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Utilisez la formule de Moivre pour calculer les deux racines carrées de 16 que multiplie cosinus de cinq pi sur trois moins 𝑖 fois sinus de cinq pi sur trois.
On nous donne un nombre complexe sous forme trigonométrique, que nous appellerons 𝑧, et qui est égal à 16 que multiplie cosinus de cinq pi sur trois moins 𝑖 sinus de cinq pi sur trois. Et on nous demande d’utiliser le théorème de De Moivre pour évaluer la racine carrée de 𝑧. Rappelons ce que dit ce théorème. Pour les valeurs entières de 𝑛, si 𝑧 égale 𝑟 fois cosinus thêta plus 𝑖 fois sinus thêta, alors la racine 𝑛-ième de 𝑧 - c’est-à-dire 𝑧 puissance un sur 𝑛 - égale 𝑟 puissance un sur 𝑛 fois le cosinus de thêta plus deux 𝑘 pi sur 𝑛 plus 𝑖 sinus thêta plus deux 𝑘 pi sur 𝑛. Pour des valeurs de 𝑘 variant de zéro à 𝑛 moins un.
Alors, si on compare notre 𝑧 à celui du théorème de De Moivre, la première chose à noter est qu’on a un signe négatif entre le cosinus et le sinus, alors que dans le théorème de De Moivre, le signe est positif. Et pour utiliser le théorème de De Moivre, nous allons utiliser le fait que cosinus thêta est égal à cosinus de moins thêta et que moins sinus thêta est égal à sinus de moins thêta. Donc, notre 𝑧 est en fait égal à 16 fois le cos de moins cinq pi sur trois plus 𝑖 fois le sinus de moins cinq pi sur trois. Et notre expression trigonométrique est sous la bonne forme pour utiliser le théorème de De Moivre. Puisque nous recherchons les racines carrées de 𝑧, notre 𝑛 est égal à deux. Et puisque 𝑘 prend des valeurs de zéro à 𝑛 moins un, cela signifie que nous avons deux valeurs pour 𝑘 ; zéro et un.
Et maintenant, si on compare notre 𝑧 à celui du théorème de De Moivre, on a 𝑟 est égal à 16 et thêta est égal à moins cinq pi sur trois. Alors maintenant, si on utilise le théorème de De Moivre, on a 𝑧 puissance un demi est égal à 16 puissance un demi fois cosinus de moins cinq pi sur trois plus deux 𝑘 pi, le tout sur deux, plus 𝑖 fois sinus de moins cinq pi sur trois plus deux 𝑘 pi, le tout sur deux.
Nous devons à présent simplifier cela pour évaluer les deux valeurs de 𝑘 ; on a 𝑘 est égal à zéro et 𝑘 est égal à un. Et puisque la racine carrée de 16 est quatre, lorsque 𝑘 est égal à zéro, on a quatre fois cosinus de moins cinq pi sur six plus 𝑖 fois sinus de moins cinq pi sur six. Car lorsque 𝑘 est égal à zéro, deux 𝑘 pi vaut aussi zéro. Et moins cinq pi divisé par trois le tout divisé par deux est égal à moins cinq pi sur six. A présent, cosinus de moins cinq pi sur six est égal à moins racine de trois sur deux, et sinus de moins cinq pi sur six est égal à moins un demi. Alors, notre première racine est quatre fois moins racine de trois sur deux moins 𝑖 sur deux. Et évaluer cela signifie que notre première racine de 𝑧, lorsque 𝑘 est égal à zéro est moins deux fois la racine carrée de trois plus deux 𝑖.
Et maintenant, libérons un peu d’espace. Et notre deuxième racine, lorsque 𝑘 est égal à un est quatre fois le cosinus de moins cinq pi sur trois plus deux pi, le tout sur deux, plus 𝑖 fois le sinus de moins cinq pi sur trois plus deux pi, le tout sur deux. Ce qui est égal à quatre fois cosinus de pi sur six plus 𝑖 fois sinus de pi sur six. Le cosinus de pi sur six est égal à racine de trois sur deux, et le sinus de pi sur six est un demi. Donc notre deuxième racine est quatre fois racine carrée de trois sur deux plus 𝑖 sur deux. Ce qui est égal à deux fois racine carrée de trois plus deux 𝑖.
Les deux racines carrées de 16 que multiplie cosinus cinq pi sur trois moins 𝑖 fois sinus cinq 𝜋 sur trois, sont donc plus ou moins deux fois racine carrée de trois plus deux 𝑖.
