Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons parler de la force centripète. C’est une force qui fait qu’un objet se déplace selon un arc de cercle. Nous pouvons commencer à discuter de cette force en parlant du mot centripète. Cela signifie dirigé vers le centre. Donc, si nous avons un objet, comme celui-ci, qui se déplace selon une trajectoire circulaire, alors la force centripète qu’il subit pour le maintenir sur cette trajectoire est toujours pointée vers le centre du cercle. Dans ce sens, cette force, généralement abrégée 𝐹 indice c, est dirigée vers le centre. Une chose très importante à retenir à propos de la force centripète est qu’il ne s‘agit pas d’une nouvelle force que nous pourrions dire que nous introduisons. C’est simplement le nom que nous donnons à toute force qui agit sur un objet vers le centre d’un arc de cercle selon lequel il se déplace.
Par exemple, admettons que cet objet qui se déplace selon une trajectoire circulaire est une voiture circulant sur une route circulaire horizontale. Lorsque nous imaginons la force qui maintient la voiture sur la route alors qu’elle tourne vers cette trajectoire, nous savons que cette force est la friction entre les pneus et la surface de la route. Alors dans cet exemple, c’est la force de frottement qui est une force centripète ou qui est dirigée vers le centre. Ou imaginez plutôt ce scénario. Admettons que nous avons un satellite qui est en orbite circulaire autour de la Terre. La force qui attire le satellite vers le centre de sa trajectoire circulaire est la force de gravité. Alors, dans ce cas, la gravité est la force centripète agissant sur le satellite. Nous verrons d’autres exemples de ces différentes forces qui sont dirigées vers le centre au fur et à mesure.
L’important est que, dans chaque cas, la force centripète n’est pas une force nouvelle ou distincte que nous ajoutons au scénario. Au contraire, elle est déjà là, présente dans les circonstances physiques particulières. Maintenant, chaque fois que nous parlons de forces agissant sur des objets, nous pouvons nous rappeler de la deuxième loi du mouvement de Newton. Rappelons que cette loi nous dit que la force nette agissant sur un objet est égale à la masse de cet objet multipliée par son accélération.
Ainsi, lorsqu’un objet se déplaçant selon un cercle subit une force, la force centripète, alors si c’est la seule force agissant sur l’objet, cette force doit être égale à la masse de l’objet multipliée par son accélération. Mais voici quelque chose d’intéressant à propos de cette équation de la deuxième loi de Newton. Ceci est en fait une équation vectorielle. En effet, la force, ainsi que l’accélération, est un vecteur. Donc, si nous écrivons ceci pour reconnaître cela, nous dirons que le vecteur force est égal à la masse de l’objet multiplié par le vecteur accélération de cet objet.
Puisque la force et l’accélération sont les seuls vecteurs de cette équation, cela signifie donc qu’elles pointent dans la même direction. Et donc, cette accélération ici, causée par la force centripète agissant sur notre masse, doit également pointer vers le centre du cercle autour duquel cette masse se déplace. Par conséquent, nous pouvons appeler cette accélération une accélération centripète. Et nous l’appellerons 𝑎 indice c. D’accord, ces objets que nous avons identifiés et qui se déplacent en cercle le font parce qu’ils subissent une force dirigée vers le centre. Et par conséquent, ils accélèrent également vers le centre de ces cercles.
Mais voici quelque chose d’intéressant. Les vecteurs vitesse de ces objets ne pointent pas dans la même direction que leur accélération. C’est-à-dire qu’ils ne pointent pas vers le centre de ces chemins circulaires. Plutôt, ils pointent tangente à la partie de la trajectoire circulaire où l’objet est actuellement. Donc, la vitesse de notre voiture, 𝑣 indice c, pointe comme ça. Et la vitesse de notre satellite, 𝑣 indice s, pointe comme ça.
Notez que cela signifie que la vitesse de chacun de ces objets est perpendiculaire à l’accélération de chacun. Maintenant, puisque ces deux objets se déplacent en cercles, nous pouvons dire une autre chose à propos de chaque scénario. Dans chaque scénario, la trajectoire circulaire dans laquelle se déplace notre objet a un rayon particulier. Nous avons appelé le rayon de notre cercle de la voiture 𝑟 indice c et le rayon de notre cercle su satellite 𝑟 indice s. Maintenant, nous soulevons cela parce qu’il existe une autre façon d’exprimer l’accélération centripète, l’accélération d’un objet se déplaçant dans un cercle. Elle est égale à la vitesse tangentielle de l’objet, en tout point du parcours circulaire, au carré, puis divisée par le rayon du cercle dans lequel l’objet se déplace.
Si nous regardons cette équation et rappelons que la vitesse est un vecteur, nous pourrions penser que l’accélération centripète de notre objet dépendra de la valeur de vitesse que nous choisirons d’utiliser dans cette équation. Par exemple, si nous considérons que notre voiture roule en cercle, que se passe-t-il si, au lieu d’utiliser le vecteur vitesse de la voiture quand elle est ici, nous utilisons son vecteur vitesse quand elle est ici dans le cercle ou ici ou ici ou ailleurs? Il est certainement vrai que les sens de ces vecteurs vitesse ne sont pas les mêmes. Mais leurs amplitudes sont les mêmes. Donc, quel que soit celui que nous utilisons, puisque nous définissons ce terme dans notre équation d’accélération centripète, nous obtiendrons le même résultat. Et cela indique que cette équation nous indique la norme de l’accélération centripète.
Maintenant, si nous prenons le côté droit de cette équation et le substituons ici par 𝑎 indice c, alors nous pouvons commencer à voir des connexions intéressantes entre la vitesse de notre objet et le rayon du cercle dans lequel il se déplace et la force centripète qu’il subit. Nous pouvons voir, par exemple, que si nous augmentons la vitesse de notre objet sans changer le rayon du cercle dans lequel il se déplace, alors la force centripète que notre objet subit augmenterait d’un facteur plus grand que le facteur par lequel notre vitesse augmenté. C’est parce que nous prenons notre vitesse et la mettons au carré pour nous aider à calculer la force centripète.
D’un autre côté, disons que nous devons garder notre même vitesse qu’avant. Mais maintenant, nous diminuons le rayon du cercle dans lequel notre objet se déplace. Encore une fois, cela entraînerait une augmentation de la force centripète. Pour un rayon plus petit et avec la même vitesse, il faut plus de force pour maintenir un objet en mouvement dans un cercle. Maintenant, jusqu’à présent, nous avons parlé uniquement des variables linéaires, de la vitesse linéaire et de l’accélération linéaire. Mais nous savons qu’il existe également des versions angulaires de ces variables. Par exemple, si nous avons un objet se déplaçant dans un cercle de rayon 𝑟 avec une tangentielle, c’est-à-dire une vitesse linéaire 𝑣, alors nous pouvons dire que cet objet a une vitesse angulaire symbolisée en utilisant la lettre grecque 𝜔. Et la relation entre la vitesse linéaire de cet objet 𝑣 et la vitesse angulaire 𝜔 est que 𝑣 est égal à 𝑟 fois 𝜔.
Maintenant, si nous considérons les unités impliquées pour ces facteurs sur le côté droit, les unités de base du SI pour la distance linéaire sont les mètres. Et puis les vitesses angulaires sont souvent données en radians par seconde. Mais alors, et ceci est une note importante, l’unité de radians est sans dimension. Ainsi, lorsque nous multiplions le rayon 𝑟 par la vitesse angulaire 𝜔, les unités qui en résultent sont simplement des mètres par seconde, sans unité de radians impliqués. Ce sont les unités de la vitesse 𝑣. Donc, en comprenant que 𝑣 est égal à 𝑟 fois 𝜔, nous pouvons prendre le côté droit de cette expression et le substituer à 𝑣 dans notre équation pour la force centripète. Lorsque nous faisons cela, nous pouvons voir que la mise au carré de 𝑟 fois 𝜔 nous donnera deux facteurs de 𝑟, dont l’un est annulé avec le 𝑟 au dénominateur. Et notre équation se simplifie en 𝐹 indice c égal à 𝑚 fois 𝑟 fois 𝜔 au carré.
Et maintenant, rappelons quelque chose à propos de cette équation de toute à l’heure. Rappelons que, conformément à la deuxième loi de Newton, cette équation nous dit que 𝐹 indice c est égale à 𝑚 fois 𝑎 indice c, l’accélération centripète. La forme de l’équation nous dit maintenant que 𝑟 fois 𝜔 au carré est égal à cette accélération centripète. Et nous pouvons indiquer ce fait ici. Maintenant, avant de nous entraîner avec les forces centripètes, considérons ce scénario spécifique. Disons que nous tenons une extrémité d’une corde, juste ici, et attachée à l’autre extrémité de la corde il y a une petite pierre. Et disons que nous commençons alors à faire pivoter cette corde pour qu’elle se déplace en cercle vertical.
Maintenant, une caractéristique d’un objet se déplaçant dans un cercle est que sa vitesse est constante. Donc, la vitesse de notre pierre ici est la même que ici et ici et ici et partout dans cet arc. Rappelons donc cette forme pour la force centripète agissant sur notre pierre. Si la vitesse de la pierre est constante partout, et c’est le cas, et le rayon du cercle dans lequel la pierre se déplace est également constant, et c’est le cas. Alors, la force centripète de la pierre doit également être constante. Comme nous l’avons mentionné précédemment, chaque force centripète a une cause physique, que ce soit la friction entre les pneus et une route ou la gravité entre un satellite et la Terre. Il y a toujours un mécanisme physique créant une force de recherche de centre.
Dans ce cas, nous pouvons voir que l’un de ces mécanismes est la tension dans notre corde. Cette force de tension tire toujours la pierre vers notre main au centre du cercle. Par conséquent, c’est une force centripète. Mais, et voici où les choses deviennent intéressantes, comme il s’agit d’un cercle vertical dans lequel nous pivotons la pierre, la force de gravité est également impliquée ici. La différence importante ici entre notre force de tension et notre gravité est que la force de tension pointe toujours vers le centre de la trajectoire circulaire de cette pierre, alors que la gravité pointe toujours vers le bas. Cela signifie que lorsque la pierre est au bas de son arc de cercle, la gravité a tendance à la sortir d’une trajectoire circulaire. C’est-à-dire qu’elle la pousse loin du centre de son cercle, alors que, au contraire, lorsque la pierre est au sommet de son arc, la gravité et la force de tension dans la corde agissent dans la même direction, vers le bas.
Dans de tels cas où les objets se déplacent en cercles verticaux, il est très important de réaliser que tant qu’ils continuent toujours à se déplacer en cercle, la force centripète agissant sur eux a une intensité constante. Si la vitesse de l’objet et le rayon de sa trajectoire circulaire ne changent pas, la force centripète ne change pas non plus. Mais ce qui change, c’est l’intensité des forces impliquées dans la création de la force centripète. Pour montrer ce que nous entendons par là, considérons la pierre en ces deux points, au bas de son arc et en haut. Nous savons que dans chacun de ces cas, l’intensité de la force centripète agissant sur elle, et nous pouvons dessiner ce vecteur force en orange, est la même. Cela ne change pas.
Mais alors, en regardant la force de gravité et la force de tension, lorsque notre pierre est au point le plus bas de son arc, nous pouvons voir que ces forces agissent dans des sens opposés sur la pierre. La force de tension agit vers le haut, tandis que la gravité agit vers le bas. Étiquetons cette force de tension 𝑇 indice b, la tension dans la corde lorsque la pierre est au bas de son chemin. Et nous appellerons la force gravitationnelle 𝐹 indice g. En regardant nos trois vecteurs 𝐹 indice c, 𝑇 indice b et 𝐹 indice g, nous pouvons dire que 𝐹 indice c est la résultante de 𝑇 indice b et 𝐹 indice g.
En d’autres termes, la force centripète est égale à la différence entre la force de tension et la force de gravité agissant sur la pierre. Si nous décidons que les forces agissant vers le haut sont dans le sens positif, alors nous pourrions écrire que la force de tension, qui agit vers le haut et est donc positive, moins la force gravitationnelle, celle qui pointe vers le bas sur la pierre, est égale à la force centripète sur la pierre quand elle est au bas de son arc. Voilà donc notre équation montrant les forces sur la pierre à ce point sur son chemin. Voyons maintenant quand la pierre est au sommet de son arc. Ici, les trois forces agissant sur celui-ci pointent vers le bas et selon notre convention, sont donc négatives.
Maintenant, nous appelons la force de tension dans notre corde 𝑇 indice b lorsque notre pierre était au bas de son chemin. Appelons donc notre tension de corde 𝑇 indice s lorsque la pierre est au sommet de son arc. Maintenant, comme nous l’avons mentionné, en fonction de notre choix de sens, ces trois forces, 𝐹 indice c, la force de gravité représentée ici par ce vecteur bleu et 𝑇 indice s, sont négatives. Alors, l’équation montrant les forces agissant sur notre pierre quand elle est au sommet de son arc ressemblerait à ceci. En regardant cette équation, qu’est-ce que il se passe si nous multiplions les deux côtés par moins un? Cela changerait tous les signes négatifs en des signes positifs.
Et maintenant, regardez ça. Nous avons deux expressions différentes pour la force centripète, qui, nous l’avons dit, doivent avoir la même intensité sur notre pierre à tout moment. Et nous pouvons donc égaliser ces deux expressions. Si nous faisons cela, nous obtiendrons un résultat qui ressemble à ceci. Et comme dernière étape, disons que nous ajoutons 𝐹 indice g de chaque côté de l’équation. Maintenant, nous supposons que la valeur de l’accélération gravitationnelle agissant sur la pierre est constante tout au long de son parcours. Et puisque la masse de la pierre est également constante, cela signifierait que du côté gauche de notre équation, nous ajoutons puis soustrayons la même quantité de force gravitationnelle. Cela signifie que ces termes s’annulent. Alors qu’à droite, 𝐹 indice g plus 𝐹 indice g peut s’écrire deux fois 𝐹 indice g.
Et voici où nous voyons le résultat de tout notre travail. La force de tension dans la corde est différente lorsque la pierre est au bas de son arc par rapport à quand elle est au sommet. En effet, on peut dire que la force de tension est plus petite lorsque la pierre est au sommet de son arc car il faut ajouter deux fois la force de gravité sur la pierre à cette tension afin d’égaler la tension dans la corde lorsque la pierre est en bas. Ainsi, lorsque l’objet à l’extrémité d’une corde ou d’un câble se déplace dans un cercle vertical, alors que la force de gravité est essentiellement la même sur l’objet tout au long de la trajectoire. Et la force centripète est présente certainement tout au long de son mouvement circulaire. C’est la force de tension dans cette corde ou ce câble qui change lorsque l’objet se déplace. Après avoir dit tout cela, passons à un exemple.
Quelle est l’intensité de la force centripète qui doit agir sur un objet de masse 1,0 kilogramme pour le faire déplacer le long d’une trajectoire circulaire de diamètre 1,0 mètre, complétant un cercle toutes les 1,0 secondes?
Eh bien, dans ce scénario, nous avons un chemin circulaire. Et on nous dit que le diamètre de ce chemin est de 1,0 mètre. Parallèlement à cela, nous avons un objet dont la masse, que nous pouvons appeler 𝑚, est donnée comme 1,0 kilogramme. Nous voulons que cet objet se déplace autour de la trajectoire circulaire de sorte qu’il termine un cercle toutes les 1,0 secondes. Une fois le tour du cercle est une révolution complète. Cela signifie donc que nous pouvons nous référer à ce temps de 1,0 seconde comme notre période de révolution. La question est, dans tout cela, quelle est l’intensité de la force centripète qui doit agir sur cette masse? Autrement dit, pour que la masse se déplace dans un cercle, il doit y avoir une force qui la fait tendre vers le centre de ce cercle. C’est la force centripète, et nous voulons déterminer son intensité.
Nous pouvons commencer à le faire en rappelant que la force centripète sur un objet est égale à la masse de l’objet multipliée par son accélération centripète. Maintenant, l’accélération centripète d’un objet est donnée par sa vitesse au carré divisée par le rayon de la trajectoire circulaire dans laquelle il se déplace. Mais alors on peut aussi rappeler que pour un objet se déplaçant dans un cercle, sa vitesse linéaire, sa vitesse tangentielle autour de ce cercle, est égale au rayon du cercle multiplié par la vitesse angulaire de l’objet 𝜔. Si nous substituons 𝑟 fois 𝜔 pour 𝑣 dans notre équation pour l’accélération centripète, nous trouvons qu’elle est égale à la quantité 𝑟 fois 𝜔 au carré divisée par 𝑟 ou, plus simplement, 𝑟 fois 𝜔 au carré. Nous pouvons alors substituer 𝑟 fois 𝜔 au carré pour 𝑎 indice c dans notre équation pour la force centripète. Et maintenant, nous avons une expression pour cette force avec laquelle nous pouvons travailler en fonction de nos paramètres donnés.
En commençant par la masse de notre objet, on nous dit que c’est 1,0 kilogramme. Et puis le rayon du cercle dans lequel notre objet se déplace est égal au diamètre divisé par deux. Et puis enfin, il y a ce facteur ici, la vitesse angulaire 𝜔 au carré. On peut rappeler que les unités de 𝜔 sont des radians par seconde. Et comme on nous dit que notre objet termine un cercle toutes les 1,0 secondes, rappelant qu’un cercle complet est égal à deux 𝜋 radians, nous pouvons dire que la vitesse angulaire de notre objet est égale à deux 𝜋 radians divisé par 1,0 secondes. C’est sa vitesse angulaire. Alors, en substituant dans notre équation pour la force centripète, voici ce que nous obtenons. Notre masse comme nous l’avons vu est de 1,0 kilogramme. Le rayon de notre cercle est son diamètre, 1,0 mètre, divisé par deux. Cela fait 0,5 mètres. Et puis la vitesse angulaire de notre objet est de deux 𝜋 radians en 1,0 secondes. Et ce facteur de 𝜔 est carré.
Lorsque nous calculons tout cela, nous trouvons un résultat de 19,73 et ainsi de suite newtons. Mais remarquez que toutes les valeurs données dans notre énoncé du problème ont deux chiffres significatifs. Voilà combien de chiffres significatifs. nous garderons dans notre réponse. Et à deux chiffres significatifs, notre résultat est égal à 20 newtons. C’est l’intensité de la force centripète agissant sur notre objet.
Rappelons maintenant quelques points clés sur la force centripète. Nous avons appris dans cette leçon que la force centripète, comme son nom le dit, pointe toujours vers le centre d’un arc de cercle. Nous avons également vu que pour un objet de masse 𝑚 se déplaçant avec une vitesse 𝑣 dans un arc de cercle de rayon 𝑟, la force centripète agissant sur cette masse est égale à 𝑚 fois 𝑣 au carré sur 𝑟.
En outre, nous avons identifié ce facteur, 𝑣 au carré sur 𝑟, comme une accélération centripète. Et nous avons également rappelé le lien entre les vitesses linéaire et angulaire, que 𝑣 est égal à 𝑟 fois 𝜔, et nous avons vu que cela implique que l’accélération centripète peut être écrite comme 𝑟 fois 𝜔 au carré. Et enfin, nous avons vu que lorsqu’un objet se déplace dans une trajectoire circulaire verticale, l’effet de la gravité doit être pris en compte. Ceci est un résumé de la force centripète.