Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment passer un nombre complexe de la forme algébrique à la forme exponentielle (la forme d’Euler) et inversement.
Commençons par rappeler la forme polaire d’un nombre complexe. Si un nombre complexe a un module et un argument , alors ce nombre complexe peut s’écrire sous la forme
Cela nous donne un moyen de représenter le nombre complexe en utilisant uniquement le module et l’argument. La forme exponentielle d’un nombre complexe est une manière différente et plus simple de représenter un nombre complexe en utilisant son module et son argument. Pour obtenir la forme exponentielle d’un nombre complexe, nous devons comprendre comment simplifier l’expression , qui apparaît sous la forme polaire. Pour cela, nous présentons une formule très importante créditée à un mathématicien suisse, Leonhard Euler ( 1707 - 1783 ).
Formule : Formule d’Euler
Pour tout nombre réel ,
Cette équation est connue sous le nom de formule d’Euler ou identité d’Euler. Cette équation remarquable relie la fonction exponentielle , les fonctions trigonométriques et l’unité imaginaire . Nous pouvons visualiser la formule d’Euler sur un diagramme d’Argand en balayant le cercle trigonométrique centré à l’origine.
On observe un cas particulier de la formule d’Euler lorsque , nous avons alors
En ajoutant 1 aux deux côtés, on obtient la célèbre identité
Cette équation est considérée par beaucoup comme un exemple de beauté mathématique car en utilisant trois des opérations les plus fondamentales en mathématiques (addition, multiplication et exponentiation) une seule fois, elle relie les cinq constantes fondamentales des mathématiques : 0, 1, , et .
Nous pouvons prouver la formule d’Euler en utilisant les séries de Maclaurin. La série de fonctions de Maclaurin ou de Taylor nous permet d’étendre une fonction de variable réelle à des valeurs complexes de la variable, à condition que la série converge. Nous commençons par le développement de la série de Maclaurin pour :
Puisque le côté gauche de la formule d’Euler contient , nous substituons dans cette équation pour écrire
Rappelons que les puissances entières de forment un cycle pour tout entier comme suit :
Par conséquent, nous avons
En rassemblant les parties réelle et imaginaire séparément, nous avons
Rappelons que les séries de sinus et de cosinus de Maclaurin sont
En identifiant la série de puissance dans les parties réelle et imaginaire de avec la série de Maclaurin appropriée, on obtient
Cela prouve la formule d’Euler.
Dans notre premier exemple, nous utiliserons la formule d’Euler pour écrire et en fonction de fonctions exponentielles complexes.
Exemple 1: Relation entre le sinus, le cosinus et la fonction exponentielle
Utiliser la formule d’Euler pour exprimer et en termes de et .
Réponse
Rappelons la formule d’Euler :
Commençons par appliquer la formule d’Euler pour exprimer en substituant à la place de dans la formule ci-dessus :
Rappelons les identités de parité des sinus et cosinus :
En substituant ces identités ci-dessus, nous pouvons réécrire
Maintenant, nous avons deux identités :
On peut les considérer comme des équations simultanées où les inconnues sont et . Si nous ajoutons ces deux équations, nous pouvons supprimer la fonction sinus et trouver l’expression pour en termes de et . Aussi, si on soustrait ces équations, on peut supprimer la fonction cosinus et trouver l’expression de en termes de et .
Trouvons d’abord l’expression pour en termes de et en ajoutant les deux équations simultanées :
En divisant par 2, on obtient
Cela donne l’expression de en termes de et .
Ensuite, trouvons une formule similaire pour en prenant la différence des équations simultanées :
En divisant par , on arrive à
Cela donne l’expression de en termes de et .
Ainsi, nous avons obtenu
Dans l’exemple précédent, nous avons appliqué la formule d’Euler pour exprimer les fonctions sinus et cosinus en fonction des fonctions exponentielles complexes. La principale application de la formule d’Euler dans cette fiche explicative est de passer de la forme polaire d’un nombre complexe à sa forme exponentielle.
Rappelons que la forme polaire d’un nombre complexe de module et d’argument est
La formule d’Euler nous dit que l’expression entre parenthèses est égale à . Lorsque nous effectuons cette substitution, nous obtenons la forme exponentielle d’un nombre complexe.
Définition : Forme exponentielle d’un nombre complexe
La forme exponentielle d’un nombre complexe non nul de module et d’argument est
Le domaine de définition standard de l’argument dans l’exponentielle est .
Pour écrire la forme exponentielle d’un nombre complexe, il faut connaître son module et son argument, qui sont les mêmes caractéristiques que celles requises pour la forme polaire du nombre complexe. Par conséquent, la conversion de nombres complexes entre les formes polaire et exponentielle est une tâche simple.
Considérons un exemple où nous passons un nombre complexe de sa forme polaire à sa forme exponentielle.
Exemple 2: Convertir des nombres complexes de leur forme polaire et à leur forme exponentielle
Mettez sous forme exponentielle.
Réponse
Rappelons que la forme exponentielle d’un nombre complexe non nul de module et d’argument est
On nous donne le nombre complexe sous une forme proche de la forme polaire. Nous savons que la forme polaire d’un nombre complexe non nul de module et d’argument est
Puisque nous connaissons la forme polaire d’un nombre complexe, nous pouvons identifier le module et l’argument du nombre complexe, ce qui conduira alors à la forme exponentielle du nombre complexe.
Cependant, la forme donnée de notre nombre complexe a un signe négatif devant la partie imaginaire, ce qui signifie que ce n’est pas exactement la forme polaire. Nous devons d’abord convertir ce nombre en forme polaire afin de pouvoir identifier son module et son argument. Pour cela, il faut rappeler que la fonction sinus est impaire et que la fonction cosinus est paire. Cela conduit aux identités
En appliquant ces identités à notre nombre, on peut écrire
Ceci est la forme polaire de . Cela signifie que le module de est et que l’argument de est . Nous rappelons que le domaine de définition standard des arguments est , de sorte que notre argument est dans l’intervalle correct. Cela conduit à la forme exponentielle
Dans l’exemple précédent, nous avons converti un nombre complexe de sa forme polaire à sa forme exponentielle. Ce processus est simple car le module et l’argument d’un nombre complexe sont déjà fournis sous forme polaire. Si nous partons de la forme cartésienne d’un nombre complexe, nous devons d’abord calculer le module et l’argument du nombre complexe pour obtenir la forme exponentielle. Considérons un exemple où nous convertissons un nombre complexe de sa forme cartésienne à sa forme exponentielle.
Exemple 3: Convertir des nombres complexes de leurs forme cartésienne à leur forme exponentielle
Mettez le nombre sous forme exponentielle.
Réponse
Rappelons que la forme exponentielle d’un nombre complexe non nul de module et d’argument est
On commence par trouver le module de . Rappelons que le module d’un nombre complexe est donné par . En remplaçant la partie réelle par et la partie imaginaire par dans cette formule et en simplifiant, nous avons
Cela nous indique que le module de vaut .
Trouvons maintenant l’argument de . Notez que puisque la partie réelle est positive et que la partie imaginaire est négative, se situe dans le quatrième quadrant d’un diagramme d’Argand. Rappelons que l’argument d’un nombre complexe dans le quatrième quadrant est donné par . Par conséquent,
Cela signifie que l’argument de est . Nous rappelons que le domaine de définition standard des arguments est , de sorte que notre argument est dans l’intervalle correct.
En utilisant le module et l’argument , on peut exprimer sous la forme exponentielle comme
Dans l’exemple précédent, nous avons converti un nombre complexe sous forme cartésienne à sa forme exponentielle. Nous considérons maintenant le processus inverse. Pour convertir un nombre complexe sous forme exponentielle à sa forme cartésienne, nous devons d’abord le mettre sous sa forme polaire. Nous pouvons ensuite passer de la forme polaire du nombre complexe à la forme cartésienne. Dans l’exemple suivant, nous illustrerons ce processus.
Exemple 4: Convertir des nombres complexes de leur forme exponentielle à leur forme cartésienne
Mettez sous forme cartésienne.
Réponse
On nous donne la forme exponentielle d’un nombre complexe. Pour convertir un nombre complexe sous forme exponentielle à sa forme cartésienne, nous devons d’abord le mettre sous forme polaire. Nous pouvons ensuite passer de la forme polaire du nombre complexe à la forme cartésienne.
Rappelons que la forme exponentielle d’un nombre complexe non nul de module et d’argument est
On rappelle aussi que la forme polaire d’un nombre complexe non nul de module et d’argument est
On voit que les formes exponentielle et polaire partagent les mêmes paramètres et , ce qui simplifie la conversion.
À partir de la forme exponentielle donnée, nous obtenons un module et un argument . Par conséquent, la forme polaire de est
Pour convertir la forme polaire d’un nombre complexe à la forme cartésienne, nous devons développer les parenthèses et évaluer les rapports trigonométriques. Puisque est un angle particulier, on rappelle les rapports trigonométriques
En substituant ces valeurs dans la forme polaire de et en simplifiant, on obtient
Ainsi, la forme cartésienne du nombre complexe donné est
En utilisant les propriétés du module et de l’argument pour la multiplication, la multiplication d’une paire de nombres complexes non nuls est plus simple sous forme polaire ou exponentielle. Rappelons ces propriétés :
Cela conduit à la règle de multiplication pour les nombres complexes sous la forme exponentielle.
Règle : Multiplication de nombres complexes sous forme exponentielle
Soient et des nombres complexes sous forme exponentielle. Le produit sous forme exponentielle vaut
Si l’on rappelle la loi des exposants selon laquelle alors la règle de multiplication pour la forme exponentielle est très intuitive. En fait, cette règle exprime le fait que la loi des exposants est toujours valable lorsque les exposants sont des nombres complexes. Cela est vrai tant que la base de l’exposant est un nombre réel positif.
Considérons un exemple où nous multiplions une paire de nombres complexes sous forme exponentielle.
Exemple 5: Multiplier des nombres complexes sous forme exponentielle
Sachant que et que , exprimez sous la forme .
Réponse
Rappelons la règle de multiplication pour les nombres complexes sous forme exponentielle,
Puisqu’on nous donne les deux nombres complexes et sous la forme exponentielle, on peut appliquer cette règle avec les valeurs
En substituant ces valeurs dans la règle de multiplication, on obtient
Cela conduit à la forme polaire du nombre complexe .
Pour convertir un nombre complexe sous forme exponentielle à sa forme cartésienne, nous devons d’abord le mettre sous forme polaire. Nous pouvons ensuite passer de la forme polaire du nombre complexe à la forme cartésienne.
Rappelons que la forme exponentielle d’un nombre complexe non nul de module et d’argument est
On rappelle aussi que la forme polaire d’un nombre complexe non nul de module et d’argument est
On voit que les formes exponentielle et polaire partagent les mêmes paramètres et , ce qui simplifie la conversion.
À partir de la forme exponentielle , on obtient le module 30 et l’argument . Par conséquent, la forme polaire de est
Pour passer de la forme polaire d’un nombre complexe à la forme cartésienne, nous devons développer les parenthèses et évaluer les rapports trigonométriques. En utilisant le cercle trigonométrique pour les rapports trigonométriques, nous pouvons les déterminer
En substituant ces valeurs dans la forme polaire de et en simplifiant, on obtient
Ainsi, la forme cartésienne du nombre complexe donné est
Dans l’exemple précédent, nous avons multiplié des nombres complexes sous forme exponentielle. Concentrons-nous maintenant sur la division, ou le quotient, d’une paire de nombres complexes non nuls sous forme exponentielle. On rappelle les propriétés du module et de l’argument pour la division,
Cela conduit à la règle de division pour les nombres complexes sous forme exponentielle.
Règle : Division des nombres complexes sous forme exponentielle
Soient et des nombres complexes non nuls sous forme exponentielle. Le quotient sous forme exponentielle est
Semblable à la règle de multiplication pour les nombres complexes sous forme exponentielle, cette règle peut être considérée comme une généralisation de la loi des exposants selon laquelle
Cette règle est également valide lorsque l’exposant est une valeur complexe, tant que la base de l’exposant est un nombre réel positif.
Dans l’exemple suivant, nous considérons un quotient de nombres complexes sous forme cartésienne. Nous allons d’abord convertir le nombre complexe en forme exponentielle et effectuer la division en utilisant cette règle.
Exemple 6: Diviser des nombres complexes
Sachant que , écrivez sous forme exponentielle.
Réponse
Nous avons deux méthodes pour cet exemple : nous pouvons soit convertir chaque nombre sous forme exponentielle puis utiliser leurs propriétés pour effectuer la division, soit nous pouvons effectuer la division avec les nombres complexes sous leur forme actuelle, puis convertir le résultat. Sachant que la division des nombres complexes est plus simple avec la forme exponentielle, nous choisirons la première méthode. On rappelle la règle de division pour une paire de nombres complexes non nuls sous forme exponentielle :
Nous commençons par convertir les nombres complexes au numérateur et au dénominateur du quotient donné. Premièrement, considérons le nombre complexe au numérateur, . Ce nombre est un nombre imaginaire pur, où la partie imaginaire est positive. Dans un diagramme d’Argand, ce nombre est tracé sur l’axe imaginaire positif, ce qui signifie que son argument est . De plus, puisqu’il s’agit d’un nombre imaginaire pur, la valeur absolue de la partie imaginaire de ce nombre est égale au module. Cela signifie que le module est . Ainsi, nous pouvons exprimer le numérateur sous la forme exponentielle comme
Ensuite, convertissons le dénominateur du quotient à la forme exponentielle. Rappelons que le module d’un nombre complexe est . Pour le dénominateur , nous avons et ; ainsi, son module est
Pour l’argument de ce nombre, on note d’abord que se situe dans le quatrième quadrant dans un diagramme d’Argand car il a une partie réelle positive et une partie imaginaire négative. Rappelons que l’argument d’un nombre complexe dans le quatrième quadrant est donné par . Ainsi,
Ainsi, nous pouvons exprimer le dénominateur sous la forme exponentielle comme
Maintenant que nous avons obtenu la forme exponentielle des deux nombres complexes, nous pouvons écrire
Par conséquent, nous pouvons maintenant appliquer la règle de division avec les valeurs
En les substituant dans la règle de division ci-dessus, on obtient
Nous rappelons que le domaine de définition standard des arguments est , donc notre argument est dans l’intervalle correct.
Ainsi, la forme exponentielle du quotient donné est .
Nous avons considéré les propriétés de la forme exponentielle pour la multiplication et la division de nombres complexes. Considérons maintenant la propriété de la forme exponentielle par rapport au conjugué complexe.
On rappelle les propriétés du module et de l’argument d’un nombre complexe pour l’opération de conjugaison. Étant donné un nombre complexe non nul , nous avons
Ces propriétés conduisent à la règle suivante.
Règle : Conjugaison de nombres complexes sous forme exponentielle
Étant donné un nombre complexe non nul sous la forme polaire , son conjugué sous la forme polaire est
Cette assertion nous dit que l’opération de conjugaison complexe peut être opérée dans la fonction exponentielle. Nous pouvons voir que le membre de droite de l’énoncé peut être obtenu en prenant uniquement le conjugué complexe de l’exposant. Ceci est toujours vrai tant que la base de l’exposant est un nombre réel positif.
Considérons un exemple impliquant la propriété de conjugaison de la forme exponentielle.
Exemple 7: Additionner des nombres complexes sous forme exponentielle
Déterminez la valeur numérique de
Réponse
Dans cet exemple, nous ajoutons deux nombres complexes sous forme exponentielle. Nous pouvons remarquer que le module des deux nombres complexes est le même et que leurs arguments ont des signes opposés. On rappelle la règle de conjugaison des nombres complexes sous forme exponentielle :
En utilisant cette règle, nous pouvons remarquer que le deuxième nombre de la somme est le conjugué du premier nombre de la somme. On rappelle la propriété de conjugaison complexe : pour tout nombre complexe ,
Ainsi, nous pouvons simplifier notre expression :
Nous avons seulement besoin de calculer la partie réelle de ce nombre. On rappelle la formule d’Euler :
D’après la formule d’Euler, nous savons que
Par conséquent,
Dans notre dernier exemple, nous utiliserons diverses propriétés de la forme exponentielle pour résoudre un problème.
Exemple 8: Propriétés des nombres complexes sous forme exponentielle
Sachant que , et , déterminez toutes les valeurs possibles de , en les exprimant sous forme exponentielle.
Réponse
Dans cet exemple, nous devons trouver toutes les expressions possibles d’un nombre complexe à partir d’informations données sur un quotient. Le quotient comprend également un carré, qui est une multiplication de nombres complexes. Nous savons que la multiplication et la division sont simplifiées lorsque nous utilisons la forme exponentielle, ainsi, nous allons résoudre le problème en utilisant diverses propriétés de la forme exponentielle.
Rappelons que la forme exponentielle d’un nombre complexe non nul de module et d’argument est
Commençons par convertir sous forme exponentielle. Pour cela, nous avons besoin de trouver son module et son argument. Rappelons que le module d’un nombre complexe est . Pour , nous avons et . Par conséquent,
Trouvons maintenant l’argument de . Puisque a des parties réelle et imaginaire négatives, il se situe dans le troisième quadrant. Par conséquent, son argument est
Ainsi, on peut écrire sous forme exponentielle :
Maintenant, disons que le nombre complexe a un module et un argument , de sorte que sa forme exponentielle est écrite comme
On va calculer le quotient pour se ramener à l’énoncé. On commence par le dénominateur en rappelant la règle de multiplication pour les nombres complexes sous forme exponentielle,
Puisque et , on peut écrire
Ensuite, pour calculer le quotient , nous rappelons la règle de division pour une paire de nombres complexes non nuls sous la forme exponentielle :
Puisque que nous avons déjà obtenu et , on peut écrire
Cela nous donne le quotient sous la forme exponentielle. En particulier, cela nous indique que le module de ce quotient est . On nous donne que ce module est égal à . Puisque , on sait que . Par conséquent,
En simplifiant pour isoler dans l’équation,
Puisque est le module du nombre complexe , celui-ci ne peut pas être négatif. Ainsi, nous avons .
Maintenant, la seule information que nous n’avons pas utilisée est . Ceci nous indique que la partie imaginaire du quotient est égale à zéro, ce qui signifie que le nombre complexe sur le diagramme d’Argand se situerait sur l’axe réel. Pour que l’argument se situe sur l’axe réel, l’argument de ce nombre complexe doit être un multiple entier de . Par conséquent,
Réarrangeons l’équation de façon à isoler :
Puisque est l’argument du nombre complexe , il doit être compris dans l’intervalle . Nous devons trouver toutes les valeurs possibles de dans cet intervalle. C’est-à-dire, nous devons identifier les valeurs entières satisfaisant
Ajouter à chaque partie de l’inéquation ci-dessus donne
On peut multiplier de chaque côté de l’inéquation, en inversant le sens des inégalités :
Par conséquent, l’ensemble des valeurs entières satisfaisant la condition ci-dessus est . En substituant ces valeurs de dans (1), on obtient
Nous rappelons que le domaine de définition standard des arguments est , de sorte que tous les arguments des nombres complexes ci-dessus sont dans l’intervalle correct. Avec un module , les formes exponentielles de toutes les valeurs possibles de sont
Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Pour tout nombre réel , la formule d’Euler nous dit que Le domaine de définition standard de l’argument sous forme exponentielle est .
- Un nombre complexe de module et d’argument est écrit sous la forme exponentielle comme
- La forme exponentielle des nombres complexes simplifie la multiplication, la division et la conjugaison selon les règles suivantes :
- Règle de multiplication :
- Règle de division :
- Règle de conjugaison :
