Transcription de vidéo
Dans cette vidéo, nous verrons comment analyser le mouvement d’un objet lorsqu’il accélère. Tout en considérant également la distance parcourue par l’objet lors de son accélération, ainsi que le temps nécessaire pour que l’accélération se produise.
Commençons donc par imaginer que nous avons un objet ici, qui se déplace initialement vers la droite à une vitesse 𝑢. Mais alors, juste à ce moment-là, lorsque l’objet est à cet endroit, il commence à accélérer. Et disons qu’il commence à accélérer dans la même direction que son mouvement. Alors disons qu’il a une accélération constante, 𝑎.
Maintenant, pour cette raison, un peu plus tard, l’objet sera à, disons, cet endroit-ci. Et comme il accélère, il ne se déplacera plus à une vitesse 𝑢. Au lieu de cela, il se déplacera à une vitesse différente. Appelons cette vitesse 𝑣.
Donc, pour récapituler, ce qui se passe est que nous avons commencé avec un objet se déplaçant initialement à une vitesse 𝑢, qui a ensuite accéléré à un taux constant, 𝑎, dans la même direction que sa vitesse. Et cet objet se retrouve alors à cet endroit ici, avec une nouvelle vitesse 𝑣. Donc, essentiellement, l’objet a accéléré. Maintenant, disons que l’objet parcourt une certaine distance, que nous appellerons 𝑠, lorsqu’il s’accélère. Et disons également que, au début du mouvement de l’objet, nous avons lancé un chronomètre. Donc, le chronomètre indiquait zéro. Et à la fin de sa trajectoire, il a marqué un temps 𝑡. En d’autres termes, l’objet a accéléré sur un intervalle de temps 𝑡. Ou le temps nécessaire pour que l’objet s’accélère était 𝑡.
Eh bien, pour une situation comme celle-ci, il y a une équation que nous pouvons utiliser qui relie toutes les quantités que nous avons étiquetées sur ce schéma. Mais pour trouver cette relation, ce que nous allons faire c’est tracer un graphique vitesse-temps. Alors traçons nos axes, et étiquetons la vitesse sur l’axe vertical et le temps sur l’axe horizontal.
Maintenant, nous allons représenter le mouvement de cet objet sur le graphique vitesse-temps. Donc, si nous étiquetons d’abord l’origine sur notre graphique, nous pouvons alors voir que, au début de la trajectoire de l’objet, cest-à-dire à un instant égal à zéro, l’objet a commencé avec une certaine vitesse. Cette vitesse était 𝑢. Traçons donc cela sur le graphique. Donc, à un instant zéro, ce qui signifie qu’il sera sur l’axe vertical, nous représentons une vitesse, disons ici, qui est 𝑢. Et puis nous savons que l’objet a accéléré à un taux constant, qui est 𝑎. Nous y reviendrons dans une seconde.
Mais nous savons que l’objet a fini ici à un instant 𝑡 avec une vitesse 𝑣. Alors disons que, sur l’axe horizontal, c’est un temps générique 𝑡. Donc, à ce moment-là, nous devons tracer la vitesse de l’objet comme 𝑣. Maintenant, parce que l’objet accélère dans la même direction que son mouvement, 𝑣 va être plus grand que 𝑢. Et c’est parce que si nous accélérons dans la même direction que notre mouvement, alors notre vitesse augmentera dans cette direction.
Et donc disons que, quelque part ici, c’est la vitesse 𝑣 sur l’axe vertical. Et nous savons que la vitesse 𝑣 est atteinte à un instant 𝑡. Donc, pour tracer notre point, ce que nous devons faire est de monter à partir du temps 𝑡 jusqu’à atteindre un point qui représente la vitesse 𝑣 le long de l’axe vertical. Et donc le point que nous traçons est ici. C’est la vitesse finale de l’objet à la fois 𝑡.
Et rappelez-vous d’avant que, à l’instant zéro, donc au début, la vitesse de l’objet était 𝑢. Nous devons donc également placer une croix ici pour représenter le point initial. Et donc, en d’autres termes, sur notre graphique vitesse-temps, l’objet commence ici et finit ici. Maintenant, nous pouvons tracer une ligne entre ces deux points qui représentera la vitesse de l’objet sur toute sa trajectoire. En d’autres termes, si nous traçons une ligne droite entre les deux points, et si nous regardons un point le long de cette ligne - disons ce point ici - alors cela nous permettra de déterminer la vitesse de l’objet à un certain moment dans le temps le long de sa trajectoire.
Mais alors pourquoi est-ce que nous avons tracé une ligne droite entre les deux points, ce point et celui-là? Pourquoi n’est-ce pas une ligne courbe? Eh bien, c’est parce que, comme nous l’avons dit plus tôt, l’accélération de l’objet est constante. Et ce que cela signifie essentiellement, c’est que, pour chaque unité de temps, la vitesse de l’objet augmente de la même quantité. Elle accélère au même rythme, et l’accélération est constante.
Et une autre façon de penser à cela est de nous rappeler que la pente d’un graphique vitesse-temps donne l’accélération de l’objet en question. Et puisque nous parlons d’une accélération constante, la pente doit également être constante, ce qui signifie que cette ligne doit être une droite. Maintenant, sur ce graphique, nous avons tracé la vitesse initiale 𝑢, la vitesse finale 𝑣 et le temps total du mouvement de l’objet, qui est 𝑡. Et en plus de cela, nous pouvons déduire l’accélération de l’objet en trouvant la pente de la droite. Donc, la seule chose dont nous n’avons pas encore parlé c’est la distance parcourue par l’objet lorsqu’il accélère d’ici à là.
Eh bien, nous pouvons également la calculer à partir du graphique. Rappelons que l’aire sous un graphique vitesse-temps nous donnera le déplacement de l’objet en question. Donc, ce que nous essayons de faire, c’est de trouver l’aire sous cette ligne et au-dessus de l’axe horizontal. Et cette aire sera le déplacement de l’objet dont nous parlons.
Maintenant, il y a quelques points auxquels on doit faire attention. Tout d’abord bien sûr, nous voulons calculer l’aire entre les instants auxquels nous considérons le déplacement de l’objet, zéro et 𝑡. Et donc nous voulons calculer l’aire entre ici et là. En d’autres termes, celle-ci est l’aire que l’on veut calculer. Et deuxièmement, nous avons dit que l’aire nous donnerait le déplacement de l’objet, pas nécessairement la distance parcourue par l’objet. Et c’est un point important à souligner. Parce que, rappelez-vous, le déplacement d’un objet est la distance la plus courte entre son point de départ et d’arrivée, c’est-à-dire, la distance la plus courte entre ici et là.
Mais la distance la plus courte entre deux points est une droite. Et quand un objet accélère à un rythme constant dans la même direction, il se déplace en ligne droite. Donc, dans ce cas, la distance que nous avons étiquetée 𝑠 est en effet l’aire sous la courbe.
Maintenant, les choses peuvent devenir un peu plus compliquées lorsque l’accélération est dans la direction opposée à la vitesse initiale de l’objet, ce qui signifie que l’objet décélère en réalité. Donc, ce que nous voulons dire, c’est si nous avons commencé avec notre objet et qu’il se déplaçait initialement vers la droite, mais que l’accélération de l’objet était vers la gauche. Ensuite, ce qui arriverait à l’objet est qu’il commence par se déplacer vers la droite. Mais il devient de plus en plus lent jusqu’à ce qu’il s’arrête. Et puis il recule car il continue d’accélérer vers la gauche. Donc, il se déplace de plus en plus à gauche.
Eh bien, dans ce cas, nous calculons l’aire sous notre graphique vitesse-temps, qui sera très différent de celui que nous avons dessiné ici, et il faut se souvenir de tenir compte de la nature vectorielle du déplacement. En ce sens que toute aire au-dessus de l’axe horizontal est positive et toute aire au-dessous de l’axe horizontal est négative. Alors, cela nous donnera le déplacement de l’objet. En d’autres termes, la distance la plus courte entre son point de départ et son point d’arrivée. Et c’est cette distance ici, pas la distance totale parcourue par l’objet. Nous aurions obtenu cela si nous avions fait le calcul d’aire en ajoutant tout simplement les aires au-dessus et au-dessous de l’axe horizontal. Et c’est donc important de se rappeler de cela. C’est vrai que celui-là est un exemple plus compliqué. Donc, ne nous inquiétons pas trop de cela maintenant.
Au lieu de cela, essayons de trouver l’aire sous ce graphique, qui représente un objet pour lequel sa vitesse initiale et son accélération constante sont dans la même direction. Maintenant, il y a plusieurs façons de trouver l’aire sous notre graphique. Mais un moyen plus pratique est de le diviser en deux zones. La première zone est la zone rectangulaire sous la ligne pointillée. Et la seconde est le triangle au-dessus de la ligne pointillée. Appelons ces zones, respectivement, zone 1 et zone 2.
Maintenant, bien sûr, comme nous l’avons déjà dit, l’aire totale sous la droite représente le déplacement de l’objet 𝑠. Et donc nous pouvons dire que l’aire totale, 𝑠, est égale à l’aire 1 + l’aire 2. Commençons donc par calculer d’abord ce qu’est la zone 1.
Maintenant, l’aire 1 est un rectangle avec une largeur qui est 𝑡, car la largeur est calculée par 𝑡 moins zéro, ce qui est simplement 𝑡. Et il a une hauteur 𝑢, car encore une fois cette longueur est calculée comme 𝑢 moins zéro. Et donc nous pouvons dire que l’aire 1, qui est l’aire du rectangle, est égale à la hauteur du rectangle multipliée par la largeur du rectangle. Parce que c’est ainsi que nous trouvons l’aire d’un rectangle, la hauteur multipliée par la largeur.
Et puis nous pouvons passer au calcul de l’aire numéro 2, qui est l’aire d’un triangle. Maintenant, nous pouvons rappeler que l’aire d’un triangle est égale à la moitié de la base multipliée par sa hauteur. Où dans ce cas, la base du triangle est cette longueur ici, et la hauteur du triangle est cette longueur ici.
Maintenant, comme nous pouvons le voir sur la figure, la longueur de la base du triangle est la même que la largeur du rectangle. Et donc nous savons que la base du triangle est 𝑡. Et puis nous savons que la hauteur du triangle est cette distance ici. En d’autres termes, c’est 𝑣 moins 𝑢. Et donc, étiquetons cette hauteur 𝑣 moins 𝑢. Nous pouvons également l’étiqueter sur le côté droit pour nous faciliter la vie en termes de visualisation du triangle lui-même.
Et donc, à ce stade, nous pouvons dire que l’aire numéro 2, l’aire du triangle, est égale à la moitié de la multiplication de la base, que nous savons être 𝑡, multipliée par la hauteur, que nous venons de calculer c’est-à-dire 𝑣 moins 𝑢. Maintenant, à ce stade, regardons quelque chose. 𝑣 moins 𝑢 est simplement la variation de la vitesse de l’objet sur toute sa trajectoire, car, rappelez-vous, l’objet a commencé avec une vitesse 𝑢 et s’est terminé avec une vitesse 𝑣. On peut donc dire que la vitesse finale moins la vitesse initiale est la même chose que le changement de vitesse, que nous représenterons par Δ𝑣.
Alors maintenant, ce que nous allons faire, c’est écrire cette expression pour l’aire numéro 2 en termes d’accélération de l’objet parce que nous savons que cette accélération est constante. Et pour ce faire, nous devons rappeler que l’accélération d’un objet s’il s’agit d’une accélération constante est définie comme le changement de vitesse de l’objet divisé par le temps nécessaire pour que cette accélération se produise. Maintenant, dans ce cas, nous savons que l’objet accélère d’ici à là. Et cela prend un certain temps 𝑡 pour le faire. Et donc toutes ces quantités sont vérifiées. 𝑎 est l’accélération, Δ𝑣 est la variation de vitesse, 𝑣 moins 𝑢, et le temps mis est le temps 𝑡.
Donc, ce que nous allons faire ici, c’est réorganiser cette équation en multipliant les deux côtés par 𝑡. De cette façon, le 𝑡 du côté droit s’annule. Et ce qui nous reste est 𝑎 multiplié par 𝑡 du côté gauche et Δ𝑣 du côté droit. Cela signifie que nous pouvons prendre notre Δ𝑣, qui se trouve être 𝑣 moins 𝑢, et le remplacer par 𝑎𝑡 parce que c’est la même chose, comme nous l’avons vu dans cette équation. Et donc, nous nous retrouvons avec cette aire numéro 2, l’aire du triangle, égale la moitié multipliée par t multipliée par 𝑎𝑡. À ce stade, nous pouvons simplifier davantage car nous pouvons voir que nous avons deux puissances de 𝑡 dans cette expression. Et donc nous pouvons écrire cela comme la moitié multipliée par 𝑎 multipliée par 𝑡 au carré.
Donc, ce que nous avons fait jusqu’à présent, c’est de prendre cette expression à droite et de l’écrire en fonction de l’accélération 𝑎 et du temps pendant lequel elle accélère 𝑡. Au lieu de l’écrire en fonction de sa vitesse initiale et finale, ce qui semble un peu plus désordonné et n’est aussi pas écrit en termes d’accélération 𝑎.
Et donc, la dernière étape consiste à tout rassembler dans cette équation ici. On peut dire enfin que l’aire totale sous cette droite entre le temps zéro et le temps 𝑡 est donnée par l’équation suivante. L’aire représentant le déplacement total de l’objet est égale à l’aire numéro 1, l’aire du rectangle, qui est 𝑢𝑡, plus l’aire numéro 2, l’aire du triangle, qui est un demi 𝑡 au carré.
Et à ce stade, nous avons trouvé une équation très importante, qui se trouve être l’une des équations cinématiques. Cette équation est très utile lorsque nous avons un objet qui accélère à un rythme constant. Et nous connaissons trois des quatre quantités mentionnées dans cette équation. Eh bien, ces quantités sont le déplacement de l’objet, la vitesse initiale, le temps nécessaire à l’accélération et l’accélération elle-même. Si nous connaissons déjà ou si nous pouvons calculer trois des quatre quantités de cette équation, alors nous pouvons utiliser l’équation pour calculer la quatrième quantité.
Mais bien sûr, il est important de se rappeler que cette équation ne fonctionne que lorsque nous avons affaire à une accélération constante en ligne droite. Parce que si ce n’était pas le cas, alors notre droite ici ne serait pas une droite. Si l’accélération n’était pas constante, alors nous pourrions avoir quelque chose comme ça au lieu de la droite rose. Et dans ce cas, nos calculs d’aire ne fonctionnent plus, car dans ce cas particulier, nous n’avons pas pris en compte cette aire supplémentaire. Et le fait est que si cette droite n’était pas une droite ou si nous n’avions pas affaire à une accélération constante, nous ne pourrions pas calculer cette aire en utilisant la méthode de l’aire du rectangle plus celle du triangle. Alors, maintenant que nous avons vu tout cela, regardons un exemple de question.
Une moto a une vitesse initiale de 12 mètres par seconde. Et elle accélère pendant 15 secondes dans le sens de sa vitesse, se déplaçant de 220 mètres pendant ce temps. Quel est le taux d’accélération de la moto ? Répondez à deux décimales près.
D’accord, donc dans cette question, nous avons une moto. Alors disons que c’est notre moto. Et on nous a dit qu’elle avait une vitesse initiale de 12 mètres par seconde. Choisissons donc arbitrairement que, au départ, la moto se déplace vers la droite à 12 mètres par seconde. Maintenant, disons aussi que sa vitesse initiale, pour plus de simplicité, est 𝑢. Et écrivons à gauche que 𝑢 est égal à 12 mètres par seconde. Ensuite, on nous a dit que la moto accélère dans le sens de sa vitesse. En d’autres termes, l’accélération est dans la même direction que 𝑢. Alors disons que l’accélération de la moto est 𝑎. Maintenant, c’est ce que nous essayons de calculer ici.
De plus, on nous a également dit que la moto accélère pendant 15 secondes. Alors disons que la moto est ici au début de son mouvement. Et puis ça finit ici. Et le temps mis pour que la moto s’y rende nous l’appellerons t. Nous savons également que 𝑡 est égal à 15 secondes. Et en plus de cela, on nous a dit la distance parcourue par la moto.
Maintenant, cette distance est la distance entre le moment où elle commence à accélérer et celui où elle finit d’accélérer . Nous appellerons cette distance 𝑠. Et nous savons que la distance 𝑠 est de 220 mètres. On nous a dit cela également dans la question. Et donc, à ce stade, nous connaissons la valeur de 𝑢, 𝑡 et 𝑠. Et nous devons savoir ce qu’est 𝑎, l’accélération de la moto.
Pour calculer cela, nous devons rappeler l’une des équations cinématiques. Plus précisément, l’équation que nous recherchons est celle-ci. L’équation nous dit que lorsqu’un objet se déplace en ligne droite avec une accélération constante, alors le déplacement de l’objet ou la distance la plus courte, la distance en ligne droite, entre ses points de départ et d’arrivée, qui dans ce cas est la distance que l’on nous a donnée. Donc, l’équation nous dit que cette distance est égale à la vitesse initiale multipliée par le temps pendant lequel l’objet accélère. Plus la moitié multipliée par l’accélération de l’objet multipliée par le temps pendant lequel il accélère au carré.
Et donc nous allons utiliser cette équation. Et nous allons la réorganiser pour trouver l’accélération 𝑎. Pour ce faire, nous allons d’abord soustraire 𝑢𝑡 des deux côtés de l’équation, car de cette façon, sur la droite, les 𝑢𝑡 s’annulent. Et donc nous nous retrouvons avec 𝑠 moins 𝑢𝑡 égal à la moitié 𝑎𝑡 au carré. Et puis nous allons multiplier les deux côtés de l’équation par deux, car de cette façon, à droite, le facteur demi s’annule avec les deux. Et donc nous nous retrouvons avec deux multiplié par 𝑠 moins 𝑢𝑡 qui est égal à 𝑎𝑡 au carré. Ensuite, nous divisons les deux côtés de l’équation par 𝑡 au carré de sorte que, sur le côté droit, cela s’annule. Et donc nous nous retrouvons enfin avec deux multiplié par 𝑠 moins 𝑢𝑡 divisé par 𝑡 au carré qui est égal à l’accélération 𝑎.
Maintenant, avant de commencer à ajouter des valeurs à cette équation, nous pouvons voir très rapidement que les quantités que nous avons écrites ici sont toutes dans leurs unités de base. Mètres par seconde pour la vitesse, secondes pour le temps et mètres pour le déplacement. Cela signifie que lorsque nous introduirons nos valeurs dans notre équation, notre réponse finale sera dans sa propre unité de base. Et l’unité de base de l’accélération est le mètre par seconde au carré. Donc, à ce stade, nous pouvons entrer nos nombres sans avoir à nous soucier des unités.
Lorsque nous ajoutons des indices à nos nombres, nous obtenons deux multipliés par 𝑠 moins 𝑢𝑡 divisé par 𝑡 au carré. Et lorsque nous évaluons la fraction, nous constatons que l’accélération, 𝑎, est égale à 0,35555 mètre récurrent par seconde au carré. Et lorsque nous arrondissons notre réponse à deux décimales, comme on nous a demandé de le faire dans la question, nous pouvons dire que l’accélération de la moto est de 0,36 mètre par seconde au carré.
Alors, maintenant que nous avons examiné un exemple de question, résumons ce dont nous avons parlé dans cette leçon. Nous avons vu d’abord que si un objet accélère à une vitesse constante et se déplace en ligne droite, alors nous pouvons décrire son mouvement avec une équation cinématique. 𝑠 est égal à 𝑢𝑡 plus la moitié 𝑎𝑡 au carré. Si nous oublions cette équation, alors nous pouvons la calculer en traçant un graphique de la vitesse en fonction du temps et en voyant que l’aire sous le graphique, qui représente le déplacement de l’objet, est égale à 𝑢𝑡 plus la moitié 𝑎𝑡 au carré.
Et enfin, il faut noter qu’il est important d’étiqueter toutes les directions, que ce soit la direction de la vitesse initiale, le déplacement, la vitesse finale ou l’accélération. Tout ce qui pointe dans la même direction doit avoir le même signe. Ainsi, par exemple, nous pourrions décider que tout ce qui pointe vers la droite est positif. Et par conséquent, tout ce qui pointe vers la gauche est négatif. Mais une fois que nous prenons cette décision, nous devons nous y tenir. Et voici donc un aperçu de la façon dont nous pouvons analyser l’accélération sur la distance et le temps.
