Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer l’accélération en utilisant la vitesse initiale d’un objet, son déplacement et son temps d’accélération en utilisant la formule .
Imaginons un objet se déplaçant en ligne droite avec une vitesse . Supposons que cet objet accélère de façon constante de sorte qu’après un certain temps , il se déplace avec une nouvelle vitesse .
Si on choisit de prendre l’instant initial comme étant égal à 0, nous pouvons alors tracer les points correspondant à cet objet sur le graphique représentant la vitesse en fonction du temps de la façon suivante.
Nous pouvons voir qu’en fonction du temps, la vitesse de notre objet augmente. On nous dit que cette augmentation est constante. Par conséquent, l’objet accélère de façon constante, et comme l’accélération est généralement égale la une variation de la vitesse divisée par la variation de temps correspondante, nous pouvons écrire
Graphiquement, l’accélération est égale à la pente de la droite reliant les points et .
À partir de ce graphique, nous pouvons calculer le déplacement total de l’objet au cours de son accélération. Ce déplacement est égal à l’aire sous la courbe.
En utilisant les informations données dans l’énoncé, nous pouvons calculer le déplacement de l’objet sur cet intervalle de temps. Pour pouvoir calculer l’aire contenue sous la courbe, nous pouvons la découper en une partie rectangulaire et une partie triangulaire comme suit.
On définit la variable comme étant le déplacement, nous pouvons alors écrire
Puisque l’ est un triangle, elle sera égale à la moitié de la longueur de la base du triangle multipliée par sa hauteur. La base du triangle est le temps , et sa hauteur est la vitesse :
L’ est un rectangle et est égale à la base du rectangle multipliée par sa hauteur :
Ainsi,
Rappelons que et nous pouvons multiplier les deux côtés de cette équation par t pour avoir
Par conséquent, nous pouvons remplacer dans notre équation du déplacement par de la façon suivante :
En réorganisant les termes, nous obtenons le résultat suivant.
Formule : Le déplacement en fonction de la vitesse initiale, du temps écoulé et de l’accélération constante
Soit
Ce résultat est une équation du mouvement donnant le déplacement d’un objet en accélération uniforme en fonction de sa vitesse initiale , de son accélération et de la durée de son accélération .
Notez qu’il s’agit d’une équation vectorielle. Cela signifie que les directions du déplacement, du vecteur-vitesse initial et de l’accélération doivent être prises en compte.
Cette formule s’applique même lorsque la vitesse initiale vaut zéro. Dans ce cas, le graphique de la vitesse en fonction du temps est comme indiqué ci-dessous et l’expression du déplacement se simplifie en
Utilisons l’équation générale du mouvement à travers plusieurs exemples.
Exemple 1: Analyse d’un graphique de la vitesse en fonction du temps
Le graphique ci-dessous illustre la variation de la vitesse d’un objet en fonction du temps.
- Quelle est la vitesse de l’objet en ?
- Quelle est la durée de l’accélération de l’objet ?
- Quelle est la vitesse de l’objet après son accélération ?
- Quelle est l’accélération de l’objet ?
- Quel est le déplacement de l’objet ?
Réponse
Partie 1
Le long de l’axe des abscisses représentant le temps, la droite intercepte l’axe des ordonnées (vitesse) en correspondance de . La vitesse à cet instant est indiquée comme étant de 20 m/s.
Partie 2
Nous savons que la durée de l’accélération est égale à la durée pendant laquelle la vitesse de l’objet change. Le graphique indique que la vitesse change entre 0 et 15 secondes, ainsi nous déduisons que l’objet est en accélération pendant 15 secondes.
Partie 3
Après 15 secondes, la nouvelle vitesse de l’objet est indiquée par la valeur correspondante sur l’axe vertical. Cette valeur est de 50 m/s.
Partie 4
Pour trouver l’accélération de l’objet, rappelons qu’en général, où est un changement de vitesse et est la variation de temps correspondante.
Pour l’objet en question, et
Par conséquent, l’accélération vaut
Partie 5
Nous pouvons calculer le déplacement d’un objet de deux manières différentes.
D’une part, nous pouvons utiliser une méthode algébrique. D’après l’équation du mouvement où est le déplacement de l’objet, est sa vitesse initiale, est son accélération, et est la durée de l’accélération, nous pouvons remplacer les valeurs connues de , , et comme suit :
Une autre façon de calculer ce déplacement est de le déterminer graphiquement. Le déplacement de notre objet est égal à l’aire sous la courbe sur le graphique.
Sur ce graphique, nous pouvons découper l’aire sous la courbe en une zone triangulaire et une zone rectangulaire . L’aire totale (et donc le déplacement de notre objet) correspond à la somme de et de :
Puisque est un triangle, son aire est égale à la moitié de la base du triangle multipliée par sa hauteur. Sur le graphique ci-dessus, on voit que la base correspond à une durée de 15 s et la hauteur correspond à une vitesse de , ou 30 m/s.
Par conséquent,
Puisque est un rectangle, son aire est égale à sa base (également 15 s) multipliée par sa hauteur de 20 m/s :
Par conséquent,
Le déplacement de l’objet sur cet intervalle de temps est de 525 m.
Nous pouvons aussi étudier l’accélération sur une distance pour laquelle la vitesse initiale et la vitesse finale d’un objet sont connues, ainsi que la durée pendant laquelle l’objet accélère.
Voyons un exemple utilisant cette méthode.
Exemple 2: Calculer le déplacement d’un objet qui accélère dans la direction de sa vitesse initiale
Un objet a une vitesse initiale de 12 m/s. L’objet accélère de 2,5 m/s2 dans la même direction que sa vitesse pendant une durée de 1,5 s. Quel est le déplacement de l’objet sur cette durée ? Donnez la réponse arrondie à une décimale près.
Réponse
Étant donné que cet objet accélère avec une accélération constante, nous pouvons décrire son mouvement en utilisant les équations du mouvement. Plus précisément, nous pouvons utiliser la relation où est le déplacement de l’objet, est sa vitesse initiale, est son accélération, et est la durée de son accélération. Notez que le déplacement, le vecteur-vitesse et l’accélération sont des vecteurs, ce qui indique que la direction relative de ces grandeurs est importante.
L’énoncé du problème nous indique que, ici, toutes ces grandeurs vectorielles ont la même direction. En modélisant l’objet comme étant un point, nous pouvons attribuer des valeurs positives à ces vecteurs pour qu’ils pointent vers la droite.
Notez que les longueurs relatives des trois flèches ne peuvent pas être directement comparées car elles représentent des grandeurs physiques différentes.
Le diagramme ci-dessus montre que le déplacement de l’objet est dans la même direction que son accélération et son vecteur-vitesse initial. Comme ces valeurs sont positives, le déplacement sera également positif.
Sachant que , , et ,
En arrondissant ce résultat à une décimale près, le déplacement de l’objet est donc de 20,8 m.
Exemple 3: Calculer la distance parcourue par une voiture ayant une décélération uniforme
Une voiture se déplaçant vers l’est passe par le point qui se trouve à 45 m à l’est d’un carrefour. Lorsque la voiture passe par le point , sa vitesse est de 30 m/s et le conducteur commence à freiner, engendrant ainsi une accélération dirigée vers l’ouest de 2,5 m/s2. À quelle distance à l’est du carrefour se trouve la voiture 10 s après que le conducteur commence à freiner ?
Réponse
Un schéma représentant la voiture lorsqu’elle passe au point est illustré ci-dessous.
À l’instant représenté ci-dessus, le conducteur appuie sur les freins, conférant à la voiture une décélération constante de 2,5 m/s2 orientée vers l’ouest, ce qui a pour effet de ralentir la voiture. Après avoir décéléré pendant 10 s, on souhaite connaître la distance totale parcourue par la voiture vers l’est du carrefour.
Étant donné que la décélération de la voiture est constante dans le temps, nous pouvons décrire le mouvement de la voiture à partir du point en utilisant l’équation du mouvement où est le déplacement de la voiture depuis le point , est sa vitesse initiale, est son accélération, et est le temps écoulé.
Cette équation implique des grandeurs vectorielles, il sera donc utile de définir une direction positive et une direction négative dans ce cas. Nous pouvons choisir de fixer la direction vers l’est comme étant positive, ce qui signifie que tout vecteur pointant vers l’ouest sera considéré comme négatif. Par conséquent, la vitesse initiale de la voiture est positive, tandis que son accélération est négative.
Si on calcule le déplacement de la voiture à partir du point selon l’équation du mouvement ci-dessus, nous avons
Ici, il faut rappeler que la voiture se trouvait initialement à 45 m à l’est du carrefour. Par conséquent, la distance totale parcourue par la voiture vers l’est du carrefour après avoir passé le point est de
Étudions maintenant un cas où un objet en mouvement accélère dans la direction opposée à son mouvement initial, et en terminant avec un vecteur-vitesse final et un déplacement étant également opposés à la direction de son vecteur-vitesse initial.
Exemple 4: Calcul du déplacement d’un objet dans la direction de sa vitesse initiale
Un objet a une vitesse initiale de 32 m/s. L’objet accélère à 12 m/s2 dans la direction opposée de son vecteur-vitesse pendant une durée de 5,5 s. Quel est le déplacement net de l’objet dans la direction de son vecteur-vitesse initial sur cette durée ?
Réponse
Cet exemple impliquant des grandeurs vectorielles, il est important de bien faire attention aux signes positifs et négatifs. Nous pouvons choisir arbitrairement que le vecteur-vitesse initial de l’objet pointe vers la droite, ce qui signifie que son accélération pointe vers la gauche, comme suit.
Sur cette figure, nous ne pouvons pas comparer les longueurs relatives des flèches car elles correspondent à des grandeurs physiques différentes. Nous savons cependant que le déplacement net de l’objet sera positif s’il pointe vers la droite par rapport au point de départ et négatif s’il pointe vers la gauche.
Étant donné que notre objet accélère à un rythme constant, nous pouvons utiliser l’équation du mouvement suivante pour décrire son mouvement : où est le déplacement de l’objet, est sa vitesse initiale, est son accélération, et est le temps pendant lequel l’objet accélère.
Nous avons défini la vitesse initiale comme étant positive , donc l’accélération doit être négative (). En utilisant ces valeurs dans notre équation, ainsi que le temps nous obtenons
Le déplacement net de l’objet dans la direction de son vecteur-vitesse initial est de , ce qui indique que la flèche correspondant au déplacement net sur la figure ci-dessus doit pointer vers la gauche.
Pour finir, étudions un exemple où on cherche la vitesse de l’objet.
Exemple 5: Calcul du vecteur-vitesse initial dans la direction de l’accélération
Une voiture roulant initialement à une vitesse constante a un déplacement net de 45 m après avoir accéléré en ligne droite à 1,5 m/s2 pendant 15 secondes. Quelle était le vecteur-vitesse initial de la voiture dans la direction de son accélération ?
Réponse
Étant donné que le déplacement, l’accélération et le vecteur-vitesse sont toutes des grandeurs vectorielles, il faut faire attention aux directions relatives dans lesquelles elles agissent.
Notons que le déplacement donné (45 m) et l’accélération (1,5 m/s2) sont tous deux positifs, ce qui signifie que ces vecteurs pointent dans la même direction. Nous devons trouver le vecteur-vitesse initial de la voiture sachant que le mouvement selon la direction de l’accélération de la voiture est positif.
Puisque la voiture accélère à un rythme constant pendant 15 s, nous pouvons utiliser l’équation du mouvement suivante pour décrire son mouvement : où est le déplacement de la voiture, est sa vitesse initiale, est son accélération, et est la durée de l’accélération.
En réorganisant cette équation nous pouvons calculer la vitesse initiale . On soustrait des deux côtés pour avoir
En divisant les deux côtés de l’équation par nous avons tel que
En remplaçant les valeurs connues (45 m), (1,5 m/s2), et (15 s), nous avons
Le fait que est négative signifie que le vecteur-vitesse est orienté dans la direction opposée à l’accélération de la voiture. Par rapport à la direction positive, la vitesse initiale de la voiture est de .
Points clés
- L’équation du mouvement peut être dérivée algébriquement ou à partir du graphique du mouvement d’un objet ayant une accélération constante.
- Les grandeurs (déplacement), (norme du vecteur-vitesse initial), et (accélération) dans cette équation font toutes référence à des vecteurs et peuvent donc être positives ou négatives.
- Cette équation peut être écrite algébriquement de sorte à isoler la variable souhaitée (, , , ou )
