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Vidéo de la leçon: Forme exponentielle d’un nombre complexe Mathématiques • Troisième année secondaire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à convertir un nombre complexe sous forme algébrique en forme exponentielle et inversement.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à exprimer des nombres complexes sous forme exponentielle. Vous devriez déjà savoir comment exprimer un nombre complexe sous forme algébrique et trigonométrique. Cette vidéo présentera une extension naturelle de ces connaissances. Nous allons apprendre ce que l’on entend par forme exponentielle et comment multiplier et diviser des nombres complexes sous cette forme. Nous allons également apprendre à effectuer des conversions entre formes algébrique, trigonométrique et exponentielle avant de découvrir comment la forme exponentielle peut nous aider à résoudre des équations impliquant des nombres complexes.

La forme algébrique d’un nombre complexe est 𝑧 égale 𝑎 plus 𝑏𝑖. Où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. On dit alors que 𝑎 est la partie réelle du nombre complexe et que 𝑏 est sa partie imaginaire. On rappelle de plus que la forme trigonométrique d’un nombre complexe est 𝑟 cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃. 𝑟 est le module du nombre complexe et 𝜃 est son argument, généralement mesuré en radians. À quoi correspond donc la forme exponentielle d’un nombre complexe ?

Nous avons d’abord besoin de la formule d’Euler pour la définir. Cette formule stipule que 𝑒 de 𝑖𝜃 est égal à cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃. Et on peut à présent la comparer à la forme trigonométrique d’un nombre complexe. On peut voir que si on multiplie la formule d’Euler par 𝑟, on obtient 𝑟 𝑒 de 𝑖𝜃 égale 𝑟 cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃. Et donc, on peut écrire le nombre complexe 𝑧 comme 𝑟 𝑒 de 𝑖𝜃, où 𝑟 est toujours le module et 𝜃 est toujours l’argument, mesuré en radians ici. Et nous pouvons utiliser les mêmes méthodes pour calculer le module et l’argument d’un nombre complexe sous forme exponentielle que celles pour un nombre complexe sous forme trigonométrique. Voyons donc comment cela fonctionne.

Exprimez le nombre 𝑧 égale cinq racine carrée de deux sur deux moins cinq racine carrée de six sur deux 𝑖 sous forme exponentielle.

Ce nombre complexe est actuellement sous forme algébrique. Il a une partie réelle de cinq racine carrée de deux sur deux et une partie imaginaire de moins cinq racine carrée de six sur deux. Rappelez-vous qu’un nombre complexe sous forme exponentielle est 𝑟 𝑒 de 𝑖𝜃, où 𝑟 est le module et 𝜃 est l’argument en radians. Le module est assez simple à calculer. Pour un nombre complexe de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, son module est égal à la racine carrée de la somme des carrés de 𝑎 et 𝑏.

Dans ce cas, cela fait racine carrée de cinq racine carrée de deux sur deux, le tout au carré, plus moins cinq racine carrée de six sur deux, le tout au carré. Cinq racine carrée de deux sur deux au carré égale 25 sur deux. Et moins cinq racine carrée de six sur deux au carré égale 75 sur deux. 25 sur deux plus 75 sur deux égale 100 sur deux, soit 50. Le module de 𝑧 est donc égal à racine carrée de 50, ce que l’on peut simplifier par cinq racine carrée de deux. Mais comment peut-on calculer son argument ?

Si on représente ce nombre complexe sur le plan d’Argand, il est situé au point dont les coordonnées cartésiennes sont cinq racine carrée de deux sur deux et moins cinq racine carrée de six sur deux. Cela signifie qu’il se situe dans le quatrième quadrant. Et on rappelle que l’on peut trouver l’argument d’un nombre complexe qui se situe dans le premier ou le quatrième quadrant en utilisant la formule arc tangente de 𝑏 divisé par 𝑎, c’est-à-dire arc tangente de la partie imaginaire divisée par la partie réelle.

Dans cet exemple, cela fait arc tangente de moins cinq racine carrée de six sur deux divisé par cinq racine carrée de deux sur deux, ce qui est égal à moins 𝜋 sur trois. Donc, l’argument de ce nombre complexe est moins 𝜋 sur trois. Par conséquent, le module de 𝑧 est cinq racine carrée de deux et son argument est moins 𝜋 sur trois. Sous forme exponentielle, il est donc égal à cinq racine carrée de deux 𝑒 de moins 𝜋 sur trois 𝑖. On peut alors rappeler que l’argument est périodique avec une période de deux 𝜋. On peut donc lui ajouter ou soustraire des multiples de deux 𝜋.

Si on ajoute deux 𝜋 à moins 𝜋 sur trois, on obtient cinq racine carrée de deux 𝑒 de cinq 𝜋 sur trois 𝑖.

Bien que l’argument du nombre complexe dans cette deuxième forme soit en dehors de l’intervalle de la mesure principale, c’est-à-dire entre moins 𝜋 et 𝜋, il n’est pas rare de voir ces nombres écrits sous l’une ou l’autre forme. Mais comment peut-on alors convertir un nombre sous forme exponentielle dans d’autres formes ?

Eh bien, la conversion de la forme exponentielle à la forme trigonométrique est assez simple, il suffit simplement d’utiliser les mêmes valeurs pour le module et l’argument. Et pour convertir de la forme exponentielle à la forme algébrique, on convertit d’abord en forme trigonométrique puis on convertit en forme algébrique. Puisque 𝑟 𝑒 de 𝑖𝜃 est la même chose que 𝑟 cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃, on peut distribuer le module, puis comparer l’expression obtenue à la forme algébrique d’un nombre complexe. La partie réelle sera 𝑟 cosinus 𝜃 et sa partie imaginaire sera 𝑖 sinus 𝜃.

Maintenant que nous avons une définition de la forme exponentielle d’un nombre complexe, nous pouvons l’utiliser pour en déduire des formules de multiplication et de division avec ces nombres. Soit deux nombres complexes 𝑟 un 𝑒 de 𝑖𝜃 un et 𝑟 deux 𝑒 de 𝑖𝜃 deux. Leur produit est 𝑟 un 𝑒 de 𝑖𝜃 un fois 𝑟 deux 𝑒 de 𝑖𝜃 deux. On rappelle alors les propriétés du module et de l’argument d’un nombre complexe.

Le module du produit de deux nombres complexes est égal au produit de leurs modules et l’argument de leur produit est égal à la somme de leurs arguments. On peut donc dire que le produit de 𝑧 un et 𝑧 deux est 𝑟 un 𝑟 deux 𝑒 de 𝑖 𝜃 un plus 𝜃 deux. En résumé, on multiplie leurs modules et on additionne leurs arguments. De même, pour la division des deux nombres complexes, on obtient 𝑟 un divisé par 𝑟 deux fois 𝑒 de 𝑖 𝜃 un moins 𝜃 deux. Cette fois, on divise leurs modules et on soustrait leurs arguments.

Maintenant, bien qu’il semble que nous aurions simplement pu appliquer les lois des puissances entières pour obtenir ces résultats, nous devons être prudents et nous ne pouvons pas supposer que ces lois s’appliquent pour tous les nombres complexes. Cela n’est en effet pas toujours le cas. Il est donc préférable de penser au produit et au quotient des nombres complexes en fonction de leurs modules et arguments. Voyons à présent comment appliquer ces résultats à la multiplication et à la division de nombres complexes sous forme exponentielle.

Pour 𝑧 un égale cinq 𝑒 de moins 𝜋 sur deux 𝑖 et 𝑧 deux égale six 𝑒 de 𝜋 sur trois 𝑖, exprimez 𝑧 un 𝑧 deux sous la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖.

Nous avons ici deux nombres complexes sous forme exponentielle et nous devons calculer leur produit sous forme algébrique. Il est beaucoup plus simple de multiplier des nombres complexes sous forme exponentielle. Nous allons donc le faire avant de convertir leur produit sous forme algébrique. Pour multiplier deux nombres complexes sous forme exponentielle, on multiplie leurs modules et on additionne leurs arguments.

Le module du premier nombre complexe est cinq et son argument est moins 𝜋 sur deux. Et le module du deuxième nombre complexe est six et son argument est 𝜋 sur trois. Cela signifie que le module du produit de ces deux nombres complexes sera cinq fois six, soit 30. Et l’argument de 𝑧 un 𝑧 deux sera moins 𝜋 sur deux plus 𝜋 sur trois.

On peut additionner ces fractions en les réduisant au même dénominateur. Par exemple, six. On a alors moins trois 𝜋 sur six plus deux 𝜋 sur six, ce qui fait moins 𝜋 sur six. Par conséquent, 𝑧 un 𝑧 deux est égal à 30𝑒 de moins 𝜋 sur six 𝑖. Et il s’agit de sa forme exponentielle. Mais comment pouvons-nous maintenant le convertir sous forme algébrique ? Le moyen le plus simple est de le convertir sous forme trigonométrique en premier. Cela fait 30 cosinus de moins 𝜋 sur six plus 𝑖 sinus de moins 𝜋 sur six. On distribue ensuite le 30.

Et on trouve 30 cos de moins 𝜋 sur six plus 30 sin de moins 𝜋 sur six 𝑖. Et il s’agit en fait d’un angle remarquable. Cos de moins 𝜋 sur six égale racine carrée de trois sur deux et sin de moins 𝜋 sur six égale moins un sur deux. On peut donc voir que 𝑧 un 𝑧 deux, le produit de ces deux nombres complexes, se simplifie par 15 racine carrée de trois moins 15𝑖. Et il est maintenant sous forme algébrique, comme requis. En le comparant à la forme générale de l’énoncé, on voit que 𝑎 est égal à 15 racine carrée de trois et que 𝑏 est égal à moins 15.

Pour 𝑧 égale 𝑖 racine carrée de deux sur un moins 𝑖, exprimez 𝑧 sous forme exponentielle.

Pour répondre à cette question, nous avons deux options. Nous pouvons diviser ces deux nombres complexes sous forme algébrique. Il faut pour cela multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, puis développer et simplifier autant que possible. Je suis sûr que vous conviendrez que cette méthode est assez longue. Mais nous pouvons également choisir d’écrire ces nombres complexes sous forme exponentielle. Nous devons pour cela calculer leurs modules et arguments.

𝑖 racine carrée de deux est un nombre purement imaginaire. Sur un diagramme d’Argand, il est représenté par le point dont les coordonnées cartésiennes sont zéro, racine carrée de deux. Son module est la longueur du segment qui relie ce point à l’origine. C’est-à-dire racine carrée de deux. Et puisque l’argument est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des réels positifs, l’argument de ce nombre complexe est de 90 degrés. Ce qui fait 𝜋 sur deux radians. Sous forme exponentielle, ce nombre complexe est donc égal à racine carrée de deux 𝑒 de 𝜋 sur deux 𝑖.

Le nombre complexe un moins 𝑖 est un peu plus délicat. Sa partie réelle est positive et sa partie imaginaire est négative. Il se situe donc dans le quatrième quadrant. Le calcul de son module de dépend cependant pas de son quadrant. On peut simplement utiliser la formule de la racine carrée de la somme des carrés des parties réelles et imaginaires. Cela donne racine carrée de un au carré plus moins un au carré, ce qui fait à nouveau racine carrée de deux.

Nous devons être un peu plus prudents avec l’argument. Comme il se trouve dans le quatrième quadrant, nous pouvons utiliser la formule pour les nombres complexes appartenant au premier et quatrième quadrants. Elle donne arc tangente de 𝑏 sur 𝑎, c’est-à-dire arc tangente de la partie imaginaire divisée par la partie réelle. Dans ce cas, il s’agit donc d’arc tangente de moins un sur un, ce qui est égal à moins 𝜋 sur quatre. L’argument est bien négatif car on mesure cette fois l’angle dans le sens des aiguilles d’une montre. On peut donc reformuler la fraction par racine carrée de deux 𝑒 de 𝜋 sur deux 𝑖 sur racine carrée de deux 𝑒 de moins 𝜋 sur quatre 𝑖. Et nous pouvons à présent facilement diviser.

Pour diviser des nombres complexes sous forme exponentielle, on divise leurs modules et on soustrait leurs arguments. Racine carrée de deux divisé par racine carrée de deux égale un et 𝜋 sur deux moins moins 𝜋 sur quatre égale trois 𝜋 sur quatre. Sous forme exponentielle, 𝑧 est donc égal à 𝑒 de trois 𝜋 sur quatre 𝑖.

Nous avons donc vu comment multiplier et diviser des nombres complexes sous forme exponentielle. Voyons à présent comment utiliser les propriétés des nombres complexes sous forme exponentielle pour résoudre des équations.

Sachant que 𝑎𝑒 de 𝑖𝜃 plus 𝑏𝑒 de moins deux 𝑖𝜃 est égal à cos de deux 𝜃 moins cinq 𝑖 sin de deux 𝜃, où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels, calculez 𝑎 et 𝑏.

Nous avons ici une équation de nombres complexes, où nous cherchons à calculer inconnues. Avant de pouvoir déterminer 𝑎 et 𝑏, nous devons nous assurer que chaque nombre complexe est sous la même forme. Convertissons donc le membre gauche sous forme trigonométrique. Il est composé de deux nombres complexes. Leurs modules sont respectivement 𝑎 et 𝑏. Et leurs arguments sont deux 𝜃 et moins deux 𝜃. Leur somme est donc égale à 𝑎 cos de deux 𝜃 plus 𝑖 sin de deux 𝜃 plus 𝑏 cos de moins deux 𝜃 plus 𝑖 sin de moins deux 𝜃.

On rappelle à présent que le cosinus est une fonction paire et que le sinus est une fonction impaire. Cela signifie que cosinus de moins deux 𝜃 est égal à cosinus de deux 𝜃. Mais que sinus de moins deux 𝜃 est égal à moins sinus de deux 𝜃. Cela nous permet de reformuler notre équation comme ceci On peut alors distribuer 𝑎 et 𝑏. Puis, on regroupe les termes semblables. On obtient alors cos de deux 𝜃 fois 𝑎 plus 𝑏 plus 𝑖 sin de deux 𝜃 fois 𝑎 moins 𝑏. Et bien sûr, cela est égal à cos de deux 𝜃 moins cinq 𝑖 sin de deux 𝜃 d’après l’équation d’origine. Nous pouvons à présent poser l’égalité des parties réelles et imaginaires.

En posant les coefficients de cos de deux 𝜃 égaux, on obtient un égale 𝑎 plus 𝑏. Et pour les coefficients de sin de deux 𝜃, on obtient moins cinq égale 𝑎 moins 𝑏. Nous avons donc à présent un système de deux équations en fonction de 𝑎 et 𝑏. Et on peut les additionner pour éliminer 𝑏. On obtient ainsi moins quatre égale deux 𝑎. Donc 𝑎 doit être égal à moins deux. Enfin, on substitue cette valeur dans la première équation. Cela donne un égale moins deux plus 𝑏. Donc 𝑏 doit être égal à trois. Par conséquent, 𝑎 est égal à moins deux et 𝑏 est égal à trois.

Nous pouvons bien sûr vérifier ces solutions en remplaçant 𝑎 par moins deux et 𝑏 par trois dans l’autre équation. Cela donne alors moins deux moins trois égale moins cinq, comme attendu.

Dans le dernier exemple, nous allons rappeler les propriétés du conjugué d’un nombre complexe et voir comment l’identification du conjugué d’un nombre complexe sous forme exponentielle peut nous faire gagner du temps.

Trouvez la valeur numérique de 𝑒 de 11𝜋 sur six 𝑖 plus 𝑒 de moins 11𝜋 sur six 𝑖.

Pour calculer la somme de ces deux nombres complexes, nous pourrions les convertir sous forme algébrique et les additionner en regroupant les termes semblables. Il est cependant utile de savoir repérer le conjugué d’un nombre complexe sous forme exponentielle, et nous allons voir pourquoi dans un instant. Pour un nombre complexe 𝑧 égal à 𝑟𝑒 de 𝑖𝜃, son conjugué, noté 𝑧 barre, est 𝑟 𝑒 de moins 𝑖𝜃. Remarquez que le module du conjugué est le même que le module du nombre complexe d’origine mais que son argument est l’opposé de l’argument du nombre complexe d’origine.

Les deux nombres complexes que l’on a ici, 𝑒 de 11𝜋 sur six 𝑖 et 𝑒 de moins 11𝜋 sur six 𝑖, ont tous deux un module de un. Mais l’argument du deuxième nombre complexe est l’opposé de l’argument du premier. Cela signifie que 𝑒 de moins 11𝜋 sur six 𝑖 est le conjugué de 𝑒 de 11𝜋 sur six 𝑖, et inversement. Mais en quoi cela nous aide-t-il ? Eh bien, cela nous permet d’utiliser la formule de la somme d’un nombre complexe et de son conjugué. La somme d’un nombre complexe et de son conjugué est en effet égale à deux fois la partie réelle de ce nombre complexe.

Maintenant, la partie réelle d’un nombre complexe écrit sous forme exponentielle ou trigonométrique est simplement 𝑟 cosinus 𝜃. Donc, pour notre nombre complexe, sa partie réelle est égale à un fois cos de 11𝜋 sur six. Et cela signifie que la somme de 𝑒 de 11𝜋 sur six 𝑖 et de son conjugué 𝑒 de moins 11𝜋 sur six 𝑖 est égale à deux fois ceci. Cos de 11𝜋 sur six égale racine carrée de trois sur deux. Donc, deux fois la partie réelle de ce nombre complexe est égal à deux fois racine carrée de trois sur deux, ce qui fait simplement racine carrée de trois. Nous pouvons donc conclure que la valeur numérique de 𝑒 de 11𝜋 sur six 𝑖 plus 𝑒 de moins 11𝜋 sur six 𝑖 est simplement racine carrée de trois.

Dans cette vidéo, nous avons appris qu’on peut exprimer un nombre complexe sous forme exponentielle avec 𝑟𝑒 de 𝑖𝜃, où 𝑟 est le module et 𝜃 l’argument mesuré en radians. Et nous avons vu que travailler avec des nombres sous cette forme peut nous aider à simplifier des calculs impliquant la multiplication et la division. Pour multiplier deux nombres complexes sous forme exponentielle, on multiplie leurs modules et on additionne leurs arguments. Et pour diviser deux nombres complexes sous forme exponentielle, on divise leurs modules et on soustrait leurs arguments.

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