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Sachant que 𝐀 est le vecteur moins cinq 𝐢 moins six 𝐣 et 𝐁 est le vecteur moins quatre 𝐢 moins six 𝐣, où 𝐢 et 𝐣 sont deux vecteurs unitaires orthogonaux, calculez la norme de deux 𝐀 moins deux 𝐁.
Dans cette question, on nous donne deux vecteurs, le vecteur 𝐀 et le vecteur 𝐁, et on nous les donne en fonction des vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣. Nous devons l’utiliser pour calculer la norme du vecteur deux 𝐀 moins deux 𝐁. Nous pouvons aborder cela de différentes manières. Cependant, comme on nous donne le vecteur 𝐀 et le vecteur 𝐁 en fonction des vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣, le moyen le plus simple sera de trouver le vecteur deux 𝐀 moins deux 𝐁 en fonction de ces vecteurs. Ensuite, on peut simplement calculer la norme de ce vecteur.
Commençons donc par calculer deux 𝐀 moins deux 𝐁. Cela fait deux fois moins cinq 𝐢 moins six 𝐣 moins deux fois moins quatre 𝐢 moins six 𝐣. Maintenant, nous pouvons voir dans cette expression, que nous multiplions chacun des deux vecteurs 𝐢 et 𝐣 par un nombre réel. Et pour faire cela, nous devons rappeler que pour multiplier un vecteur par un nombre réel, nous multiplions simplement chacune des composantes par ce nombre. Donc, dans le premier vecteur, on va multiplier chacune des composantes par deux. Donc, dans le premier vecteur, nous obtenons la composante de deux multipliée par moins cinq, ce qui est égal à moins 10. Et pour la deuxième composante, nous obtenons une composante de deux fois moins six, ce qui est moins 12. Donc, nous obtenons moins 10𝐢 moins 12𝐣.
Et dans le deuxième vecteur, nous avons deux choix. On peut multiplier les deux composantes par deux, puis soustraire les deux vecteurs. Ou on peut multiplier par moins deux, puis additionner les deux vecteurs. On va multiplier par moins deux, puis additionner les deux vecteurs ensemble. Rappelez-vous, cela signifie que nous devons multiplier chacune de nos composantes par moins deux. Cela nous donne moins deux multiplié par moins quatre, ce qui est égal à plus huit, puis moins deux multiplié par moins six, ce qui est égal à plus 12. Donc, nous obtenons huit 𝐢 plus 12𝐣.
Ainsi, nous avons montré que deux 𝐀 moins deux 𝐁 est égal à moins 10𝐢 moins 12𝐣 plus huit 𝐢 plus 12𝐣. Et maintenant, on veut simplifier cette expression. Et on le fait en additionnant les composantes correspondantes. On a moins 10𝐢 plus huit 𝐢 ; cela est égal à moins deux 𝐢. Et puis, on a moins 12𝐣 plus 12𝐣 ; cela est égal à zéro 𝐣. Et comme la composante est nulle, nous n’avons pas besoin de l’inclure.
Maintenant que nous avons trouvé une expression pour deux 𝐀 moins deux 𝐁, nous pouvons calculer sa norme. Sa norme sera égale à la norme de moins deux 𝐢. Et il existe quelques différentes méthodes pour le faire. Par exemple, nous pourrions trouver la racine carrée de la somme des carrés des composantes du vecteur. Nous pourrions également le faire graphiquement en choisissant un repère consistant des vecteurs unitaires orthogonaux 𝐢 et 𝐣. Cependant, le moyen le plus simple est probablement de se souvenir du résultat suivant. Pour toute constante réelle 𝑘 et vecteur 𝐕, la norme de 𝑘𝐕 est égale à la valeur absolue de 𝑘 multipliée par la norme de 𝐕.
Et tout ce que cela nous dit vraiment, c’est que si nous agrandissons un vecteur d’un facteur 𝑘, alors nous multiplions sa norme d’un facteur de valeur absolue de 𝑘. Dans notre cas, la valeur de 𝑘 est moins deux et le vecteur 𝐕 est juste le vecteur unitaire 𝐢. Donc, nous pouvons simplifier cela pour obtenir la valeur absolue de moins deux multipliée par la norme de 𝐢. Et dans la question, on nous dit que 𝐢 est un vecteur unitaire, donc sa norme est égale à un. Et bien sûr, la valeur absolue de moins deux est égale à deux. Donc, tout se simplifie pour juste donner deux, ce qui est la réponse finale.
Par conséquent, nous avons pu montrer que si 𝐀 est le vecteur moins cinq 𝐢 moins six 𝐣 et 𝐁 est le vecteur moins quatre 𝐢 moins six 𝐣, où 𝐢 et 𝐣 sont des vecteurs unitaires orthogonaux, alors la norme de deux 𝐀 moins deux 𝐁 est égale à deux.
