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Laquelle des formules suivantes relie correctement l’angle 𝜃 selon lequel une lumière de longueur d’onde 𝜆 émerge d’une paire de fentes étroites séparées par une distance 𝑑 à l’ordre 𝑛 d’une frange lumineuse d’un motif d’interférence produit par la lumière sur un écran ? Est-ce (A) 𝑑 égal 𝑛𝜆 sin 𝜃, (B) 𝑑𝜆 égal 𝑛 sin 𝜃, (C) 𝑑 sin 𝜃 égal 𝑛 sur 𝜆, (D) sin 𝜃 égal 𝑑𝑛𝜆, ou (E) sin 𝜃 égal 𝑛𝜆 sur 𝑑 ?
Toutes ces réponses contiennent les variables 𝑑, 𝜃, 𝜆 et 𝑛. Afin de relier toutes ces variables ensemble, nous allons utiliser la trigonométrie. Mais avant de faire cela, nous allons simplement nous assurer de savoir vraiment à quoi correspondent nos variables. 𝜆 est la longueur d’onde de la lumière avant et après son passage à travers les fentes ; cela ne varie à aucun moment dans notre problème. De même, 𝑑 est la distance entre les deux fentes de l’écran et ne changera pas non plus tout au long du problème. 𝜃 est l’angle que forment les ondes lumineuses lorsqu’elles sortent des fentes avec des droites normales soit à 90 degrés avec l’écran où il y a les fentes. Cet angle variera en fonction de la frange lumineuse vers laquelle convergeront ces deux ondes lumineuses.
Et oui, même si ces deux ondes lumineuses convergent, nous disons toujours qu’elles ont le même angle malgré le fait qu’elles ne sont pas réellement parallèles. Et la raison pour laquelle nous faisons cela est que la valeur de 𝜃 en haut est si proche de la valeur de 𝜃 en bas que nous pouvons les traiter comme fondamentalement les mêmes. Ils ne diffèrent que par quelques minuscules fractions de degré. Donc, c’est bon. Maintenant, lorsque ces ondes lumineuses convergent et commencent à former ces franges lumineuses, c’est là que nous voyons la variable 𝑛. Et c’est parce que ces franges lumineuses ne se produisent qu’à des points très spécifiques, où des interférences constructives se produisent.
Une interférence constructive est un phénomène dans lequel deux ondes qui sont en phase l’une avec l’autre sont incidentes au même point. « En phase » signifie que ces deux ondes, si nous les empilions les unes sur les autres, sembleraient identiques au même instant. Un moyen facile de vérifier cela est de voir si les pics et les creux des ondes correspondent aux mêmes instants. S’ils le font, les ondes sont en phase, ce qui les amène à se combiner au point où elles convergent, ce qui dans le cas des ondes lumineuses crée une zone lumineuse plus intense, une frange lumineuse.
Mais pour créer cette interférence constructive, ces ondes lumineuses ne doivent pas nécessairement s’aligner parfaitement. Il peut y avoir un écart et pourtant elles peuvent toujours interférer de manière constructive en certains points. Cette longueur de écart peut varier, mais pour qu’il y ait une interférence constructive, elle doit être un multiple entier exact de 𝜆, que nous représentons comme 𝑛𝜆, où 𝑛 est un entier.
Parce que cette interférence se produit uniquement à des longueurs d’écart ou des différences de longueur de trajet très spécifiques, cela signifie que nous pouvons représenter chacune de ces franges lumineuses sur l’écran ici comme ayant une valeur distincte de 𝑛. Ainsi, cette frange au centre avec un 𝑛 de zéro ne présente aucune différence de longueur de trajet. Celle-ci a une différence de longueur de chemin de un 𝜆, donc juste 𝜆. Celle-ci est deux 𝜆, et ainsi de suite. Donc, il y a une interférence constructive chaque fois que les différences de longueur de trajet entre ces deux ondes lumineuses sont 𝑛𝜆, que nous pouvons représenter avec notre schéma à gauche comme ceci.
Dans le cas où ces ondes lumineuses sont inclinées vers le haut, celle du bas sera plus longue. Et si nous traçons une ligne allant du haut de la fente jusqu’à la fin de la différence de longueur de trajet de telle sorte qu’elle forme un angle de 90 degrés, alors nous avons réussi à former un triangle qui relie 𝑑 et la différence de longueur de trajet 𝑛𝜆. Maintenant, tout ce dont nous avons besoin est d’avoir l’angle 𝜃 quelque part dans ce triangle afin que nous puissions relier ces quatre variables. Et il s’avère que c’est le cas.
Pour voir comment, disons que cet angle ici est 𝜃 un. Si nous regardons ce grand triangle ici, qui forme un angle de 90 degrés entre l’écran et une droite normale à l’écran, nous aurons alors un triangle qui ressemble à ceci. Son autre angle, qui est cet angle ici, nous l’appellerons 𝜃 deux. Donc, ce triangle a trois angles, 𝜃 un, 𝜃 deux, et un angle de 90 degrés.
Maintenant, il y a en fait aussi un petit triangle juste à côté de ce triangle. Et nous voyons qu’il a un angle ici de 𝜃, un angle droit ici, et cet angle ici est le même angle qu’il partage avec le grand triangle, 𝜃 deux. Ainsi, les angles du petit triangle sont 𝜃, 𝜃 deux et 90 degrés. Nous voyons que ces deux triangles partagent les angles 𝜃 deux et de 90 degrés. Cela signifie que puisque tous les triangles ont le même nombre de degrés, 180, les troisièmes angles doivent également être partagés, ce qui signifie que 𝜃 un et 𝜃 sont en fait le même angle, ce qui signifie que cet angle est en fait juste 𝜃, ce qui signifie que nous avons maintenant un triangle qui relie les quatre variables de 𝑑, 𝜃 et 𝑛𝜆. Le triangle qui contient ces variables est un triangle rectangle.
Si nous devions prendre le sinus de cet angle 𝜃, alors nous savons qu’il serait égal à la longueur du côté opposé, 𝑛𝜆, sur la longueur de l’hypoténuse 𝑑. La substitution dans ces valeurs nous donne l’équation sin 𝜃 égale 𝑛𝜆 sur 𝑑. Ainsi, la formule qui relie correctement l’angle 𝜃, la longueur d’onde 𝜆, la distance de fente 𝑑 et l’ordre 𝑛 d’une frange lumineuse d’un motif d’interférence produit par la lumière sur un écran est (E) sin 𝜃 égale 𝑛𝜆 sur 𝑑.
