Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment analyser les intensités, les sens et les sources des forces qui agissent sur les objets se déplaçant le long de trajectoires circulaires.
Nous rappelons que, pour que le vecteur vitesse d’un objet varie, il doit être en accélération, et donc une force nette non nulle doit agir sur lui.
Un changement de vecteur vitesse n’implique pas nécessairement un changement de vitesse. Un objet peut voir son vecteur vitesse changer de sens sans pour autant que son intensité soit modifiée. Cela correspond toujours à une accélération et nécessite toujours une force nette non nulle.
Un objet qui se déplace selon une trajectoire curviligne à une vitesse constante doit alors subir une force nette non nulle.
Un exemple simple de trajectoire curviligne est une trajectoire circulaire. Nous montrerons dans cette fiche explicative que lorsqu’un objet suit une trajectoire circulaire, une force doit agir sur lui, orientée vers le centre du cercle décrivant la trajectoire. Cette force est appelée force centripète, ce qui signifie une force qui agit vers un centre.
Considérons un satellite en orbite autour de la Terre le long d’une trajectoire circulaire, comme illustré sur la figure suivante.
Sur cette figure, la Terre est au centre de la trajectoire circulaire. À l’instant indiqué, une force gravitationnelle, , agit sur le satellite vers la Terre, et donc vers le centre de la trajectoire circulaire. La force gravitationnelle fournit la force centripète qui produit le mouvement circulaire du satellite.
En chaque point du trajet parcouru par le satellite, la force agit vers le centre du cercle. Deux de ces points sont illustrés sur la figure suivante.
Pour suivre une trajectoire circulaire, le satellite doit avoir un vecteur vitesse suivant le sens de la trajectoire à chaque instant. Le sens de la trajectoire circulaire en un point donné est tangente au rayon du cercle en ce point. Ceci est illustré sur la figure suivante, où les vecteurs vitesse et sont de même intensité et perpendiculaires entre eux.
Nous pouvons prendre un point à mi-chemin le long de la trajectoire circulaire entre ces deux points, comme indiqué sur la figure suivante.
Considérons le sens dans lequel le vecteur vitesse doit changer pour devenir le vecteur vitesse , et appelons cela . Le sens de en ce point est illustré par la figure suivante.
On voit que agit vers le centre du cercle. La variation du vecteur vitesse est due à l’accélération due à la force gravitationnelle. On voit que cette force agit de manière centripète.
Cependant, il y a un problème avec ce modèle, qui est bien sûr que le satellite ne peut pas arriver au point indiqué s’il a un vecteur vitesse . La figure suivante montre quelle serait la position réelle du satellite.
La différence entre la position du point sur la trajectoire circulaire et celle du point qui se déplace avec le vecteur vitesse est inférieur pour un point parcourant une plus petite distance. Ceci est illustré par la figure suivante.
Une partie du périmètre du cercle est représentée. Deux points proches, A et B, et un troisième point C à mi-chemin entre eux sont représentés. Les droites radiales en chacun de ces points sont également représentées.
Le segment horizontal rose de A à C est tangent à la trajectoire circulaire où la droite radiale coupe A. La longueur de l’arc de A à C est presque égale à celle du segment horizontal.
On peut imaginer considérer des paires de points qui sont arbitrairement proches l’un de l’autre. On peut aussi imaginer prendre un nombre illimité de telles paires de points, distribuées uniformément autour du cercle de sorte que les points couvrent la circonférence du cercle.
Lorsque le nombre de paires de points augmente, la distance entre les points diminue. Lorsque la distance entre les points d’une paire diminue, les distances en ligne droite entre les points de la paire deviennent presque égales à la longueur de l’arc entre les points.
Lorsque la distance entre les points devient négligeable, le satellite se déplace uniformément le long d’un chemin circulaire, et le sens de la variation du vecteur vitesse du satellite tout au long de ce mouvement est vers le centre du cercle.
Nous avons montré qu’il y a un changement de vecteur vitesse, , vers le centre du cercle. La variation de ce vecteur vitesse avec le temps est une accélération vers le centre du cercle, .
Il est possible de déterminer comment l’accélération vers le centre du cercle est liée au rayon du cercle et à la vitesse du mouvement le long de la circonférence du cercle.
Considérons la figure suivante.
On voit qu’un objet se déplace dans un cercle de rayon avec un vecteur vitesse au point A et avec un vecteur vitesse au point B. En chaque point, l’objet a une vitesse de , où
L’angle entre A, le centre du cercle et B, change de lorsque l’objet se déplace de A à B.
La ligne droite (distance géographique) de A à B est . Lorsque A et B sont très proches l’un de l’autre, est approximativement égale à la distance parcourue par l’objet entre A et B. Nous considérons que A et B sont suffisamment proches pour que cela soit le cas, ce qui signifie bien sûr que la figure n’est pas tracée à l’échelle.
Le triangle entre A, le centre du cercle et le milieu de A et B (triangle i) est semblable au triangle entre A et B, dont un côté est égal à (triangle ii), comme le montre la figure suivante.
On peut voir que le sinus de l’angle dans le triangle i est donné par
On peut aussi voir que le sinus de l’angle du triangle ii qui est opposé au côté le plus petit est donné par
Par conséquent,
Cette équation peut être réarrangée comme suit :
Supposons que l’intervalle de temps dans lequel l’objet se déplace de A à B est égal à .
L’accélération centripète de l’objet, , est donc donnée par
La valeur de peut être insérée dans cette équation :
Rappelons que nous avons dit qu’il était possible de faire l’approximation que est égale à la distance parcourue de A à B. On peut donc dire que
En remplaçant cela dans l’équation, on obtient
Ceci est une équation pour qui dépend uniquement du rayon du cercle et de la vitesse du mouvement le long de la circonférence du cercle.
Cette accélération peut également être définie à l’aide de .
La vitesse angulaire, , de l’objet est donnée par
Comme est très petit, nous pouvons faire l’approximation suivante pour :
On constate alors que
Cette valeur de peut être insérée dans pour obtenir
La force centripète sur un objet en mouvement circulaire uniforme est le produit de l’accélération centripète et de la masse de l’objet.
Équation : La force centripète sur un objet en mouvement circulaire uniforme
La force centripète, , sur un objet de masse qui se déplace uniformément avec une vitesse le long de la circonférence d’un cercle de rayon est donnée par
Les forces centripètes ne sont pas nécessairement gravitationnelles.
Par exemple, une force centripète peut être fournie par une tension. La figure suivante montre une pierre attachée à l’extrémité d’une chaîne qui se déplace le long d’un chemin circulaire.
La tension dans la corde agit sur la pierre pour l’accélérer vers le centre du cercle.
Dans le cas d’une voiture se déplaçant en cercle, la force centripète est due au frottement entre les roues de la voiture et la surface de la route.
Regardons maintenant quelques exemples impliquant la force centripète.
Exemple 1: Déterminer une force centripète
Quelle est l’intensité de la force centripète qui doit agir sur un objet de masse 1,0 kg pour le faire se déplacer le long d’un chemin circulaire de diamètre 1,0 m, en complétant un cercle tous les 1,0 s ? Donnez votre réponse au newton le plus proche.
Réponse
La force centripète, , sur un objet de masse qui se déplace uniformément avec une vitesse le long de la circonférence d’un cercle de rayon est donnée par
La question fournit les valeurs de et mais pas celle de .
La valeur de est la vitesse de l’objet. Elle peut être déterminée en trouvant la distance parcourue par l’objet pour décrire complètement la circonférence du cercle une fois, divisée par le temps mis pour le faire.
La circonférence, , du cercle est donnée par où est le diamètre du cercle.
Le diamètre du cercle est 1,0 m, alors on voit que
Le temps mis par l’objet pour parcourir cette distance est de 1,0 s. On voit alors que la vitesse, , de l’objet est
On peut maintenant insérer cette valeur de dans
Ainsi, on obtient
Au newton le plus proche, .
Exemple 2: Comparaison des accélérations centripètes en différents points
Une corde uniforme est mise en rotation horizontalement autour de l’une de ses extrémités, comme indiqué sur la figure. L’extrémité de la corde opposée à l’extrémité fixe revient dans sa position initiale toutes les 0,65 s. L’extrémité libre de la corde se déplace à vitesse constante d’un point A à un point B.
- Quel est le rapport entre l’intensité de l’accélération centripète du point A et l’intensité de l’accélération centripète au point B ?
- Quel est le rapport entre l’intensité de l’accélération centripète du point A et l’intensité de l’accélération centripète au point D ?
Réponse
Partie 1
L’intensité de l’accélération centripète, , d’un point sur la corde est donnée par où est la vitesse du point et est la distance en ligne droite entre le centre du cercle et le point.
La question indique que l’extrémité libre de la corde se déplace à vitesse constante. Cela signifie que la valeur de est la même aux points A et B.
L’extrémité libre de la corde maintient une distance constante de 0,22 m à partir du centre du cercle. Cette valeur ne change pas entre les points A et B.
Nous voyons alors que ni l’un ni l’autre des facteurs dont l’accélération centripète dépend ne varie entre les points A et B. La valeur de l’accélération centripète ne varie donc pas entre les points.
Le rapport entre l’intensité de l’accélération centripète au point A et celle au point B doit donc être égal à 1.
Partie 2
L’intensité de l’accélération centripète, , d’un point sur la corde est donnée par où est la vitesse du point et est la distance en ligne droite entre le centre du cercle et le point.
En comparant les valeurs de et aux points A et D, on voit qu’elles varient toutes les deux.
La variation de est indiquée. Le rapport entre la valeur de en A et celle en D est donnée par où est la valeur de en A et est la valeur de en D.
La variation de , cependant, n’est pas indiquée.
La valeur de pour les points A et D peut être déterminée comme le temps mis par l’extrémité libre de la corde pour revenir à sa position initiale est indiqué. Le temps mis est 0,65 s.
La distance, , parcourue par l’extrémité libre de la corde en 0,65 s est donnée par où est le diamètre de la trajectoire circulaire suivie, .
La distance, , parcourue par le point sur la corde en 0,65 s est donnée par où est le diamètre de la trajectoire circulaire suivie, .
On voit alors que
On voit aussi que
On peut maintenant trouver le rapport entre les valeurs de pour les points A et D :
On voit alors que
Ainsi, nous voyons que le rapport entre l’intensité de l’accélération centripète en A et celle en D est 1,375.
Ce résultat peut être obtenu plus facilement en utilisant la formule où est la vitesse angulaire de la corde, qui est la même pour tous les points le long de la corde, en supposant que la corde ne courbe pas.
La valeur de peut être déterminée en prenant le temps mis par la chaîne pour revenir à sa position d’origine :
On voit alors que, pour égal 0,16 m, et que, pour égal 0,22 m,
De là, on peut voir que le rapport des valeurs de est le même que le rapport des valeurs de , .
Exemple 3: Comparaison des vitesses angulaire et linéaire d’un objet en mouvement circulaire uniforme
Laquelle des courbes du graphique montre comment la vitesse linéaire d’un objet varie avec le rayon de la trajectoire circulaire suivie par l’objet ? Supposons que le vecteur vitesse angulaire de l’objet soit constant.
Réponse
Plus le rayon d’une trajectoire circulaire est grand, plus la longueur de cette trajectoire est grande. La circonférence, , de la trajectoire circulaire est donnée par
On voit alors qu’une variation de entraîne une variation directement proportionnelle de .
La vitesse, , d’un objet le long d’une trajectoire circulaire est donnée par où est la distance parcourue dans un intervalle de temps .
Le vecteur vitesse angulaire de l’objet est indiqué comme étant constant.
Cela signifie que quel que soit le rayon de la trajectoire circulaire sur laquelle l’objet se déplace, l’objet mettra le même temps pour revenir au même point sur la trajectoire.
On peut alors comparer deux vitesses, et , qui correspondent à différentes valeurs de , soit et , mais à la même valeur de :
Supposons que
On voit alors que
On peut définir les longueurs de deux trajectoires circulaires, et , comme étant
Supposons que
Par conséquent, nous voyons que
Si on suppose que et sont les distances parcourues dans l’intervalle de temps , on voit que, pour des objets avec des vecteurs vitesse angulaires égaux, la vitesse de l’objet qui parcourt une distance est le double de celle de l’objet qui parcourt une distance .
On peut prendre deux points sur le graphique à partir de la question et comparer les variations de et pour ces points, comme indiqué sur la figure suivante.
Ici, nous pouvons voir que la courbe grise passe par ces deux points et qu’aucune autre courbe ne le fait. Par conséquent, la courbe grise est la bonne option.
Résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- Une force centripète est une force qui agit vers le centre de la trajectoire d’un objet.
- Un objet en un point d’une trajectoire curviligne a un vecteur vitesse instantané tangent au sens de la trajectoire en ce point.
- L’accélération centripète, , d’un objet en mouvement uniforme à la vitesse le long d’une trajectoire circulaire de rayon est donnée par
- La force centripète, , sur un objet de masse en mouvement uniforme à la vitesse le long d’une trajectoire circulaire de rayon est donnée par
- L’accélération centripète, , d’un objet en mouvement uniforme le long d’une trajectoire circulaire de rayon est donnée par où est la vitesse angulaire de l’objet.
- Les forces centripètes peuvent être dues à la gravité, à la tension, au frottement ou à toute autre force agissant vers le centre d’une trajectoire suivie par un objet.
