué complexe pour des nombres sous forme exponentielle peut nous faire gagner du temps.

Trouvez la valeur numérique de 𝑒 de 11𝜋 sur six 𝑖 plus 𝑒 de moins 11𝜋 sur six 𝑖.

Pour évaluer la somme de ces deux nombres complexes, nous pourrions les convertir sous forme algébrique et additionner simplement en collectant des termes similaires. Cependant, il est utile de pouvoir repérer le conjugué complexe d’un nombre écrit sous forme exponentielle et nous verrons pourquoi dans un instant. Pour un nombre complexe 𝑧 égal à 𝑟𝑒 de 𝑖𝜃, son conjugué noté 𝑧 étoile est 𝑟𝑒 de moins 𝑖𝜃. Remarquez comment le module du conjugué est le même que le module du nombre complexe d’origine et que son argument est l’opposé de l’argument du nombre complexe d’origine.

Les deux nombres complexes que nous avons 𝑒 de 11𝜋 sur six 𝑖 et 𝑒 de moins 11𝜋 sur six 𝑖 ont tous deux un module de un. Mais l’argument du deuxième nombre complexe est l’opposé de l’argument du premier et en fait vice versa. Cela signifie que 𝑒 de moins 11𝜋 sur six 𝑖 est le conjugué complexe de 𝑒 de 11𝜋 sur six 𝑖 et vice versa. Mais pourquoi cela aide-t-il ? Eh bien, cela nous permet d’utiliser la règle pour l’addition d’un nombre complexe et de son conjugué. La somme d’un nombre complexe et de son conjugué est égale à deux fois la partie réelle de ce nombre complexe.

Maintenant, la partie réelle d’un nombre complexe écrit sous forme exponentielle ou trigonométrique est simplement 𝑟 cos 𝜃. Donc, pour notre nombre complexe, la partie réelle est une fois cos de 11𝜋 sur six. Et cela signifie que la somme de 𝑒 au 11𝜋 sur six 𝑖 et son conjugué 𝑒 de moins 11𝜋 sur six 𝑖 en sont deux lots. Cos de 11𝜋 sur six est la racine trois sur deux. Donc, deux fois la partie réelle de notre nombre complexe est deux fois racine trois sur deux, ce qui est simplement racine trois. Et nous pouvons voir que la valeur numérique de 𝑒 au 11𝜋 sur six 𝑖 plus 𝑒 de moins 11𝜋 sur six 𝑖 n’est que la racine trois.

Dans cette vidéo, nous avons appris que nous pouvons exprimer un nombre complexe sous forme exponentielle en utilisant 𝑟𝑒 de 𝑖𝜃, où 𝑟 est le module et 𝜃 est l’argument exprimé en radians. Et nous avons vu que travailler avec des nombres sous cette forme peut nous aider à simplifier les calculs, impliquant la multiplication et la division. Pour multiplier deux nombres complexes, par exemple, on multiplie leurs modules et on ajoute leurs arguments. Et pour diviser deux nombres complexes écrits sous forme exponentielle, nous divisons leurs modules et soustrayons leurs arguments.

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