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Fiche explicative de la leçon : Forme exponentielle d'un nombre complexe Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment passer un nombre complexe de la forme algébrique à la forme exponentielle (la forme d’Euler) et inversement.

Commençons par rappeler la forme polaire d’un nombre complexe. Si un nombre complexe 𝑧 a un module 𝑟 et un argument 𝜃, alors ce nombre complexe peut s’écrire sous la forme 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃).cossin

Cela nous donne un moyen de représenter le nombre complexe en utilisant uniquement le module et l’argument. La forme exponentielle d’un nombre complexe est une manière différente et plus simple de représenter un nombre complexe en utilisant son module et son argument. Pour obtenir la forme exponentielle d’un nombre complexe, nous devons comprendre comment simplifier l’expression cossin𝜃+𝑖𝜃, qui apparaît sous la forme polaire. Pour cela, nous présentons une formule très importante créditée à un mathématicien suisse, Leonhard Euler ( 1707 - 1783 ).

Formule : Formule d’Euler

Pour tout nombre réel 𝜃, 𝑒=𝜃+𝑖𝜃.cossin

Cette équation est connue sous le nom de formule d’Euler ou identité d’Euler. Cette équation remarquable relie la fonction exponentielle 𝑒, les fonctions trigonométriques et l’unité imaginaire 𝑖. Nous pouvons visualiser la formule d’Euler sur un diagramme d’Argand en balayant le cercle trigonométrique centré à l’origine.

On observe un cas particulier de la formule d’Euler lorsque 𝜃=𝜋, nous avons alors 𝑒=1.

En ajoutant 1 aux deux côtés, on obtient la célèbre identité 𝑒+1=0.

Cette équation est considérée par beaucoup comme un exemple de beauté mathématique car en utilisant trois des opérations les plus fondamentales en mathématiques (addition, multiplication et exponentiation) une seule fois, elle relie les cinq constantes fondamentales des mathématiques:0, 1, 𝑒, 𝜋 et 𝑖.

Nous pouvons prouver la formule d’Euler en utilisant les séries de Maclaurin. La série de fonctions de Maclaurin ou de Taylor nous permet d’étendre une fonction de variable réelle à des valeurs complexes de la variable, à condition que la série converge. Nous commençons par le développement de la série de Maclaurin pour 𝑒:𝑒=1+𝑥+𝑥2!+𝑥3!+𝑥4!+𝑥5!+𝑥6!+𝑥7!+.

Puisque le côté gauche de la formule d’Euler contient 𝑒, nous substituons 𝑥=𝑖𝜃 dans cette équation pour écrire 𝑒=1+𝑖𝜃+𝑖𝜃2!+𝑖𝜃3!+𝑖𝜃4!+𝑖𝜃5!+𝑖𝜃6!+𝑖𝜃7!+.

Rappelons que les puissances entières de 𝑖 forment un cycle pour tout entier 𝑛 comme suit:𝑖=1,𝑖=𝑖,𝑖=1,𝑖=𝑖.

Par conséquent, nous avons 𝑒=1+𝑖𝜃𝜃2!𝑖𝜃3!+𝜃4!+𝑖𝜃5!𝜃6!𝑖𝜃7!+.

En rassemblant les parties réelle et imaginaire séparément, nous avons 𝑒=1𝜃2!+𝜃4!𝜃6!++𝑖𝜃𝜃3!+𝜃5!𝜃7!+.

Rappelons que les séries de sinus et de cosinus de Maclaurin sont sincos𝜃=𝜃𝜃3!+𝜃5!𝜃7!+,𝜃=1𝜃2!+𝜃4!𝜃6!+.

En identifiant la série de puissance dans les parties réelle et imaginaire de 𝑒 avec la série de Maclaurin appropriée, on obtient 𝑒=𝜃+𝑖𝜃.cossin

Cela prouve la formule d’Euler.

Dans notre premier exemple, nous utiliserons la formule d’Euler pour écrire sin𝜃 et cos𝜃 en fonction de fonctions exponentielles complexes.

Exemple 1: Relation entre le sinus, le cosinus et la fonction exponentielle

Utiliser la formule d’Euler 𝑒=𝜃+𝑖𝜃cossin pour exprimer sin𝜃 et cos𝜃 en termes de 𝑒 et 𝑒.

Réponse

Rappelons la formule d’Euler:𝑒=𝜃+𝑖𝜃.cossin

Commençons par appliquer la formule d’Euler pour exprimer 𝑒 en substituant 𝜃 à la place de 𝜃 dans la formule ci-dessus:𝑒=𝑒=(𝜃)+𝑖(𝜃).()cossin

Rappelons les identités de parité des sinus et cosinus:sinsincoscos(𝜃)=(𝜃),(𝜃)=(𝜃).

En substituant ces identités ci-dessus, nous pouvons réécrire 𝑒=𝜃𝑖𝜃.cossin

Maintenant, nous avons deux identités:𝑒=𝜃+𝑖𝜃,𝑒=𝜃𝑖𝜃.cossincossin

On peut les considérer comme des équations simultanées où les inconnues sont cos𝜃 et sin𝜃. Si nous ajoutons ces deux équations, nous pouvons supprimer la fonction sinus et trouver l’expression pour cos𝜃 en termes de 𝑒 et 𝑒. Aussi, si on soustrait ces équations, on peut supprimer la fonction cosinus et trouver l’expression de sin𝜃 en termes de 𝑒 et 𝑒.

Trouvons d’abord l’expression pour cos𝜃 en termes de 𝑒 et 𝑒 en ajoutant les deux équations simultanées:𝑒+𝑒=𝜃+𝑖𝜃+𝜃𝑖𝜃=2𝜃.cossincossincos

En divisant par 2, on obtient cos𝜃=12𝑒+𝑒.

Cela donne l’expression de cos𝜃 en termes de 𝑒 et 𝑒.

Ensuite, trouvons une formule similaire pour sin𝜃 en prenant la différence des équations simultanées:𝑒𝑒=𝜃+𝑖𝜃(𝜃𝑖𝜃)=2𝑖𝜃.cossincossinsin

En divisant par 2𝑖, on arrive à sin𝜃=12𝑖𝑒𝑒.

Cela donne l’expression de cos𝜃 en termes de 𝑒 et 𝑒.

Ainsi, nous avons obtenu cossin𝜃=12𝑒+𝑒,𝜃=12𝑖𝑒𝑒.

Dans l’exemple précédent, nous avons appliqué la formule d’Euler pour exprimer les fonctions sinus et cosinus en fonction des fonctions exponentielles complexes. La principale application de la formule d’Euler dans cette fiche explicative est de passer de la forme polaire d’un nombre complexe à sa forme exponentielle.

Rappelons que la forme polaire d’un nombre complexe 𝑧 de module 𝑟 et d’argument 𝜃 est 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃).cossin

La formule d’Euler nous dit que l’expression entre parenthèses est égale à 𝑒. Lorsque nous effectuons cette substitution, nous obtenons la forme exponentielle d’un nombre complexe.

Définition : Forme exponentielle d’un nombre complexe

La forme exponentielle d’un nombre complexe non nul 𝑧 de module 𝑟 et d’argument 𝜃 est 𝑧=𝑟𝑒.

Le domaine de définition standard de l’argument 𝜃 dans l’exponentielle est ]𝜋;𝜋]radians.

Pour écrire la forme exponentielle d’un nombre complexe, il faut connaître son module et son argument, qui sont les mêmes caractéristiques que celles requises pour la forme polaire du nombre complexe. Par conséquent, la conversion de nombres complexes entre les formes polaire et exponentielle est une tâche simple.

Considérons un exemple où nous passons un nombre complexe de sa forme polaire à sa forme exponentielle.

Exemple 2: Convertir des nombres complexes de leur forme polaire et à leur forme exponentielle

Mettez 𝑧=435𝜋6𝑖5𝜋6cossin sous forme exponentielle.

Réponse

Rappelons que la forme exponentielle d’un nombre complexe non nul 𝑧 de module 𝑟 et d’argument 𝜃 est 𝑧=𝑟𝑒.

On nous donne le nombre complexe sous une forme proche de la forme polaire. Nous savons que la forme polaire d’un nombre complexe non nul 𝑧 de module 𝑟 et d’argument 𝜃 est 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃).cossin

Puisque nous connaissons la forme polaire d’un nombre complexe, nous pouvons identifier le module et l’argument du nombre complexe, ce qui conduira alors à la forme exponentielle du nombre complexe.

Cependant, la forme donnée de notre nombre complexe a un signe négatif devant la partie imaginaire, ce qui signifie que ce n’est pas exactement la forme polaire. Nous devons d’abord convertir ce nombre en forme polaire afin de pouvoir identifier son module et son argument. Pour cela, il faut rappeler que la fonction sinus est impaire et que la fonction cosinus est paire. Cela conduit aux identités sinsincoscos𝜃=(𝜃),𝜃=(𝜃).

En appliquant ces identités à notre nombre, on peut écrire 𝑧=435𝜋6+𝑖5𝜋6.cossin

Ceci est la forme polaire de 𝑧. Cela signifie que le module de 𝑧 est 43 et que l’argument de 𝑧 est 5𝜋6. Nous rappelons que le domaine de définition standard des arguments est ]𝜋;𝜋], de sorte que notre argument est dans l’intervalle correct. Cela conduit à la forme exponentielle 𝑧=43𝑒.

Dans l’exemple précédent, nous avons converti un nombre complexe de sa forme polaire à sa forme exponentielle. Ce processus est simple car le module et l’argument d’un nombre complexe sont déjà fournis sous forme polaire. Si nous partons de la forme cartésienne d’un nombre complexe, nous devons d’abord calculer le module et l’argument du nombre complexe pour obtenir la forme exponentielle. Considérons un exemple où nous convertissons un nombre complexe de sa forme cartésienne à sa forme exponentielle.

Exemple 3: Convertir des nombres complexes de leurs forme cartésienne à leur forme exponentielle

Mettez le nombre 𝑧=522562𝑖 sous forme exponentielle.

Réponse

Rappelons que la forme exponentielle d’un nombre complexe non nul 𝑧 de module 𝑟 et d’argument 𝜃 est 𝑧=𝑟𝑒.

On commence par trouver le module de 𝑧. Rappelons que le module d’un nombre complexe 𝑎+𝑏𝑖 est donné par 𝑎+𝑏. En remplaçant la partie réelle par 𝑎=522 et la partie imaginaire par 𝑏=562 dans cette formule et en simplifiant, nous avons |𝑧|=𝑎+𝑏=522+562=252+752=50=52.

Cela nous indique que le module de 𝑧 vaut 52.

Trouvons maintenant l’argument de 𝑧. Notez que puisque la partie réelle est positive et que la partie imaginaire est négative, 𝑧 se situe dans le quatrième quadrant d’un diagramme d’Argand. Rappelons que l’argument d’un nombre complexe 𝑎+𝑏𝑖 dans le quatrième quadrant est donné par arctan𝑏𝑎. Par conséquent, argarctanarctanarctanarctan(𝑧)=𝑏𝑎==62=3=𝜋3.

Cela signifie que l’argument de 𝑧 est 𝜋3. Nous rappelons que le domaine de définition standard des arguments est ]𝜋;𝜋], de sorte que notre argument est dans l’intervalle correct.

En utilisant le module 𝑟=52 et l’argument 𝜃=𝜋3, on peut exprimer 𝑧 sous la forme exponentielle comme 𝑧=52𝑒.

Dans l’exemple précédent, nous avons converti un nombre complexe sous forme cartésienne à sa forme exponentielle. Nous considérons maintenant le processus inverse. Pour convertir un nombre complexe sous forme exponentielle à sa forme cartésienne, nous devons d’abord le mettre sous sa forme polaire. Nous pouvons ensuite passer de la forme polaire du nombre complexe à la forme cartésienne. Dans l’exemple suivant, nous illustrerons ce processus.

Exemple 4: Convertir des nombres complexes de leur forme exponentielle à leur forme cartésienne

Mettez 𝑧=53𝑒 sous forme cartésienne.

Réponse

On nous donne la forme exponentielle d’un nombre complexe. Pour convertir un nombre complexe sous forme exponentielle à sa forme cartésienne, nous devons d’abord le mettre sous forme polaire. Nous pouvons ensuite passer de la forme polaire du nombre complexe à la forme cartésienne.

Rappelons que la forme exponentielle d’un nombre complexe non nul 𝑧 de module 𝑟 et d’argument 𝜃 est 𝑧=𝑟𝑒.

On rappelle aussi que la forme polaire d’un nombre complexe non nul 𝑧 de module 𝑟 et d’argument 𝜃 est 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃).cossin

On voit que les formes exponentielle et polaire partagent les mêmes paramètres 𝑟 et 𝜃, ce qui simplifie la conversion.

À partir de la forme exponentielle donnée, nous obtenons un module 53 et un argument 𝜋3. Par conséquent, la forme polaire de 𝑧 est 𝑧=53𝜋3+𝑖𝜋3.cossin

Pour convertir la forme polaire d’un nombre complexe à la forme cartésienne, nous devons développer les parenthèses et évaluer les rapports trigonométriques. Puisque 𝜋3 est un angle particulier, on rappelle les rapports trigonométriques cossin𝜋3=12,𝜋3=32.

En substituant ces valeurs dans la forme polaire de 𝑧 et en simplifiant, on obtient 𝑧=5312+𝑖32=532+𝑖53×32=532+𝑖152.

Ainsi, la forme cartésienne du nombre complexe donné est 𝑧=532+𝑖152.

En utilisant les propriétés du module et de l’argument pour la multiplication, la multiplication d’une paire de nombres complexes non nuls est plus simple sous forme polaire ou exponentielle. Rappelons ces propriétés:|𝑧𝑧|=|𝑧||𝑧|,(𝑧𝑧)=(𝑧)+(𝑧).argargarg

Cela conduit à la règle de multiplication pour les nombres complexes sous la forme exponentielle.

Règle : Multiplication de nombres complexes sous forme exponentielle

Soient 𝑧=𝑟𝑒 et 𝑧=𝑟𝑒 des nombres complexes sous forme exponentielle. Le produit 𝑧𝑧 sous forme exponentielle vaut 𝑟𝑒𝑟𝑒=𝑟𝑟𝑒.()

Si l’on rappelle la loi des exposants selon laquelle 𝑎𝑎=𝑎,𝑎>0,pourtout alors la règle de multiplication pour la forme exponentielle est très intuitive. En fait, cette règle exprime le fait que la loi des exposants est toujours valable lorsque les exposants sont des nombres complexes. Cela est vrai tant que la base de l’exposant est un nombre réel positif.

Considérons un exemple où nous multiplions une paire de nombres complexes sous forme exponentielle.

Exemple 5: Multiplier des nombres complexes sous forme exponentielle

Sachant que 𝑧=5𝑒 et que 𝑧=6𝑒, exprimez 𝑧𝑧 sous la forme 𝑎+𝑏𝑖.

Réponse

Rappelons la règle de multiplication pour les nombres complexes sous forme exponentielle, 𝑟𝑒𝑟𝑒=𝑟𝑟𝑒.()

Puisqu’on nous donne les deux nombres complexes 𝑧 et 𝑧 sous la forme exponentielle, on peut appliquer cette règle avec les valeurs 𝑟=5,𝑟=6,𝜃=𝜋2,𝜃=𝜋3.

En substituant ces valeurs dans la règle de multiplication, on obtient 𝑧𝑧=5𝑒6𝑒=5×6𝑒=30𝑒.

Cela conduit à la forme polaire du nombre complexe 𝑧𝑧.

Pour convertir un nombre complexe sous forme exponentielle à sa forme cartésienne, nous devons d’abord le mettre sous forme polaire. Nous pouvons ensuite passer de la forme polaire du nombre complexe à la forme cartésienne.

Rappelons que la forme exponentielle d’un nombre complexe non nul 𝑧 de module 𝑟 et d’argument 𝜃 est 𝑧=𝑟𝑒.

On rappelle aussi que la forme polaire d’un nombre complexe non nul 𝑧 de module 𝑟 et d’argument 𝜃 est 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃).cossin

On voit que les formes exponentielle et polaire partagent les mêmes paramètres 𝑟 et 𝜃, ce qui simplifie la conversion.

À partir de la forme exponentielle 30𝑒, on obtient le module 30 et l’argument 𝜋6. Par conséquent, la forme polaire de 𝑧 est 𝑧=30𝜋6+𝑖𝜋6.cossin

Pour passer de la forme polaire d’un nombre complexe à la forme cartésienne, nous devons développer les parenthèses et évaluer les rapports trigonométriques. En utilisant le cercle trigonométrique pour les rapports trigonométriques, nous pouvons les déterminer cossin𝜋6=32,𝜋6=12.

En substituant ces valeurs dans la forme polaire de 𝑧 et en simplifiant, on obtient 𝑧=3032𝑖12=3032𝑖302=15315𝑖.

Ainsi, la forme cartésienne du nombre complexe donné est 𝑧𝑧=15315𝑖.

Dans l’exemple précédent, nous avons multiplié des nombres complexes sous forme exponentielle. Concentrons-nous maintenant sur la division, ou le quotient, d’une paire de nombres complexes non nuls sous forme exponentielle. On rappelle les propriétés du module et de l’argument pour la division, |||𝑧𝑧|||=|𝑧||𝑧|,𝑧𝑧=(𝑧)(𝑧).argargarg

Cela conduit à la règle de division pour les nombres complexes sous forme exponentielle.

Règle : Division des nombres complexes sous forme exponentielle

Soient 𝑧=𝑟𝑒 et 𝑧=𝑟𝑒 des nombres complexes non nuls sous forme exponentielle. Le quotient 𝑧𝑧 sous forme exponentielle est 𝑟𝑒𝑟𝑒=𝑟𝑟𝑒.()

Semblable à la règle de multiplication pour les nombres complexes sous forme exponentielle, cette règle peut être considérée comme une généralisation de la loi des exposants selon laquelle 𝑎𝑎=𝑎,𝑎>0.pourtout

Cette règle est également valide lorsque l’exposant est une valeur complexe, tant que la base de l’exposant est un nombre réel positif.

Dans l’exemple suivant, nous considérons un quotient de nombres complexes sous forme cartésienne. Nous allons d’abord convertir le nombre complexe en forme exponentielle et effectuer la division en utilisant cette règle.

Exemple 6: Diviser des nombres complexes

Sachant que 𝑍=2𝑖1𝑖, écrivez 𝑍 sous forme exponentielle.

Réponse

Nous avons deux méthodes pour cet exemple:nous pouvons soit convertir chaque nombre sous forme exponentielle puis utiliser leurs propriétés pour effectuer la division, soit nous pouvons effectuer la division avec les nombres complexes sous leur forme actuelle, puis convertir le résultat. Sachant que la division des nombres complexes est plus simple avec la forme exponentielle, nous choisirons la première méthode. On rappelle la règle de division pour une paire de nombres complexes non nuls sous forme exponentielle:𝑟𝑒𝑟𝑒=𝑟𝑟𝑒.()

Nous commençons par convertir les nombres complexes au numérateur et au dénominateur du quotient donné. Premièrement, considérons le nombre complexe au numérateur, 𝑖2. Ce nombre est un nombre imaginaire pur, où la partie imaginaire est positive. Dans un diagramme d’Argand, ce nombre est tracé sur l’axe imaginaire positif, ce qui signifie que son argument est 𝜋2. De plus, puisqu’il s’agit d’un nombre imaginaire pur, la valeur absolue de la partie imaginaire de ce nombre est égale au module. Cela signifie que le module est 2. Ainsi, nous pouvons exprimer le numérateur sous la forme exponentielle comme 𝑖2=2𝑒.

Ensuite, convertissons le dénominateur du quotient à la forme exponentielle. Rappelons que le module d’un nombre complexe 𝑎+𝑏𝑖 est 𝑎+𝑏. Pour le dénominateur 1𝑖, nous avons 𝑎=1 et 𝑏=1;ainsi, son module est 1+(1)=2.

Pour l’argument de ce nombre, on note d’abord que 1𝑖 se situe dans le quatrième quadrant dans un diagramme d’Argand car il a une partie réelle positive et une partie imaginaire négative. Rappelons que l’argument d’un nombre complexe 𝑎+𝑏𝑖 dans le quatrième quadrant est donné par arctan𝑏𝑎. Ainsi, argarctan(1𝑖)=11=𝜋4.

Ainsi, nous pouvons exprimer le dénominateur sous la forme exponentielle comme 1𝑖=2𝑒.

Maintenant que nous avons obtenu la forme exponentielle des deux nombres complexes, nous pouvons écrire 𝑍=𝑖21𝑖=2𝑒2𝑒.

Par conséquent, nous pouvons maintenant appliquer la règle de division avec les valeurs 𝑟=2,𝑟=2,𝜃=𝜋2,𝜃=𝜋4.

En les substituant dans la règle de division ci-dessus, on obtient 𝑍=22𝑒=𝑒.()

Nous rappelons que le domaine de définition standard des arguments est ]𝜋;𝜋], donc notre argument 3𝜋4 est dans l’intervalle correct.

Ainsi, la forme exponentielle du quotient donné est 𝑒.

Nous avons considéré les propriétés de la forme exponentielle pour la multiplication et la division de nombres complexes. Considérons maintenant la propriété de la forme exponentielle par rapport au conjugué complexe.

On rappelle les propriétés du module et de l’argument d’un nombre complexe pour l’opération de conjugaison. Étant donné un nombre complexe non nul 𝑧, nous avons ||𝑧||=|𝑧|,𝑧=𝑧.argarg

Ces propriétés conduisent à la règle suivante.

Règle : Conjugaison de nombres complexes sous forme exponentielle

Étant donné un nombre complexe non nul sous la forme polaire 𝑧=𝑟𝑒, son conjugué 𝑧 sous la forme polaire est 𝑟𝑒=𝑟𝑒.

Cette assertion nous dit que l’opération de conjugaison complexe peut être opérée dans la fonction exponentielle. Nous pouvons voir que le membre de droite de l’énoncé peut être obtenu en prenant uniquement le conjugué complexe de l’exposant. Ceci est toujours vrai tant que la base de l’exposant est un nombre réel positif.

Considérons un exemple impliquant la propriété de conjugaison de la forme exponentielle.

Exemple 7: Additionner des nombres complexes sous forme exponentielle

Déterminez la valeur numérique de 𝑒+𝑒

Réponse

Dans cet exemple, nous ajoutons deux nombres complexes sous forme exponentielle. Nous pouvons remarquer que le module des deux nombres complexes est le même et que leurs arguments ont des signes opposés. On rappelle la règle de conjugaison des nombres complexes sous forme exponentielle:𝑟𝑒=𝑟𝑒.

En utilisant cette règle, nous pouvons remarquer que le deuxième nombre de la somme est le conjugué du premier nombre de la somme. On rappelle la propriété de conjugaison complexe:pour tout nombre complexe 𝑧, 𝑧+𝑧=2(𝑧).Re

Ainsi, nous pouvons simplifier notre expression:𝑒+𝑒=2𝑒.Re

Nous avons seulement besoin de calculer la partie réelle de ce nombre. On rappelle la formule d’Euler:𝑒=𝜃+𝑖𝜃.cossin

D’après la formule d’Euler, nous savons que Recos𝑒=11𝜋6.

Par conséquent, 𝑒+𝑒=211𝜋6=2×32=3.cos

Dans notre dernier exemple, nous utiliserons diverses propriétés de la forme exponentielle pour résoudre un problème.

Exemple 8: Propriétés des nombres complexes sous forme exponentielle

Sachant que 𝑧=333𝑖, Im𝑧𝑧=0 et |||𝑧𝑧|||=3|𝑧|, déterminez toutes les valeurs possibles de 𝑧, en les exprimant sous forme exponentielle.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons trouver toutes les expressions possibles d’un nombre complexe à partir d’informations données sur un quotient. Le quotient comprend également un carré, qui est une multiplication de nombres complexes. Nous savons que la multiplication et la division sont simplifiées lorsque nous utilisons la forme exponentielle, ainsi, nous allons résoudre le problème en utilisant diverses propriétés de la forme exponentielle.

Rappelons que la forme exponentielle d’un nombre complexe non nul 𝑧 de module 𝑟 et d’argument 𝜃 est 𝑧=𝑟𝑒.

Commençons par convertir 𝑧 sous forme exponentielle. Pour cela, nous avons besoin de trouver son module et son argument. Rappelons que le module d’un nombre complexe 𝑎+𝑏𝑖 est 𝑎+𝑏. Pour 𝑧=333𝑖, nous avons 𝑎=33 et 𝑏=3. Par conséquent, |𝑧|=33+(3)=27+9=36=6.

Trouvons maintenant l’argument de 𝑧. Puisque 𝑧 a des parties réelle et imaginaire négatives, il se situe dans le troisième quadrant. Par conséquent, son argument est argarctanarctan(𝑧)=333𝜋=13𝜋=𝜋6𝜋=5𝜋6.

Ainsi, on peut écrire 𝑧 sous forme exponentielle:𝑧=6𝑒.

Maintenant, disons que le nombre complexe 𝑧 a un module 𝑟 et un argument 𝜃, de sorte que sa forme exponentielle est écrite comme 𝑧=𝑟𝑒.

On va calculer le quotient 𝑧𝑧 pour se ramener à l’énoncé. On commence par le dénominateur 𝑧 en rappelant la règle de multiplication pour les nombres complexes sous forme exponentielle, 𝑟𝑒𝑟𝑒=𝑟𝑟𝑒.()

Puisque 𝑧=𝑧×𝑧 et 𝑧=𝑟𝑒, on peut écrire 𝑧=𝑟𝑒𝑟𝑒=𝑟𝑒.

Ensuite, pour calculer le quotient 𝑧𝑧, nous rappelons la règle de division pour une paire de nombres complexes non nuls sous la forme exponentielle:𝑟𝑒𝑟𝑒=𝑟𝑟𝑒.()

Puisque que nous avons déjà obtenu 𝑧=6𝑒 et 𝑧=𝑟𝑒, on peut écrire 𝑧𝑧=6𝑒𝑟𝑒=6𝑟𝑒.()

Cela nous donne le quotient 𝑧𝑧 sous la forme exponentielle. En particulier, cela nous indique que le module de ce quotient est 6𝑟. On nous donne que ce module est égal à 3|𝑧|. Puisque 𝑧=6𝑒, on sait que |𝑧|=6. Par conséquent, 6𝑟=3×6=18.

En simplifiant pour isoler 𝑟 dans l’équation, 6=18𝑟𝑟=618=13𝑟=±13.

Puisque 𝑟 est le module du nombre complexe 𝑧, celui-ci ne peut pas être négatif. Ainsi, nous avons 𝑟=13.

Maintenant, la seule information que nous n’avons pas utilisée est Im𝑧𝑧=0. Ceci nous indique que la partie imaginaire du quotient est égale à zéro, ce qui signifie que le nombre complexe sur le diagramme d’Argand se situerait sur l’axe réel. Pour que l’argument se situe sur l’axe réel, l’argument de ce nombre complexe doit être un multiple entier de 𝜋. Par conséquent, argpourunentier𝑧𝑧=5𝜋62𝜃=𝑘𝜋,𝑘.

Réarrangeons l’équation de façon à isoler 𝜃:

5𝜋62𝜃=𝑘𝜋2𝜃=𝑘𝜋+5𝜋6𝜃=𝑘𝜋25𝜋12.(1)

Puisque 𝜃 est l’argument du nombre complexe 𝑧, il doit être compris dans l’intervalle ]𝜋;𝜋]. Nous devons trouver toutes les valeurs possibles de 𝜃 dans cet intervalle. C’est-à-dire, nous devons identifier les valeurs entières 𝑘 satisfaisant 𝜋<𝑘𝜋25𝜋12𝜋.

Ajouter 5𝜋12 à chaque partie de l’inéquation ci-dessus donne 7𝜋12<𝑘𝜋217𝜋12.

On peut multiplier 2𝜋 de chaque côté de l’inéquation, en inversant le sens des inégalités:76>𝑘176.

Par conséquent, l’ensemble des valeurs entières 𝑘 satisfaisant la condition ci-dessus est {2;1;0;1}. En substituant ces valeurs de 𝑘 dans (1), on obtient 𝜃=7𝜋12,𝜋12,5𝜋12,11𝜋12.

Nous rappelons que le domaine de définition standard des arguments est ]𝜋;𝜋], de sorte que tous les arguments des nombres complexes ci-dessus sont dans l’intervalle correct. Avec un module 13, les formes exponentielles de toutes les valeurs possibles de 𝑧 sont 𝑧=13𝑒,13𝑒,13𝑒,13𝑒.

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Pour tout nombre réel 𝜃, la formule d’Euler nous dit que 𝑒=𝜃+𝑖𝜃.cossin Le domaine de définition standard de l’argument sous forme exponentielle est ]𝜋;𝜋]radians.
  • Un nombre complexe 𝑧 de module 𝑟 et d’argument 𝜃 est écrit sous la forme exponentielle comme 𝑧=𝑟𝑒.
  • La forme exponentielle des nombres complexes simplifie la multiplication, la division et la conjugaison selon les règles suivantes:
    • Règle de multiplication:𝑟𝑒𝑟𝑒=𝑟𝑟𝑒()
    • Règle de division:𝑟𝑒𝑟𝑒=𝑟𝑟𝑒()
    • Règle de conjugaison:𝑟𝑒=𝑟𝑒

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