Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment effectuer algébriquement des opérations sur les vecteurs telles que l’addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire en deux dimensions.
Nous allons d’abord rappeler comment effectuer ces opérations, en commençant par l’addition et la soustraction de vecteurs en deux dimensions.
Définition: Addition et soustraction de vecteurs en deux dimensions
Pour additionner ou soustraire des vecteurs en deux dimensions, on additionne ou soustrait les composantes correspondantes des vecteurs. Pour et ,
Nous allons maintenant rappeler comment réaliser la multiplication de vecteurs par un scalaire en deux dimensions.
Définition: Multiplication de vecteurs par un scalaire
Pour multiplier un vecteur en deux dimensions par un scalaire, on multiplie chaque composante du vecteur par le scalaire. Pour un vecteur et un scalaire ,
Nous rappelons également que nous pouvons exprimer les vecteurs en deux dimensions en fonction des vecteurs unitaires de base et , qui sont définis par
À partir des composantes d’un vecteur, on peut utiliser l’addition et la multiplication par un scalaire de vecteurs pour écrire
Ceci explique comment fonctionne la conversion entre ces deux formes de vecteurs. On peut également effectuer des opérations algébriques sur les vecteurs à l’aide des vecteurs unitaires de base. Dans ce cas, nous pouvons traiter les vecteurs unitaires de base et comme des variables et regrouper les termes semblables. Par exemple, l’addition de deux vecteurs donne
La formule de l’addition de deux vecteurs ainsi obtenue est la même que celle donnée précédemment sous forme de composantes. La multiplication par un scalaire donne ainsi qui est également la même formule de la multiplication d’un vecteur par un scalaire que celle donnée précédemment sous forme de composantes. Comme nous pouvons le voir ici, l’avantage d’utiliser les vecteurs unitaires de base est que sous cette forme, les opérations algébriques sur les vecteurs ressemblent davantage à aux opérations algébriques correspondantes sur les réels.
Nous pouvons combiner plusieurs opérations algébriques sur les vecteurs en deux dimensions. Puisque les opérations algébriques sur les vecteurs ressemblent aux opérations correspondantes sur les réels, nous pouvons déterminer l’ordre des opérations sur les vecteurs en suivant l’ordre des opérations sur les réels. On rappelle que l’ordre des opérations sur les réels est donné par l’acronyme PEMDAS, qui signifie parenthèses, exposants, multiplication, division, addition et soustraction. Rappelons également que lorsque nous avons plusieurs additions et soustractions, le plus courant est de les réaliser en respectant l’ordre dans lequel elles sont écrites dans l’expression. Par exemple, pour calculer , on commence par calculer la soustraction , puis l’addition .
Puisque les opérations sur les vecteurs n’incluent pas l’exponentiation et la division, il n’y a que quatre opérations à considérer : parenthèses, multiplication, addition et soustraction.
Règle: Ordre des opérations sur les vecteurs
Lorsqu’on effectue des opérations sur des vecteurs en deux dimensions impliquant la multiplication par un scalaire, l’addition et la soustraction, on doit réaliser les opérations dans l’ordre suivant :
- Parenthèses
- Multiplication par un scalaire
- Addition et soustraction
Dans le premier exemple, nous combinerons la multiplication par un scalaire à la soustraction de vecteurs en deux dimensions.
Exemple 1: Calculer une expression impliquant la soustraction et la multiplication par un scalaire de vecteurs en deux dimensions
Sachant que et , calculez .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons calculer l’expression , qui implique la soustraction et la multiplication par un scalaire de vecteurs en deux dimensions. On rappelle que l’ordre des opérations sur les vecteurs est :
- parenthèses ;
- multiplication par un scalaire ;
- addition et soustraction.
Dans le cas présent, nous pouvons donc commencer par la multiplication par un scalaire . On rappelle que pour un vecteur et un scalaire , la multiplication par un scalaire est définie par
Nous avons donc
Nous calculons ensuite la soustraction. On rappelle que pour soustraire deux vecteurs, il suffit de soustraire leurs composantes correspondantes. Cela nous donne
Dans l’exemple précédent, nous avons calculé une expression algébrique impliquant la multiplication par un scalaire et la soustraction de deux vecteurs en deux dimensions.
En utilisant ces concepts, il est parfois possible d’exprimer un vecteur en fonction de deux vecteurs. Ceci est similaire à la façon dont on peut exprimer tout vecteur en fonction des vecteurs unitaires de base, et , avec
Pour deux vecteurs en deux dimensions et , on peut parfois exprimer un troisième vecteur en fonction de et si on trouve les scalaires et tels que
En calculant les multiplications par les scalaires et l’addition du membre de droite, on peut obtenir un système de deux équations en fonction de et . Notons cependant qu’il est possible que ce système n’ait pas de solution, auquel cas on ne peut pas exprimer en fonction de et . Mais lorsque ce système a pour solutions et , alors on peut exprimer en fonction de et .
Bien que la méthode décrite soit purement algébrique, il peut être utile d’utiliser un graphique pour la visualiser et la comprendre. Soit les trois vecteurs , et représentés ci-dessous.
Voyons ce que cela signifie géométriquement lorsqu’on exprime sous la forme
On sait que multiplier un vecteur par un scalaire entraîne un agrandissement ou une réduction du vecteur, et une inversion du sens du vecteur si le scalaire est négatif. Cela signifie que les vecteurs et sont des dilatations ou des contractions, avec parfois une inversion de sens, de et . On sait également que la somme de deux vecteurs en deux dimensions forme la diagonale du parallélogramme engendré par ces deux vecteurs. Cela signifie donc que nous pouvons créer des dilatations ou contractions de et telles que le vecteur est la diagonale du parallélogramme engendré par ces vecteurs dilatés ou contractés, comme illustré sur la figure ci-dessous.
Dans l’exemple suivant, nous devrons exprimer un vecteur en fonction de deux autres vecteurs.
Exemple 2: Utiliser les opérations sur les vecteurs pour exprimer un vecteur en fonction de deux autres vecteurs
Sachant que et , exprimez en fonction de et .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons exprimer le vecteur en fonction de deux vecteurs et . Cela signifie que nous devons trouver deux scalaires et tels que
Le côté gauche de cette équation comprend des multiplications par des scalaires et une addition de vecteurs. Nous savons que la multiplication par un scalaire doit être calculée avant l’addition de vecteurs. On rappelle que pour un vecteur et un scalaire , la multiplication par un scalaire est définie par
Cela nous donne donc
Nous pouvons ensuite additionner les deux vecteurs. On rappelle que pour additionner deux vecteurs, on additionne simplement leurs composantes correspondantes. Cela nous donne donc
Ce résultat doit être égal au vecteur , donc nous avons
Nous savons que deux vecteurs sont égaux si leurs composantes correspondantes sont égales. Nous pouvons par conséquent former le système de deux équations suivant :
Pour résoudre ce système, nous commençons par diviser les deux membres de la première équation par :
Puis nous additionnons ces deux équations pour obtenir . En remplaçant cette valeur dans la seconde équation, nous obtenons
Nous réarrangeons l’équation pour isoler , ce qui nous donne . Par conséquent, nous pouvons exprimer le vecteur sous la forme
Voyons maintenant un exemple dans lequel nous effectuerons des opérations sur des vecteurs définis par leurs extrémités. Pour les points et , le vecteur est égal à la différence des vecteurs position et . Cela nous donne
On rappelle également que
Nous pouvons visualiser cette opération sur le graphique ci-dessous.
Dans le prochain exemple, nous déterminerons les coordonnées d’un point à partir d’une équation impliquant des opérations sur des vecteurs en deux dimensions.
Exemple 3: Résoudre une équation vectorielle pour calculer des coordonnées inconnues
Soit un repère sur lequel , et ; déterminez les coordonnées du point .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer les coordonnées du point à partir de l’équation vectorielle donnée dans la question. Sur le côté gauche de cette équation, nous avons deux vecteurs : et . On rappelle que est le vecteur position du point , ce qui signifie que les composantes de ce vecteur sont données par les coordonnées correspondantes de . Comme nous ne connaissons pas les coordonnées de , nous allons désigner les coordonnées de par . Nous avons donc
Nous considérons ensuite le second vecteur de notre équation, . Il ne fait pas partie des vecteurs dont les composantes sont données dans la question. Cependant, nous pouvons déterminer ce vecteur à partir des vecteurs donnés dans la question en utilisant le fait que
On définit . En remplaçant et dans l’équation ci-dessus, on obtient
On rappelle que pour additionner deux vecteurs, on additionne simplement leurs composantes correspondantes. Nous avons donc
On en déduit que
En réarrangeant ces deux équations, nous obtenons et . Ainsi,
Nous pouvons donc réécrire l’équation donnée dans l’énoncé sous la forme
Le côté gauche de cette équation comprend deux multiplications par des scalaires et une soustraction de vecteurs en deux dimensions. Nous savons que nous devons toujours calculer les multiplications par des scalaires avant les additions. On rappelle qu’on peut calculer la multiplication d’un vecteur en deux dimensions par un scalaire en multipliant chacune des composantes du vecteur par le scalaire. Nous avons donc
Nous pouvons par conséquent réécrire notre équation sous la forme
Nous additionnons les vecteurs du membre de gauche,
Nous pouvons maintenant former deux nouvelles équations en égalisant les composantes correspondantes de part et d’autre de l’équation :
En réarrangeant ces deux équations, nous obtenons ce qui nous donne la coordonnée et la coordonnée de . Par conséquent, les coordonnées de sont .
Dans le prochain exemple, nous considérerons une expression impliquant des opérations sur trois vecteurs.
Exemple 4: Addition, soustraction et multiplication par un scalaire de vecteurs
Sachant que , et , déterminez le vecteur qui vérifie l’équation .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons calculer l’expression du membre de droite de l’équation pour déterminer le vecteur . Cette expression implique la multiplication par un scalaire, l’addition et la soustraction de vecteurs en deux dimensions. On rappelle que l’ordre des opérations sur les vecteurs est :
- parenthèses ;
- multiplication par un scalaire ;
- addition et soustraction.
Puisqu’il n’y a pas de parenthèses dans cette expression, nous commençons par calculer les multiplications par des scalaires. On rappelle que pour multiplier un vecteur par un scalaire, on multiplie chacune de ses composantes par le scalaire. Par conséquent, nous avons
Maintenant qu’on a calculé toutes les multiplications par des scalaires, on peut passer à l’addition et à la soustraction de vecteurs en respectant leur ordre d’apparition dans l’expression. Puisque l’expression que nous voulons calculer est , nous devons commencer par calculer l’addition . On rappelle que pour additionner ou soustraire deux vecteurs en deux dimensions, nous additionnons ou soustrayons les composantes correspondantes des vecteurs. En utilisant les vecteurs calculés précédemment, nous avons
Enfin, nous calculons la soustraction :
Par conséquent,
Dans le dernier exemple, nous calculerons une expression impliquant des opérations sur trois vecteurs et nous déterminerons la norme du vecteur obtenu.
Exemple 5: Calculer la norme d’un vecteur qui est le résultat de plusieurs opérations sur les vecteurs
Sachant que , et , calculez .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons calculer la norme d’un vecteur obtenu en effectuant plusieurs opérations sur trois vecteurs. Nous commençons donc par calculer le résultat des opérations sur les vecteurs :
L’expression que nous devons calculer implique la multiplication par un scalaire, l’addition et la soustraction de vecteurs en deux dimensions. On rappelle que l’ordre des opérations sur les vecteurs est :
- parenthèses ;
- multiplication par un scalaire ;
- addition et soustraction.
Puisqu’il n’y a pas de parenthèses dans cette expression, nous commençons par calculer les multiplications par des scalaires. On rappelle que pour multiplier un vecteur par un scalaire, on multiplie chacune de ses composantes par le scalaire. Nous avons donc
Maintenant que nous avons effectué toutes les multiplications par des scalaires, nous pouvons passer à l’addition et à la soustraction de vecteurs en respectant leur ordre d’apparition dans l’expression. Puisque notre expression est , nous devons commencer par calculer la soustraction . On rappelle que pour additionner ou soustraire deux vecteurs en deux dimensions, nous additionnons ou soustrayons les composantes correspondantes des vecteurs. En utilisant les vecteurs calculés précédemment, nous avons
Enfin, nous calculons l’addition :
Nous avons déterminé que le résultat de ces opérations sur les vecteurs est le vecteur . Nous devons maintenant déterminer sa norme. On rappelle la formule de la norme d’un vecteur en deux dimensions,
Puisque notre vecteur est , nous posons et dans la formule et nous obtenons
Par conséquent,
Pour finir, récapitulons quelques concepts importants vus dans cette fiche explicative.
Points clés
- La multiplication par un scalaire, l’addition et la soustraction de vecteurs ressemblent aux opérations correspondantes sur les nombres réels.
- Lorsqu’on calcule une expression impliquant la multiplication par un scalaire, l’addition ou la soustraction de vecteurs en deux dimensions, on doit effectuer les opérations dans l’ordre suivant :
- Parenthèses
- Multiplication par un scalaire
- Addition et soustraction
- Pour deux vecteurs en deux dimensions et , on peut exprimer un autre vecteur en deux dimensions en fonction de et s’il existe des scalaires et tels que
