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Vidéo de la leçon : Interférence à deux fentes Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer les positions des points ayant une intensité maximale et minimale dans les figures d’interférence créés par des doubles fentes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons parler des interférences crées par des doubles fentes. Nous allons voir comment la lumière peut interférer avec elle-même lorsqu’elle passe à travers deux ouvertures de même dimension. Nous allons apprendre à décrire cette interférence de manière mathématique et aussi expliquer pourquoi le motif créé par cette lumière ressemble à une alternance de points lumineux et de points sombres. Tout au long de cette vidéo, nous allons travailler avec le même montage. Sur la gauche, nous avons un plan opaque percé de deux trous identiques. Ce sont les deux fentes ou les deux ouvertures. Et puis ici, sur la droite, nous avons un écran. Toute lumière passant à travers les deux fentes est projetée sur cet écran

En parlant de lumière, dans notre montage, nous allons utiliser des ondes lumineuses cohérentes, c’est-à-dire des ondes ayant toutes la même longueur d’onde et la même différence de phase, qui vont se déplacer de gauche à droite et arriver sur la plan opaque et les deux fentes. Alors, si nous essayons de deviner à quoi pourrait ressembler le motif créé par cette lumière sur l’écran, nous pouvons imaginer deux points lumineux sur l’écran, alignés avec les fentes. Mais il se trouve que les motifs observés sont très différents de cela.

En fait, ce qui observé lorsqu’une lumière cohérente passe à travers deux fentes parallèles, c’est un motif avec une alternance de points lumineux comme ici et de points sombres, qui sont les espaces entre les points lumineux. Ce motif peut sembler très déroutant, jusqu’à ce qu’on se souvienne que la lumière est une onde. Cela a deux conséquences importantes ici.

Premièrement, comme la lumière est une onde, plutôt que de passer directement à travers ces ouvertures comme cela, le faisceau va s’élargir à partir de chaque ouverture comme cela. Ce phénomène s’appelle la diffraction. Et lorsque ces deux faisceaux se rencontrent, c’est cette zone mise en évidence ici, les ondes lumineuses vont interférer les unes avec les autres. Et ces interférences vont se produire selon ce qu’on appelle le principe de superposition.

Selon le principe de superposition, lorsque des ondes quelles qu’elles soient sont superposées, leurs amplitudes s’additionnent. Disons, par exemple, que nous avons deux ondes comme celles-ci et qu’elles se superposent. Le principe de superposition nous dit que lorsque ces ondes sont superposées, c’est-à-dire lorsqu’elles interfèrent, l’onde résultante ressemble à cette onde en rose. L’amplitude de l’onde résultante reflète le fait que les crêtes des deux ondes initiales sont alignées et pareillement pour les creux, c’est-à-dire les points où l’amplitude est la plus faible.

On dit que des ondes comme celle-ci sont en phase l’une avec l’autre. Et par conséquent, l’interférence produite est une interférence constructive. Mais que se passe-t-il si les ondes ne sont pas en phase ? Si par exemple, la crête de l’une des ondes initiales est alignée avec le creux de l’autre et, de même, le creux de la première onde est aligné avec la crête de l’autre ?

Le principe de superposition s’applique toujours de la même manière. Mais cette fois-ci, l’onde résultante ressemble à ceci. L’amplitude est nulle. On dit que cette interférence est destructive. Et cela se produit lorsque deux ondes qui se superposent ont une différence de phase d’un demi-cycle.

Alors, c’est exactement ce genre d’interférences, constructives et destructives qui se produit dans cette zone. Et c’est ce qui est à l’origine de ce motif de points brillants et sombres alternés. Les points lumineux sur l’écran correspondent à des interférences constructives, alors que les points sombres correspondent à des interférences destructives.

Voyons comment cela peut se passer en considérant deux ondes particulières sortant des deux ouvertures. Ici, nous avons zoomé un peu sur notre plan percé de deux fentes, de sorte que les deux ouvertures soient maintenant un peu plus éloignées. Et nous allons observer un point particulier de l’écran ici, au milieu de l’écran. Alors, comme les ondes lumineuses vont être diffractées après avoir traversé les fentes, nous savons que des rayons lumineux issus des deux fentes vont atteindre l’écran en ce point. Et les deux ondes en question peuvent ressembler à ceci. Notons que lorsque ces deux ondes atteignent l’écran, elles en sont au même point dans leurs cycles. Cela signifie que les ondes sont en phase et qu’elles vont donc interférer de manière constructive. Cela nous indique que ce point de l’écran sera un point lumineux. L’intensité de la lumière est particulièrement forte à cause de ces interférences constructives.

Mais maintenant, choisissons un autre point sur l’écran, disons celui-ci. De même, comme les ondes lumineuses vont être diffractées après le passage par les fentes, nous savons que des rayons lumineux issus des deux fentes vont atteindre ce point ici. Et cela peut ressembler à ça. Et si nous regardons ces deux ondes de plus près, nous pouvons voir qu’elles atteignent l’écran, avec un déphasage d’un demi-cycle. C’est-à-dire que l’onde issue de la fente supérieure a dépassé son minimum ici et se rapproche de son maximum, alors que l’onde issue de la fente inférieure a dépassé son maximum ici et se dirige vers un minimum, un creux.

Alors lorsque ces ondes se rencontrent, elles interfèrent de manière destructive, ce qui signifie qu’il y aura un point sombre à cet endroit de l’écran. Donc, ici, sur l’écran, nous avons un point brillant, alors qu’ici nous avons un point sombre. Nous pourrions nous interroger sur la raison de cette différence. C’est vrai que dans le cas du point sombre, nous avons des interférences destructives, alors que le point brillant correspond à des interférences constructives. Mais la vraie raison de la différence entre ces types d’interférence est liée à la différence de la longueur du chemin parcouru par les deux rayons lumineux.

À ce stade, il est important de noter que même si nous avons dessiné les ondes de cette manière pour représenter la lumière issue des deux ouvertures, les rayons lumineux ne suivent pas ce chemin ondulé. Ces ondes sont en fait associées à un champ électromagnétique oscillant. Si nous devions localiser les rayons lumineux entre les deux fentes d’où ils proviennent et l’écran sur lequel ils sont projetés, ils se trouveraient le long de lignes droites comme celles-ci. Les rayons lumineux suivent ce chemin depuis les fentes jusqu’à l’écran et nous pouvons appeler leurs distances respectivement 𝑑 un et 𝑑 deux.

Et donc, lorsque nous parlons de la différence de chemin entre ces rayons lumineux, nous parlons vraiment de la valeur de la différence entre ces deux distances. Nous pourrions appeler cette différence Δ𝑑. Et c’est la différence de longueur de chemin entre deux rayons lumineux. Pour déterminer cette valeur, considérons les rayons lumineux issus de deux fentes.

Dessinons un point situé au centre de la fente supérieure comme ceci. Et puis à partir de ce point, nous traçons une droite qui coupe 𝑑 deux avec un angle de 90 degrés. Maintenant, faisons la chose suivante. Disons que la distance entre les centres des deux fentes est 𝑑. Et disons également que l’angle entre cette droite en pointillé que nous avons dessinée et le plan s’appelle 𝜃.

Si nous regardons attentivement, nous pouvons voir que nous avons maintenant un triangle rectangle dont l’hypoténuse est la distance 𝑑. De plus, nous pouvons dire que le côté inférieur du triangle est égal à Δ𝑑, la différence de chemins entre les deux rayons. Mais alors, en regardant ce triangle rectangle, nous pouvons voir que Δ𝑑 est égal à l’hypoténuse 𝑑 multipliée par le sinus de cet angle que nous avons appelé 𝜃.

Mais en disant que la différence de chemins entre les deux rayons vaut 𝑑 sin 𝜃, nous faisons une approximation. Nous supposons que les deux rayons, représentés par les distances 𝑑 un et 𝑑 deux, sont parallèles. En regardant le schéma, nous pouvons voir tout de suite que techniquement ce n’est pas vrai. A l’origine, ces rayons sont séparés d’une distance 𝑑 sur le plan. Mais ils se croisent au même point sur l’écran.

Mais cette approximation n’est pas aussi mauvaise qu’il n’y paraît. En effet, dans un montage classique d’interférence à deux fentes, l’écran est en fait beaucoup, beaucoup plus éloigné des deux fentes que ce que nous avons ici. Si tel était le cas, si l’écran était beaucoup plus éloigné, les deux rayons ne seraient toujours pas tout à fait parallèles. Mais ils s’en rapprocheraient beaucoup plus que ce que nous avons représenté ici.

Sachant cela, supposons que nos deux rayons soient vraiment parallèles. Dans ce cas, cela signifie que cet angle que nous avons appelé 𝜃 apparaît ailleurs sur le schéma. Si nous traçons des lignes horizontales en pointillés à partir du centre de chacune des fentes, alors comme les deux rayons lumineux sont parallèles, les angles entre ces droites horizontales et les deux rayons sont identiques. Et ils valent tous les deux 𝜃. C’est une déduction géométrique dû au fait que si les deux rayons sont vraiment parallèles, cet angle ici vaut 90 degrés et celui-là aussi.

Alors, jusqu’à présent, nous avons vu que la différence de chemin entre les deux rayons, en supposant qu’ils soient parallèles, vaut 𝑑 fois le sinus de 𝜃, où 𝑑 est la distance entre les deux fentes 𝜃 est l’angle que nous avons défini ici. Nous pouvons voir que, quelle que soit la direction des rayons lumineux, 𝑑 ne change pas, par contre l’angle 𝜃 varie selon cette direction. La différence de chemins varie donc selon la direction du rayon. Ce sont ces variations qui sont à l’origine de l’observation de points lumineux sur l’écran, ou bien de points sombres dans le cas d’interférences destructives.

Regardons maintenant quelles seraient les conditions nécessaires pour l’apparition d’un point brillant ou sombre. Rappelons-nous, comme nous l’avons dit plus tôt, que si deux ondes sont en phase l’une avec l’autre, alors elles vont interférer de manière constructive. Alors, disons que nous avons deux ondes et que les deux ont la même longueur d’onde ; nous l’appellerons 𝜆. Alors, si nous avons deux ondes que nous pensons être en phase, leur déphasage peut valoir zéro fois 𝜆. Autrement dit, il n’y a aucun décalage entre les deux ondes. Ce déphasage pourrait valoir une fois 𝜆. Comme les ondes se déplacent de manière cyclique, cela revient à ne pas avoir de décalage. Ou les deux ondes pourraient avoir une différence de phase valant deux 𝜆 ou trois 𝜆 et ainsi de suite. En fait, pour tout multiple entier de la longueur d’onde 𝜆, les deux ondes que nous voulons superposer seront en phase. Et si elles sont en phase, cela signifie qu’elles vont interférer de manière constructive. Et nous aurons donc un point lumineux à cet endroit sur l’écran.

Alors, voilà ce que nous sommes en train d’établir. Pour qu’un point lumineux apparaisse sur l’écran, autrement dit, pour qu’une interférence constructive se produise entre les deux ondes, la différence de chemin entre ces deux ondes, 𝑑 fois le sinus de 𝜃, doit être égale à un certain nombre entier – que nous appellerons 𝑛 - fois la longueur d’onde des ondes lumineuses.

Il est utile de rappeler ici que les deux ondes ont exactement la même longueur d’onde, parce qu’elles sont issues de la même source de lumière. Cela signifie que, quelle que soit la longueur d’onde que les ondes lumineuses ont ici, avant d’atteindre les deux fentes, elles vont la conserver après le passage par les fentes, et sur l’écran. Donc, cette relation nous dit ici que nous aurons un point brillant sur l’écran à chaque fois que 𝑛 est égal à, disons, zéro ou plus ou moins un ou plus ou moins deux et ainsi de suite, pour toute valeur entière. Et remarquons que lorsque 𝑛 est égal à zéro, cela signifie que la différence de chemin entre les deux rayons est nulle. Et c’est ce qui va créer ce point lumineux ici au centre de l’écran.

Nous avons donc établi la condition permettant de créer des points lumineux, mais qu’en est-il des points sombres ? Autrement dit, quelle différence de chemin va créer des interférences destructives entre les rayons ? Pour cela, regardons de nouveau ici nos deux rayons qui interfèrent de manière destructive. Nous avons vu que cette interférence est destructive parce que les deux ondes sont déphasées d’un demi-cycle. Nous pouvons représenter cela de cette manière. Nous pouvons dire que la différence de chemins entre les ondes vaut un demi 𝜆.

Mais nous pouvons également avoir le même résultat avec d’autres conditions. Par exemple, si les ondes sont déphasées de trois demis longueurs d’onde, ou de cinq demis, ou de sept demis, et ainsi de suite, pour que les interférences soient destructives, la différence de chemin entre les deux rayons doit être un entier plus un demi, fois la longueur d’onde. Nous pouvons voir dans cette équation que si 𝑛 est nul, alors 𝜆 est réduite de moitié. Les deux ondes sont alors de nouveau déphasées d’un demi-cycle. Ou si 𝑛 vaut un, alors nous avons trois demis dans la parenthèse, ce qui donne de nouveau une différence d’un demi-cycle.

En fait, pour obtenir cette relation pour les interférences destructives, nous avons pris la relation pour les interférences constructives et nous avons ajouté un terme pour que les deux ondes soient maintenant déphasées d’un demi-cycle. C’est ce qui fait la différence entre une interférence constructive, qui crée des points lumineux, et une interférence destructive, qui crée des points sombres.

Alors, nous avons établi ces deux formules avec l’approximation que nous avons faite plus tôt, que les deux rayons lumineux sont parallèles. En réalité, ce n’est pas le cas. Mais les rayons sont en général quasiment parallèles et ces équations sont malgré tout bien utiles pour prédire l’apparition de points brillants et sombres. Jusqu’à présent, nous avons repéré l’emplacement de ces points en utilisant cet angle 𝜃. Mais que se passe-t-il si, à la place, nous voulons repérer les points lumineux sur l’écran selon la distance depuis le point central ?

Pour voir comment nous pouvons faire cela, imaginons un zoom arrière par rapport à la vue actuelle. Dans ce cas-là nous avons le plan opaque, toujours percé par deux fentes. Et cette fois, elles semblent être beaucoup plus proches qu’avant. Et comme avant, nous avons l’écran sur la droite. Maintenant, disons que la distance entre l’écran et le plan est grand 𝐿 et disons également que nous avons repéré les emplacements d’une série de points lumineux sur l’écran. Autrement dit, ce sont les endroits où se produisent des interférences constructives.

En se basant sur ce que nous avons vu jusqu’à présent, il est possible d’établir une relation permettant de déterminer la distance entre ces points lumineux, d’intensité maximale et le point central sur l’écran, que ce soit la distance au-dessus ou en-dessous selon les cas. Pour voir comment faire cela, considérons ce point brillant ici. Même si nous pouvons voir que ce point lumineux est le premier, deuxième, troisième point lumineux au-dessus du point central, nous allons lui donner un nom général Nous allons simplement l’appeler le n-ième point lumineux, ce qui signifie que nous pouvons appeler la distance verticale du point central de l’écran à cet endroit 𝑦 indice 𝑛.

Ce que nous cherchons à déterminer est donc cette hauteur 𝑦 indice 𝑦. Alors, notons que dans la vue actuelle, les deux fentes, les ouvertures sur le plan sont très proches. C’est en fait assez courant dans un montage classique d’interférence à deux fentes. L’espace entre ces fentes, cette distance 𝑑, est souvent de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde de la lumière incidente 𝜆. Pour la lumière visible, cette longueur d’onde est très petite et donc 𝑑 aussi.

Tout cela pour venir au fait que, à cette échelle, nous pouvons faire l’approximation que la lumière issue des deux fentes provient de ce point ici, situé au centre des fentes. Voici donc le chemin que la lumière suivrait pour atteindre ce point sur l’écran. Et la forme que nous avons ici, entre le plan et l’écran, est un triangle rectangle. Et pour le définir un peu plus précisément, donnons un nom à cet angle du triangle. Appelons-le 𝜃 indice 𝑛 pour signifier que c’est l’angle correspondant au n-ième point lumineux.

Maintenant, si nous nous souvenons des formules de trigonométrie, nous pouvons dire que la tangente de cet angle, 𝜃 indice 𝑛, est égale au côté opposé du triangle - c’est 𝑦 indice 𝑛 - divisé par le côté adjacent - c’est-à-dire grand 𝐿. Nous avons donc cette expression pour la tangente de 𝜃 indice 𝑛. Et maintenant, faisons la chose suivante. Donnons un nom à l’hypoténuse de ce triangle rectangle. Appelons-la simplement grand 𝐻.

En utilisant une autre fonction trigonométrique, le sinus, on peut dire que le sin de 𝜃 indice 𝑛 est égal au côté opposé, 𝑦 indice 𝑛, divisé par l’hypoténuse, grand 𝐻. Alors remarquons que la seule différence entre le membre de droite de ces deux expressions est le dénominateur des fractions, dans un cas nous avons grand 𝐿 et dans l’autre grand 𝐻.

Réfléchissons un instant à cela. Et si cet angle, 𝜃 indice 𝑛, était très petit ? Nous pouvons voir que plus l’angle est petit, plus les longueurs de grand H et grand L vont être proches. En effet, si l’angle est nul, 𝐻 et 𝐿 ont la même longueur.

Nous allons maintenant utiliser ce qu’on appelle l’approximation des petits angles. Nous allons dire que, parce que cette distance 𝐿 est généralement très grande par rapport aux autres distances dans ce montage, cet angle 𝜃 indice 𝑛 est très petit, ce qui signifie que l’hypoténuse du triangle est approximativement égale à la longueur 𝐿. Et cela signifie que la tangente de 𝜃 indice 𝑛 est approximativement égal au sin de 𝜃 indice 𝑛.

Nous pouvons donc prendre cette expression ici et remplacer la tangente de 𝜃 indice 𝑛 par le sinus de cet angle. Et maintenant que nous avons cette relation ici, que nous avons établie pour les points lumineux sur l’écran, nous retrouvons ici ce terme sin 𝜃 dans l’équation des interférences constructives. Et en plus, cet angle 𝜃 correspond à un entier que nous avons déjà appelé 𝑛. Donc, nous pouvons vraiment appeler cet angle 𝜃 indice 𝑛 car il correspond au 𝑛-ième multiple de 𝜆.

Alors faisons la chose suivante. Prenons cette équation et écrivons là ici. Mais nous allons maintenant remplacer le sin de 𝜃 indice 𝑛 par 𝑦 indice 𝑛 sur 𝐿. Et nous pouvons faire cela car nous venons juste de développer cette équation-là. Cette équation dit que sin 𝜃 indice 𝑛 est égal à 𝑦 indice 𝑛 sur 𝐿. Alors, nous avons le résultat suivant. 𝑑 fois 𝑦 indice 𝑦 sur 𝐿 est égal à 𝑛 fois 𝜆. Et si nous multiplions les deux côtés de l’équation par 𝐿 sur 𝑑, ces deux facteurs s’annulent sur le côté gauche. Et nous obtenons que 𝑦 indice 𝑛 est égal à 𝑛𝜆𝐿 sur 𝑑. Il s’agit de l’équation donnant la distance entre le milieu de l’écran et le n-ième point brillant, le n-ième point d’intensité maximale.

Maintenant que nous avons vu tout cela, résumons ce que nous avons appris sur les interférences à deux fentes. Nous avons vu dans cette leçon que lorsqu’une lumière cohérente passe à travers des fentes parallèles, la lumière interfère avec elle-même, créant un motif de points lumineux et sombres. Nous avons vu ensuite que les interférences constructives, qui conduisent à la création de points lumineux, se produisent lorsque la différence de chemins entre les deux rayons lumineux, 𝑑 fois sinus 𝜃, est égale à un multiple entier de la longueur d’onde de ces rayons.

D’autre part, les interférences destructives, qui créent des points sombres sur l’écran, se produisent lorsque la différence de chemins entre les deux rayons est égale à la moitié d’un cycle d’ondes. Et enfin, la distance entre le centre de l’écran et ce que nous appelons le n-ième point lumineux sur l’écran est égale à 𝑛 fois la longueur d’onde de la lumière incidente, multipliée par la distance entre les fentes et l’écran, le tout divisé par la distance 𝑑 entre les fentes. Ceci est un résumé de la leçon sur les interférences à deux fentes.

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