Vidéo de la leçon: Opérations sur les vecteurs en 2D Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à effectuer algébriquement des opérations sur des vecteurs, telles que l'addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire en deux dimensions. Plus précisément, nous allons voir comment combiner plusieurs de ces opérations. Commençons par rappeler le fonctionnement de chaque opération individuelle.

Un vecteur en deux dimensions a une composante horizontale et verticale, qui décrivent sa norme, ou longueur, sa direction et son sens. Les vecteurs peuvent être représentés graphiquement sur le repère 𝑥𝑦, où le vecteur unitaire 𝐢 représente un déplacement d’une unité dans le sens des 𝑥 positifs et le vecteur unitaire 𝐣 représente un déplacement d’une unité dans le sens des 𝑦 positifs. Le vecteur 𝐮 égal à quatre 𝐢 plus trois 𝐣 représente ainsi un déplacement de quatre unités dans le sens des 𝑥 positifs et de trois unités dans le sens des 𝑦 positifs. De même, le vecteur 𝐯, égal à moins deux 𝐢 plus cinq 𝐣, représente un déplacement de deux unités dans le sens des x négatifs et de cinq unités dans le sens des 𝑦 positifs. Ces vecteurs peuvent également être exprimés en fonction de leurs composantes, comme ceci.

Pour additionner ou soustraire deux vecteurs, on traite leurs composantes horizontales et verticales séparément. Lorsque l’on additionne les vecteurs 𝐮 et 𝐯, on a quatre, trois plus moins deux, cinq. Comme quatre plus moins deux égale deux et trois plus cinq égale huit, cela est égal au vecteur deux, huit. 𝐮 moins 𝐯 est égal à quatre, trois moins moins deux, cinq. Et soustraire les composantes correspondantes nous donne le vecteur six, moins deux. Pour multiplier un vecteur par un scalaire, on multiplie chacune de ses composantes par ce scalaire. Par exemple, quatre 𝐮 est égal à quatre fois le vecteur quatre, trois. On multiplie quatre par quatre, puis trois par quatre, ce qui nous donne le vecteur 16, 12.

Enfin, on peut calculer la norme de tout vecteur en rappelant que pour le vecteur 𝐮 égal à 𝑥, 𝑦, la norme de 𝐮 est égale à racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré. Dans cet exemple, la norme de 𝐮 est égale à racine carrée de quatre au carré plus trois au carré. Et comme quatre au carré égale 16 et trois au carré égale neuf, cela est égal à racine carrée de 25, soit cinq. Dans les trois exemples qui suivent, nous allons voir comment utiliser différentes combinaisons de ces quatre opérations pour résoudre des problèmes impliquant des vecteurs.

Sachant que le vecteur 𝐀 est égal à moins quatre, moins un et que le vecteur 𝐁 est égal à moins deux, moins un, exprimez le vecteur 𝐂, qui est égal à moins huit, moins un, en fonction des vecteurs 𝐀 et 𝐁.

Comme nous voulons exprimer le vecteur 𝐂 en fonction des vecteurs 𝐀 et 𝐁, on définit 𝐂 égal à une constante 𝑝 fois 𝐀 plus une constante 𝑞 fois 𝐁. En substituant les composantes des vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂, on a moins huit, moins un égale 𝑝 fois moins quatre, moins un plus 𝑞 fois moins deux, moins un. On rappelle que pour multiplier un vecteur par un scalaire, ou une constante, on multiplie chacune de ses composantes par le scalaire. Cela signifie que 𝑝 fois moins quatre, moins un est égal à moins quatre 𝑝, moins 𝑝. De même, 𝑞 fois moins deux, moins un est égal à moins deux 𝑞, moins 𝑞.

Nous avons maintenant une somme de deux vecteurs et nous savons qu’elle est égale au vecteur moins huit, moins un. Pour additionner deux vecteurs, on additionne simplement leurs composantes correspondantes séparément. Cela signifie que le membre droit de l’équation est égal au vecteur moins quatre 𝑝 moins deux 𝑞, moins 𝑝 moins 𝑞. Comme cela doit être égal au vecteur moins huit, moins un, on peut poser l’égalité des composantes correspondantes de chaque membre de l’équation. On obtient ainsi deux équations : moins huit égale moins quatre 𝑝 moins deux 𝑞, et moins un égale moins 𝑝 moins 𝑞.

On peut simplifier ces deux équations et éliminer les signes négatifs en multipliant l’équation du haut par moins un sur deux et la deuxième équation par moins un. Cela nous donne le système de deux équations : quatre égale deux 𝑝 plus 𝑞, et un égale 𝑝 plus 𝑞. On peut résoudre ce système en utilisant la méthode d’élimination. En soustrayant l’équation deux à l’équation un, la variable q se simplifie et il nous reste 𝑝 égale trois. On peut alors substituer cette valeur de 𝑝 dans l’équation deux, ce qui donne un égale trois plus 𝑞. En soustrayant trois aux deux membres de cette équation, on obtient 𝑞 égale moins deux. Nous avons maintenant les valeurs des constantes 𝑝 et 𝑞. Et nous pouvons donc conclure que 𝐂 est égal à trois 𝐀 moins deux 𝐁.

Le prochain exemple est un problème plus compliqué impliquant également la multiplication par un scalaire et l’addition de vecteurs.

Dans un repère, sachant que le vecteur 𝐀𝐂 est égal à trois, trois, que le vecteur 𝐁𝐂 est égal à 13, moins sept et que deux 𝐂 plus deux 𝐀𝐁 est égal à moins quatre, moins quatre, trouvez les coordonnées du point 𝐶.

En commençant par considérer les trois points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 représentés sur le schéma, nous savons que le vecteur 𝐀𝐂 est égal à trois, trois. Cela signifie que l’on se déplace de trois unités dans le sens des x positifs et de trois unités dans le sens des 𝑦 positifs. Le vecteur 𝐁𝐂 est égal à 13, moins sept. Pour aller du point 𝐵 au point 𝐶, on se déplace de 13 unités dans le sens des 𝑥 positifs et de sept unités dans le sens des 𝑦 négatifs.

Nous pouvons utiliser ces informations pour trouver le vecteur 𝐀𝐁. Une façon d’aller du point 𝐴 au point 𝐵 est de passer par le point 𝐶. Pour cela, on se déplace le long des vecteurs 𝐀𝐂 et 𝐂𝐁. On sait que le vecteur 𝐀𝐂 est égal à trois, trois. Et que le vecteur 𝐂𝐁 a la même norme que le vecteur 𝐁𝐂 mais va dans le sens opposé. Cela signifie que le vecteur 𝐂𝐁 est égal à moins 13, sept. Le vecteur 𝐀𝐁 est donc égal à trois, trois plus moins 13, sept.

On rappelle alors que l’on peut additionner deux vecteurs en additionnant leurs composantes correspondantes. Trois plus moins 13 égale moins 10, et trois plus sept égale 10. Par conséquent, le vecteur 𝐀𝐁 est égal à moins 10, 10. Si on suppose que le point 𝐶 a les coordonnées 𝑥, 𝑦, alors le vecteur position du point 𝐶, également noté 𝐎𝐂, est égal au vecteur 𝑥, 𝑦. En substituant ces composantes ainsi que celles de 𝐀𝐁 dans l’équation donnée, on a deux fois 𝑥, 𝑦 plus deux fois moins 10, 10 égale moins quatre, moins quatre.

On rappelle que l’on peut multiplier un vecteur par un scalaire en multipliant chacune de ses composantes par ce scalaire. L’équation se simplifie donc par deux 𝑥, deux 𝑦 plus moins 20, 20 égale moins quatre, moins quatre. On peut additionner les deux vecteurs sur le membre gauche et on obtient deux 𝑥 moins 20, deux 𝑦 plus 20 égale moins quatre, moins quatre. Pour calculer enfin les valeurs de 𝑥 et 𝑦, on pose l’égalité des composantes correspondantes. On obtient ainsi deux équations : deux 𝑥 moins 20 égale moins quatre, et deux 𝑦 plus 20 égale moins quatre. Résoudre la première équation nous donne 𝑥 égale huit. Et en résolvant la deuxième équation, on obtient 𝑦 égale moins 12. Nous pouvons donc conclure que les coordonnées du point 𝐶 sont huit, moins 12.

Dans le dernier exemple, nous allons combiner l’addition, la multiplication par un scalaire et le calcul de la norme de vecteurs.

Si le vecteur 𝐀 est égal à cinq, moins trois et le vecteur 𝐁 est égal à deux, un, alors la norme de 𝐀 plus trois 𝐁 est égale à combien unités de longueur ?

Dans cette question, les vecteurs en deux dimensions 𝐀 et 𝐁 sont exprimés en fonction de leurs composantes en 𝑥 et 𝑦. Nous devons calculer la norme de 𝐀 plus trois fois 𝐁. Nous allons la calculer en trois étapes, en commençant par la multiplication par un scalaire pour calculer trois 𝐁. Pour multiplier un vecteur par un scalaire, on multiplie simplement chacune de ses composantes par ce scalaire. Cela signifie que trois fois le vecteur deux, un nous donne le vecteur six, trois. Notre prochaine étape consiste à l’ajouter au vecteur 𝐀. Et on additionne pour cela les composantes correspondantes. En faisant cela, on obtient le vecteur 11, zéro.

La dernière étape consiste à calculer la norme de ce vecteur. Comme la composante en 𝑦 de notre vecteur est nulle, on peut employer un raccourci pour calculer sa norme. Mais nous allons tout de même commencer par rappeler comment calculer la norme d’un vecteur quelconque en deux dimensions. Pour le vecteur 𝐮 égal à 𝑥, 𝑦, la norme de 𝐮 est égale à racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré. On additionne les carrés des composantes et on calcule ensuite la racine carrée de cette somme. Cela signifie que la norme du vecteur 11, zéro est égale à racine carrée de 11 au carré plus zéro au carré. Cela est égal à racine carrée de 121, ce qui fait 11. Sachant que le vecteur 𝐀 est égal à cinq, moins trois et que le vecteur 𝐁 est égal à deux, un, la norme de 𝐀 plus trois 𝐁 est égale à 11 unités de longueur.

Comme mentionné précédemment, on peut calculer la norme plus simplement lorsqu’une des composantes est égale à zéro. Dans cet exemple, la composante en 𝑦 est égale à zéro. Cela signifie que le vecteur 11, zéro représente un déplacement de 11 unités dans le sens des 𝑥 positifs. Comme la norme d’un vecteur est sa longueur, cela confirme que la norme du vecteur 11, zéro est de 11 unités de longueur. Lorsqu’une des deux composantes d’un vecteur est égale à zéro, alors la norme de ce vecteur est égale à la valeur absolue de la composante non nulle.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans cette vidéo que l’on peut combiner l’addition, la soustraction, la multiplication par un scalaire de vecteurs et le calcul de la norme d’un vecteur pour résoudre des problèmes impliquant des vecteurs en deux dimensions. Nous avons pour cela rappelé que pour le vecteur 𝐮 de composantes 𝑥 un, 𝑦 un et le vecteur 𝐯 de composantes 𝑥 deux, 𝑦 deux, on peut additionner ou soustraire ces deux vecteurs en additionnant ou soustrayant leurs composantes correspondantes. La multiplication d’un vecteur par un scalaire, ou une constante, 𝑘 consiste à multiplier chacune de ses composantes par ce scalaire. Et la norme d’un vecteur est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes.