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Un wagonnet de montagne russe se déplace le long d’une partie d’une piste qui forme une boucle verticale entre deux pistes incurvées, comme le montre la figure. Les pistes incurvées sont des arcs de cercle avec un rayon d’arc de 24 mètres. La moitié supérieure de la boucle est un demi-cercle avec un rayon d’arc de 14 mètres. Le wagonnet de montagne russe a une masse de 3300 kilogrammes. À la base de la piste incurvée, le wagonnet a une accélération centripète de 24 mètres par seconde au carré. Au sommet de la boucle, le wagonnet a une accélération centripète de 16 mètres par seconde au carré. Quel est le rapport entre le vecteur vitesse angulaire du wagonnet au sommet de la boucle et le vecteur vitesse angulaire du wagonnet à la base de la piste incurvée ? Donnez votre réponse arrondie à une décimale près.
Alors, donc dans cette première partie de la question, on nous demande de trouver le rapport du vecteur vitesse angulaire d’un wagonnet de montagnes russes en deux points différents sur la piste. Cette partie de piste forme une boucle verticale entre deux pistes incurvées. On nous dit que les deux pistes incurvées sont des arcs de cercle avec un rayon d’arc de 24 mètres. Cela signifie donc que lorsque le wagonnet est à la base de la piste courbe, elle se déplace sur une partie d’un cercle d’un rayon de 24 mètres. Notons ce rayon 𝑟 un minuscule. La question nous dit également que la moitié supérieure de la boucle est un demi-cercle avec un rayon d’arc de 14 mètres. Notons le deuxième rayon en 𝑟 deux minuscule.
Lorsque le wagonnet est au sommet de la boucle, elle se déplace sur une partie d’un cercle de rayon 𝑟 deux minuscule. Nous pouvons donc voir que lorsque le wagonnet est dans chacune de ces deux positions, elle subit un mouvement circulaire. Dans le premier cas, quand il est en bas de la piste incurvée, ce mouvement circulaire a un rayon de 𝑟 un égal à 24 mètres. Dans le deuxième cas, où le wagonnet est au sommet de la boucle, ce mouvement circulaire a un rayon 𝑟 deux égal à 14 mètres. On nous dit également qu’à la base de la piste incurvée, le wagonnet a une accélération centripète de 24 mètres par seconde au carré.
Comme il s’agit du cercle de rayon 𝑟 un minuscule, nous appellerons cette accélération centripète 𝑎 un. Et on nous dit ensuite qu’au sommet de la boucle, le wagonnet a une accélération centripète de 16 mètres par seconde au carré. Et puisque cela se produit sur un cercle avec de rayon 𝑟 deux minuscule, alors nous appellerons cette accélération centripète 𝑎 deux.
Donc, juste pour récapituler, les grandeurs que nous avons marquées avec un indice un sont les valeurs à la base de la piste incurvée. Et les grandeurs que nous avons marquées avec un indice deux sont les valeurs au sommet de la boucle. Maintenant, cette première partie de la question nous demande le rapport du vecteur vitesse angulaire du wagonnet au sommet de la boucle par rapport à la base de la piste incurvée. Dans chacun de ces deux cas, nous connaissons le rayon du mouvement circulaire et nous connaissons la valeur de l’accélération centripète.
Nous pouvons rappeler qu’il existe une formule qui relie l’accélération centripète, le rayon du mouvement circulaire et le vecteur vitesse angulaire. Plus précisément, l’accélération centripète, 𝑎 indice 𝑐, est égale au carré du vecteur vitesse angulaire, 𝜔, multiplié par le rayon du cercle, 𝑟. Dans notre cas, nous essayons de trouver la valeur du vecteur vitesse angulaire 𝜔. Alors réorganisons cette formule pour faire de 𝜔 le sujet.
Si nous divisons les deux côtés de l’équation par 𝑟, alors à droite, les 𝑟 au numérateur et au dénominateur s’annulent. Ensuite, en échangeant les côtés gauche et droit de l’équation, nous avons que 𝜔 au carré est égal à 𝑎 indice 𝑐 divisé par 𝑟. Enfin, en prenant la racine carrée des deux côtés, nous avons que la vitesse angulaire 𝜔 est égale à la racine carrée de l’accélération centripète, 𝑎 indice 𝑐, divisée par le rayon 𝑟. Nous sommes maintenant prêts à insérer nos valeurs pour le rayon et l’accélération centripète en chacun des deux points de la piste afin de calculer les valeurs des vecteurs vitesse angulaires. Nous sommes maintenant prêts à insérer nos valeurs pour le rayon et l’accélération centripète en chacun des deux points de la piste afin de calculer les valeurs des vecteurs vitesse angulaires.
Nous allons commencer par le cas où le wagonnet est à la base de la piste incurvée. À ce stade, le rayon est 𝑟 un minuscule égal 24 mètres et l’accélération centripète est 𝑎 un égale 24 mètres par seconde au carré. Si nous notons la vitesse angulaire en ce point comme étant 𝜔 un, alors nous avons que 𝜔 un est égal à la racine carrée de 𝑎 un divisé par 𝑟 un, qui est la racine carrée de 24 mètres par seconde au carré divisée par 24 mètres. Puisque 24 divisé par 24 donne un et que la racine carrée de un est égale à un, alors nous avons que 𝜔 un est égal à un radian par seconde.
Notez que puisque l’accélération a été mesurée en ses unités de base soit en mètres par seconde au carré et le rayon en ses unités de base, soit en mètres, alors le vecteur vitesse angulaire sera en ses unités de base, soit en radians par seconde. Maintenant, calculons le vecteur vitesse angulaire au sommet de la boucle. Dans ce cas, le rayon est 𝑟 deux minuscule égal 14 mètres et l’accélération centripète est 𝑎 deux égale 16 mètres par seconde au carré. Ensuite, nous avons que le vecteur vitesse angulaire en haut de la piste incurvée, que nous avons appelée 𝜔 deux, est égale à la racine carrée de 𝑎 deux divisée par 𝑟 deux. Et c’est la racine carrée de 16 mètres par seconde au carré divisée par 14 mètres.
Lorsque nous évaluons cela, nous constatons que 𝜔 deux est égal à 1,069 et ainsi de suite avec d’autres décimales en unités de radians par seconde. Nous avons donc maintenant des valeurs pour 𝜔 un, le vecteur vitesse angulaire à la base de la piste incurvée, et pour 𝜔 deux, le vecteur vitesse angulaire au sommet de la boucle. La question nous demande le rapport entre le vecteur vitesse angulaire au sommet de la boucle, donc 𝜔 deux, et le vecteur vitesse angulaire à la base de la piste courbe, 𝜔 un. Pour trouver ce rapport, nous devons prendre notre valeur de 𝜔 deux et la diviser par 𝜔 un. Lorsque nous faisons cela, il y a deux choses à noter.
Tout d’abord, dans le dénominateur, nous voyons que nous divisons par une valeur numérique de un, et tout nombre divisé par un est exactement le même nombre de départ. Donc, en fait, numériquement, cela sera simplement ce nombre au numérateur. La deuxième chose à noter est que nous divisons un vecteur vitesse angulaire par un vecteur vitesse angulaire. En d’autres termes, c’est une grandeur en radians par seconde divisée par une autre grandeur en radians par seconde. Ainsi, lorsque nous faisons cela, les unités s’annulent et nous nous retrouvons avec une grandeur sans dimension.
Nous avons maintenant notre réponse pour le rapport entre le vecteur vitesse angulaire au sommet de la boucle et le vecteur vitesse angulaire à la base de la piste incurvée. Mais il reste une dernière étape, car la question nous demande de donner cette réponse arrondie à une décimale près. Lorsque nous arrondissons notre résultat au dixième, nous obtenons que le rapport de ces vecteurs vitesse angulaires est de 1,1.
Bon, regardons maintenant la deuxième partie de la question.
Quel est le rapport entre la force de réaction normale 𝑅 un sur le wagonnet à la base de la piste incurvée et la force de réaction normale 𝑅 deux sur le wagonnet au sommet de la boucle ? Donnez votre réponse arrondie à une décimale près.
Alors, cette partie de la question considère les deux mêmes positions sur la piste. Mais cette fois, on nous demande de trouver le rapport de la force de réaction normale en ces deux points. Cette force de réaction normale est la force exercée sur le wagonnet par la piste. Comme nous le voyons sur la figure, la force de réaction normale est perpendiculaire à la direction de la piste. Et lorsque le wagonnet subit un mouvement circulaire comme dans ces deux positions, cette force est dirigée vers le centre du cercle. Nous pouvons rappeler que tout objet soumis à un mouvement circulaire subit une force centripète, 𝐹 indice 𝑐, égale à la masse de l’objet, 𝑚, multipliée par l’accélération centripète, 𝑎 indice 𝑐. Cette force centripète est la force nette vers l’intérieur, vers le centre du cercle.
Dans le cas de notre wagonnet de montagnes russes, se déplaçant sur cette boucle verticale, nous avons deux forces qui contribuent à la force centripète. Premièrement, nous avons la force de réaction normale qui pointe toujours vers le centre du cercle. Cette force a été dessinée sur le schéma pour nous aux deux positions que nous devons considérer. À la base de la piste incurvée, elle est étiqueté 𝑅 un. Et au sommet de la boucle, elle est étiqueté 𝑅 deux. La deuxième force que nous devons considérer est la force due à la gravité. Et elle agit toujours verticalement vers le bas parce que la gravité agit pour tirer les choses vers la Terre.
Ajoutons cette force due à la gravité sur notre schéma aux deux points que l’on nous demande de considérer. Nous avons dit que la force due à la gravité agit toujours verticalement vers le bas, nous pouvons donc dessiner cette force comme une flèche pointant verticalement vers le bas à chaque position. La norme de cette force gravitationnelle est égale à 𝑚 multiplié par 𝑔, où 𝑚 est la masse de l’objet et 𝑔 est l’intensité du champ gravitationnel. On nous dit dans la question que le wagonnet a une masse de 3 300 kilogrammes. Donc, dans notre cas, nous avons 𝑚 est égal à 3300 kilogrammes. Nous pouvons également rappeler que l’intensité du champ gravitationnel sur la Terre a une valeur de 9,8 mètres par seconde au carré avec deux chiffres significatifs.
Maintenant que nous avons à la fois la force de réaction normale et la force due à la gravité dessinée sur notre schéma, voyons comment elles se rapportent à la force centripète 𝐹 indice 𝑐. Nous avons dit que cette force centripète est la force nette vers le centre du cercle. Donc, à la base de la piste incurvée, la force centripète que nous avons appelée 𝐹 indice 𝑐 un est égale à la force de réaction normale 𝑅 un, qui pointe vers le centre du cercle, moins la force gravitationnelle 𝑚𝑔, qui pointe dans le sens opposé. Par contre, au sommet de la boucle, la force centripète, 𝐹 indice 𝑐 deux, est égale à la force de réaction normale, 𝑅 deux, plus la force gravitationnelle, 𝑚𝑔, puisque dans ce cas, les deux forces agissent vers le centre du cercle.
Maintenant, nous savons aussi que la force centripète est égale à la masse de l’objet multipliée par l’accélération centripète. Puisque nous connaissons la masse de notre wagonnet et que nous connaissons la valeur de l’accélération centripète à chacune de ces deux positions, il est logique d’utiliser cette équation ici pour remplacer la force centripète sur le côté gauche de ces équations par la masse multipliée par l’accélération centripète. Lorsque nous faisons cela, nous avons deux équations, l’une qui s’applique à la base de la piste incurvée et l’autre qui s’applique au sommet de la boucle. Et le point clé est que maintenant, dans chacune de ces équations, nous n’avons qu’une seule grandeur inconnue. Et c’est la valeur de la force de réaction normale.
Réorganisons donc ces équations afin de faire de la force de réaction normale le sujet. Nous allons commencer par cette équation du haut lorsque le wagonnet est à la base de la piste incurvée. Premièrement, nous ajoutons 𝑚 fois 𝑔 de chaque côté de l’équation, ce qui nous donne 𝑚 fois 𝑎 un plus 𝑚 fois 𝑔 est égal à 𝑅 un.
Nous pouvons réarranger cela un petit peu, en inversant les côtés gauche et droit de l’équation et en factorisant la masse 𝑚, qui est commune à ces deux termes. Nous avons alors que la force de réaction normale 𝑅 un est égale à 𝑚 multipliée par la somme 𝑎 un plus 𝑔. Lorsque nous insérons nos valeurs pour 𝑚, 𝑎 un et 𝑔, nous obtenons que la force de réaction normale 𝑅 un est égale à notre masse de 3300 kilogrammes multipliée par la somme de notre accélération centripète, 24 mètres par seconde au carré, et de l’intensité du champ gravitationnel, 9,8 mètres par seconde au carré. Le calcul de cette expression nous donne que 𝑅 un est égal à 111 540 kilogrammes mètre par seconde au carré, que nous pouvons également écrire comme étant 111 540 newtons.
Maintenant, nous allons voir cette deuxième équation lorsque le wagonnet est au sommet de la boucle. Si nous soustrayons 𝑚 fois 𝑔 des deux côtés de l’équation, alors nous avons que 𝑚 fois 𝑎 deux moins 𝑚 fois 𝑔 est égal à 𝑅 deux. En factorisant la masse 𝑚 qui apparaît dans ces deux termes et en échangeant également les côtés gauche et droit de l’équation, nous obtenons cette équation ici, qui dit que la force de réaction normale 𝑅 deux est égale à la masse 𝑚 multipliée par la différence 𝑎 deux moins 𝑔. En insérant nos valeurs pour 𝑚, 𝑎 deux et 𝑔, nous avons que 𝑅 deux est égal à la masse de 3300 kilogrammes multipliée par la différence de 16 mètres par seconde au carré moins 9,8 mètres par seconde au carré. Le calcul de cette expression nous donne que 𝑅 deux est égal à 20 460 kilogrammes mètres par seconde au carré ou de manière équivalente 20 460 newtons.
Nous connaissons donc maintenant la valeur de la force de réaction normale, à la fois en bas de la piste incurvée et au sommet de la boucle. La question nous demande de trouver le rapport de cette force de réaction normale sur le wagonnet à la base de la piste incurvée, donc c’est 𝑅 un, par rapport au sommet de la boucle, c’est donc 𝑅 deux. Cela signifie que nous devons trouver le résultat de la division de 𝑅 un par 𝑅 deux. En insérant ces valeurs nous obtenons un rapport égale à 111 540 newtons, donc c’est 𝑅 un, divisé par 20 460 newtons ; c’est 𝑅 deux. Le calcul de cette division nous donne que le rapport 𝑅 un sur 𝑅 deux est égal à 5,4516 et ainsi de suite avec des décimales supplémentaires.
Notez que puisque nous avons une grandeur en newtons divisée par une autre grandeur aussi en newtons, alors, comme dans la première partie de la question, lorsque nous faisons la division, les unités s’annulent et nous nous retrouvons avec une grandeur sans dimension. Cette valeur nous donne ici le rapport de la force de réaction normale sur le wagonnet à la base de la piste incurvée à la force de réaction normale sur le wagonnet au sommet de la boucle, ce que la question nous demandait de déterminer. La dernière étape restante consiste à arrondir ce résultat à une décimale près. Cela nous donne notre réponse finale de 5,5.
