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Les variations du vecteur vitesse d’un objet sont représentées en fonction du temps sur le graphique. L’objet a un vecteur vitesse 𝑢 à l’instant 𝑡 un et un vecteur vitesse 𝑣 à l’instant 𝑡 deux. Quelle grandeur est égale au vecteur vitesse multiplié par le temps ?
Dans cette question, on nous donne un graphique représentant le vecteur vitesse d’un objet sur l’axe des 𝑦, ou l’axe vertical, en fonction du temps sur l’axe horizontal, ou l’axe des x. Nous pouvons voir sur ce graphique qu’à l’instant 𝑡 un, le vecteur vitesse de l’objet a une valeur égale à 𝑢, et qu’à l’instant 𝑡 deux, le vecteur vitesse de l’objet est égal à 𝑣. Cela correspond aux informations données dans l’énoncé. Dans cette première question, on nous demande quelle grandeur est égale au vecteur vitesse multiplié par le temps. Pour répondre à cette question, rappelons que le vecteur vitesse d’un objet est défini comme la variation de déplacement de cet objet en fonction du temps. Le vecteur vitesse d’un objet est donc égal au déplacement de cet objet divisé par le temps sur lequel ce déplacement a lieu.
Si nous multiplions les deux côtés de cette équation par le temps, alors à droite, le temps au numérateur se simplifie avec le temps au dénominateur. Nous obtenons donc que le temps multiplié par le vecteur vitesse est égal au déplacement. Donc, la réponse à la première question est que la grandeur qui est égale au vecteur vitesse multiplié par le temps est le déplacement. Remarquons que comme le déplacement est égal au vecteur vitesse multiplié par le temps, si nous avons un graphique représentant le vecteur vitesse en fonction du temps, comme c’est le cas ici, alors pour l’objet dont le mouvement est représenté sur le graphique, le déplacement de cet objet entre deux instants est égal à l’aire sous la courbe vecteur vitesse-temps entre ces deux instants.
Maintenant, faisons un peu de place et passons à la deuxième question.
Laquelle des expressions suivantes est l’expression correcte de l’aire 𝐵 indiquée sur le graphique ? (A) 𝑢 divisé par Δ𝑡, (B) 𝑣 moins 𝑢 multiplié par Δ𝑡, (C) 𝑢 multiplié par Δ𝑡, (D) Δ𝑡 divisé par 𝑢.
On nous demande ici de déterminer la valeur de l’aire appelée 𝐵 sur ce graphique vecteur vitesse-temps. Nous pouvons voir que l’aire 𝐵 correspond à ce rectangle vert ici sur le graphique. Nous pouvons également voir que le coin inférieur gauche du rectangle vert correspond à l’origine du graphique. C’est-à-dire, à une valeur de temps 𝑡 un et une valeur de vecteur vitesse de zéro. Sur l’axe horizontal des temps, nous pouvons remarquer que le rectangle va de l’instant 𝑡 un à l’instant 𝑡 deux et que sa longueur sur cet axe est notée Δ𝑡, qui vaut 𝑡 deux moins 𝑡 un. Si nous appelons ce côté la longueur du rectangle, alors nous pouvons dire que ce rectangle a une longueur égale à Δ𝑡.
Si nous considérons maintenant l’axe vertical des vecteurs vitesse, nous pouvons remarquer que le vecteur vitesse 𝑢 correspond à cette valeur en haut du rectangle. Ce rectangle vert représentant l’aire 𝐵 va donc d’un vecteur vitesse de zéro à un vecteur vitesse de 𝑢. La largeur du rectangle sur l’axe des vecteurs vitesse est donc égale à 𝑢 moins zéro, ce qui est simplement 𝑢. Alors, ce rectangle vert a une largeur égale à 𝑢. Rappelons que l’aire d’un rectangle est égale à la largeur du rectangle multipliée par sa longueur. L’aire 𝐵 est l’aire du rectangle vert qui a une largeur de 𝑢 et une longueur de Δ𝑡. L’aire 𝐵 est donc égale à 𝑢 multipliée par Δ𝑡.
Nous pouvons voir que cette expression que nous avons établie pour l’aire 𝐵 correspond à l’expression de la proposition (C). La proposition (C) est donc la bonne réponse. L’expression correcte de l’aire 𝐵 représentée sur le graphique est 𝑢 multipliée par Δ𝑡.
Faisons de nouveau un peu de place pour pouvoir regarder la troisième question.
Laquelle des expressions suivantes est l’expression correcte de l’aire 𝐴 indiquée sur le graphique ? (A) 𝑢 plus 𝑣 fois Δ𝑡, (B) deux fois 𝑢 plus 𝑣 fois Δ𝑡, (C) un demi fois 𝑢 plus 𝑣 fois Δ𝑡, (D) un demi fois 𝑣 moins 𝑢 fois Δ𝑡, (E) un demi fois 𝑢 moins 𝑣 fois Δ𝑡.
Alors, cette fois-ci, nous cherchons à déterminer l’aire appelée A sur le graphique. Nous pouvons voir qu’il s’agit de l’aire du triangle jaune ici, qui est située au-dessus du rectangle vert correspondant à l’aire 𝐵. Notons que la base de ce triangle, le côté sur l’axe des temps, correspond à la largeur du rectangle vert. Comme pour le rectangle, ce côté va de l’instant 𝑡 un à l’instant 𝑡 deux. Et il vaut donc 𝑡 deux moins 𝑡 un, ce qui est égal à Δ𝑡. On peut donc dire alors que la base de ce triangle est égale à Δ𝑡.
Considérons maintenant la hauteur du triangle, c’est-à-dire le côté sur l’axe vertical des vecteurs vitesse. Nous pouvons voir que la base du triangle se situe à une hauteur 𝑢 sur l’axe des vecteurs vitesse. Le triangle est donc situé à cette hauteur 𝑢 et nous pouvons voir que le coin supérieur du triangle correspond à un vecteur vitesse 𝑣. Cela signifie que le triangle a une hauteur égale à 𝑣 moins 𝑢. Et pour être clair, 𝑣 correspond à la distance verticale depuis l’axe des temps jusqu’à la droite horizontale notée 𝑣, tandis que 𝑢 correspond à la distance verticale depuis le même axe des temps jusqu’à la droite horizontale notée 𝑢.
Donc, la longueur sur l’axe vertical que nous avons appelée 𝑣 moins 𝑢 est égale à cette longueur 𝑣, qui est la hauteur totale sur l’axe des vecteurs vitesse, moins cette longueur 𝑢, qui est la hauteur du rectangle sur lequel est située le triangle. Nous avons donc que la hauteur de ce triangle est égale à 𝑣 moins 𝑢.
Rappelons que l’aire d’un triangle est égale à un demi fois la base fois la hauteur. Dans ce cas, il est simple de voir pourquoi il y a un facteur un demi. Sur le graphique, nous pouvons voir que le triangle jaune occupe la moitié de l’aire délimitée par ce rectangle bleu. Nous voyons qu’il est possible de diviser ce rectangle bleu en deux triangles égaux, dont l’un est le triangle jaune représentant l’aire 𝐴 et l’autre est ce triangle représenté en vert ici.
Nous pouvons remarquer que le rectangle bleu a une largeur de 𝑣 moins 𝑢 et une longueur de Δ𝑡. Nous savons que l’aire d’un rectangle est égale à sa largeur multipliée par sa longueur. Dans ce cas, pour le rectangle bleu, c’est Δ𝑡 multiplié par 𝑣 moins 𝑢. Comme les deux triangles dans ce rectangle, le triangle jaune représentant l’aire 𝐴 et le triangle vert, ont une aire égale à la moitié de l’aire du rectangle, l’aire des triangles est égale à la longueur multipliée par la largeur, ce qui correspond à l’aire du rectangle, multipliée par un demi. Nous obtenons ainsi la formule de l’aire d’un triangle, qui est égale à un demi multiplié par la base, qui correspond à la longueur du rectangle, fois la hauteur, qui correspond à la largeur du rectangle.
Nous savons que pour ce triangle jaune représentant l’aire 𝐴, la base est Δ𝑡 et la hauteur est 𝑣 moins 𝑢. En remplaçant ces valeurs dans la formule donnant l’aire d’un triangle, nous obtenons que l’aire 𝐴 est égale à un demi multiplié par Δ𝑡 multiplié par 𝑣 moins 𝑢. Lorsqu’on multiplie plusieurs termes ensemble, l’ordre dans lequel on les écrit n’a pas d’importance. Donc, nous pouvons aussi écrire l’expression comme un demi fois 𝑣 moins 𝑢 fois Δ𝑡. Nous pouvons alors plus facilement voir que cette expression correspond à la proposition (D). L’expression correcte pour la valeur de l’aire 𝐴 représentée sur le graphique est un demi fois 𝑣 moins 𝑢 fois Δ𝑡.
Maintenant, faisons un peu d’espace et regardons la dernière question.
Laquelle des formules suivantes exprime correctement la relation entre l’accélération, le déplacement et la variation de temps indiquée sur le graphique ? (A) 𝑠 est égal à 𝑢 fois Δ𝑡 plus un demi de 𝑎 fois Δ𝑡 au carré. (B) 𝑠 est égal à 𝑢 fois Δ𝑡 au carré plus un demi de 𝑎 fois Δ𝑡 au carré. (C) 𝑠 est égal à un demi de 𝑢 fois Δ𝑡 plus 𝑎 fois Δ𝑡 au carré. (D) 𝑠 est égal à un demi de 𝑢 fois Δ𝑡 plus un demi de 𝑎 fois Δ𝑡 au carré.
Alors, dans cette dernière question, on nous donne quatre expressions différentes du déplacement 𝑠 en fonction de la variation de temps Δ𝑡, de l’accélération 𝑎 et du vecteur vitesse initial 𝑢. L’objectif ici est de déterminer laquelle de ces formules est correcte. Rappelons que dans la première question, nous avons vu que si le mouvement d’un objet est représenté sur un graphique vecteur vitesse-temps, alors le déplacement de cet objet est donné par l’aire située sous la courbe de ce graphique vecteur vitesse-temps.
Dans cette question, l’objet commence son mouvement avec un vecteur vitesse 𝑢 à l’instant 𝑡 un et termine avec un vecteur vitesse 𝑣 à l’instant t deux. C’est-à-dire que cette courbe rose que nous avons ajoutée correspond à la courbe du graphique vecteur vitesse-temps représentant le mouvement de l’objet. L’aire sous la courbe correspond à toute l’aire située en dessous de cette courbe entre les instants 𝑡 un et 𝑡 deux, c’est donc l’aire 𝐵 plus l’aire 𝐴. Comme nous savons que cette aire totale sous la courbe représente le déplacement de l’objet, nous pouvons dire que ce déplacement est égal à l’aire 𝐴 plus l’aire 𝐵. En appelant ce déplacement 𝑠 et en utilisant les résultats trouvés pour les aires 𝐴 et 𝐵, nous avons alors que 𝑠 est égal à un demi fois 𝑣 moins 𝑢 fois Δ𝑡 plus 𝑢 fois Δ𝑡.
Il faut trouver un moyen de réécrire cette équation pour y faire apparaître 𝑎, l’accélération de l’objet. Pour cela, rappelons que l’accélération d’un objet est définie comme la variation de vecteur vitesse de cet objet en fonction du temps. Autrement dit, l’accélération 𝑎 est égale à la variation de vecteur vitesse de l’objet divisée par la variation de temps sur laquelle cette variation de vecteur vitesse se produit. Dans ce cas, puisque l’objet passe d’un vecteur vitesse initial 𝑢 à un vecteur vitesse final 𝑣, la variation de vecteur vitesse est égale à 𝑣 moins 𝑢. Ce changement de vecteur vitesse a lieu entre l’instant 𝑡 un et l’instant 𝑡 deux. La variation de temps est donc égale à 𝑡 deux moins 𝑡 un, ce qui vaut Δ𝑡. On peut donc dire que l’accélération 𝑎 est égale à 𝑣 moins 𝑢, le tout divisé par Δ𝑡.
En multipliant les deux côtés de cette expression par Δ𝑡, alors à droite le Δ𝑡 au numérateur se simplifie avec le Δ𝑡 au dénominateur. Il nous reste une équation qui dit que Δ𝑡 multiplié par 𝑎 est égal à 𝑣 moins 𝑢. En regardant maintenant l’expression que nous avons pour le déplacement 𝑠, nous pouvons voir que ce facteur 𝑣 moins 𝑢 apparaît dans le premier terme. Selon la définition de l’accélération, nous avons établi que 𝑣 moins 𝑢 est égal à Δ𝑡 multiplié par 𝑎. Cela signifie que nous pouvons remplacer 𝑣 moins 𝑢 par Δ𝑡 multiplié par 𝑎 dans l’équation du déplacement. Donc, dans cette expression de 𝑠, le premier terme du côté droit est maintenant un demi fois Δ𝑡 fois 𝑎 fois Δ𝑡.
Nous pouvons réécrire cela en regroupant les deux termes Δ𝑡 par Δ𝑡 au carré. Donc, nous avons que 𝑠 est égal à un demi fois 𝑎 fois Δ𝑡 au carré plus 𝑢 fois Δ𝑡. Enfin, en modifiant l’ordre des termes sur le côté droit, nous avons que 𝑠 est égal à 𝑢 fois Δ𝑡 plus un demi de 𝑎 fois Δ𝑡 au carré. Cette expression correspond à la formule donnée dans la proposition (A). La formule qui exprime correctement la relation entre l’accélération, le déplacement et la variation de temps indiquée sur le graphique est 𝑠 est égal à 𝑢 fois Δ𝑡 plus un demi de 𝑎 fois Δ𝑡 au carré.
