Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer la position des points d’intensité maximale et minimale dans le cas d’interférences générées par des fentes doubles.
Pour commencer notre expérience, nous aurons besoin d’une plaque opaque percée de deux petites fentes parallèles. Nous aurons également besoin d’une source de lumière cohérente, c’est-à-dire d’ondes lumineuses dont la longueur d’onde et la différence de phase sont constantes, et qui seront dirigées vers les fentes. Afin de visualiser ce qui arrive aux rayons lumineux après le passage par les fentes, on place un écran à une certaine distance après la plaque. Cette configuration est représentée dans la figure ci-dessous. Il est important de bien comprendre la représentation des ondes lumineuses dans ce schéma. Les ondes sont représentées vues de dessus, par des lignes grises régulièrement espacées. Ces lignes grises représentent le sommet des ondes qui se déplacent de la gauche vers la droite en direction des fentes.
On pourrait s’attendre à voir sur l’écran deux points lumineux situés directement en face des fentes, car la plaque bloque le passage de la lumière sur le reste de l’écran. Pourtant, ce n’est pas ce qui est observé. On observe en fait un ensemble de points lumineux (et non pas deux) répartis sur tout l’écran. Que se passe-t-il donc ? Ce phénomène se résume en un mot : interférence.
Considérons tout d’abord une seule des fentes. Lorsque les rayons lumineux passent à travers la fente, les ondes vont « s’étaler » ou plutôt être diffractées. Lorsque la lumière rencontre un obstacle, tel qu’un coin ou, dans le cas, une fente, elle est diffractée. Rappelez-vous que le phénomène de diffraction se produit au niveau des deux fentes, donc les ondes diffractées vont se superposer et interférer les unes avec les autres. Cela conduit à la création de motifs sur l’écran, avec une alternance de points sombres et lumineux.
Pour comprendre pourquoi les interférences sont à l’origine de ces motifs, il faut d’abord comprendre le principe de superposition. Le terme peut sembler complexe mais il s’agit d’un principe relativement simple. Afin d’expliquer ce principe, laissons de côté la vue de dessus des ondes lumineuses vue précédemment et représentons les ondes dans un graphique sous la forme d’une courbe.
Définition : Le principe de superposition
Considérons la figure ci-dessus : si deux ondes se superposent et que leurs crêtes et leurs creux sont alignés, alors on dit que ces ondes sont en phase. Le principe de superposition nous dit que de telles ondes vont interférer entre elles de manière constructive. L’onde résultante peut être considérée comme l’addition des deux crêtes et des deux creux, et on obtient donc une onde de plus grande amplitude.
Par contre, si les deux ondes sont en opposition de phase, alors les crêtes de l’une des ondes sont alignées avec les creux de l’autre onde, et selon le principe de superposition, ces ondes vont interférer de manière destructive. L’onde résultante peut être considérée comme l’addition des creux et des crêtes des ondes. Comme les creux sont en-dessous de l’axe horizontale, le déplacement est négatif. On ajoute un nombre négatif, ce qui revient à soustraire les creux aux crêtes. Les deux ondes vont donc s’annuler.
Revenons à notre expérience à deux fentes, le principe de superposition nous dit que les points lumineux (ou points d’intensité maximale) sur l’écran correspondent aux endroits où les ondes lumineuses interfèrent de manière constructive, tandis que les points sombres (ou points d’intensité minimale) correspondent aux endroits où les ondes lumineuses interfèrent de manière destructive.
L’étape suivante consiste à quantifier cette interférence et à obtenir une équation décrivant le phénomène. Comme pour de nombreux problèmes de physique, réaliser un schéma est un bon point de départ. Sur la figure ci-dessous, nous considérons un point particulier sur l’écran et les deux chemins pris par la lumière depuis les fentes pour atteindre ce point.
Nous allons d’abord introduire le concept de différence de marche (ou différence de chemin optique).
Définition : Différence de marche
Soit la distance parcourue par la lumière issue de la première fente et la distance parcourue par la lumière issue de la deuxième fente, alors la différence de marche est égale à la valeur absolue de la différence entre ces deux valeurs.
Autrement dit, il s’agit de la distance additionnelle que la lumière issue d’une fente doit parcourir comparée à la lumière issue de l’autre fente pour atteindre le même point sur l’écran. Elle est donnée par l’équation
Un point sombre correspond à une différence de marche pour laquelle les ondes seront en opposition de phase et vont donc interférer de manière destructive. Pour un point lumineux, les ondes arrivent en phase et interfèrent de manière constructive.
Soit la distance entre les centres des deux fentes. On peut alors construire un triangle rectangle en utilisant , et comme le montre la figure. Souvenons-nous que est la différence de longueur entre les deux chemins et correspond donc à la base du triangle. C’est une étape importante, car nous pouvons maintenant utiliser les formules de trigonométrie avec le triangle rectangle pour obtenir une équation.
Comme est l’hypoténuse, nous savons que
À ce stade, il faut préciser une hypothèse importante que nous avons faite, à savoir que les deux chemins empruntés par la lumière sont parallèles. Cette hypothèse est nécessaire pour pouvoir construire le triangle rectangle et établir notre équation. Les deux lignes ne sont manifestement pas parallèles, car elles se croisent en un point de l’écran où se produit l’interférence. Cette hypothèse nécessite que . Il faut donc mieux comprendre comme l’angle d’inclinaison vers le haut des deux ondes. Cette approximation est plutôt bonne, car la distance à l’écran est grande, et plus particulièrement beaucoup plus grande que la distance .
En regardant l’équation, nous pouvons voir que est une valeur fixe qui ne changera pas. Cela signifie que la différence de marche change à mesure que la direction de la lumière, mesurée par , change aussi. C’est ce changement qui provoque l’apparition de points sombres et lumineux sur l’écran.
Il faut maintenant ajouter à notre équation un moyen de quantifier la différence de phase, afin d’obtenir une équation décrivant les interférences constructives (lorsque les ondes sont en phase) et les interférences destructives (lorsque les ondes sont en opposition de phase).
La différence de phase entre les deux ondes est mesurée en longueurs d’onde. Il est important de noter que les deux ondes auront la même longueur d’onde, . Pour une différence de phase de , les deux ondes seront évidemment en phase et vont interférer de manière constructive puisque leurs crêtes et creux seront alignés. Cependant, les ondes étant périodiques et se répétant tous les , les crêtes et creux vont de nouveau être alignés pour . En fait, pour toute différence de phase multiple de (où est un entier quelconque), on obtiendra une interférence constructive et donc un point lumineux sur l’écran.
De même, nous avons vu que lorsque les crêtes et les creux de deux ondes sont alignés, les interférences résultantes sont destructives et il en résulte un point sombre sur l’écran. De telles ondes doivent avoir une différence de phase de . Mais en considérant de nouveau la nature périodique des ondes, il y aura opposition de phase pour chaque de plus, c’est-à-dire une interférence destructive à , et ainsi de suite. Autrement dit, pour tout nombre entier , il y aura apparition d’une interférence destructive si la différence de phase suit la règle
Nous avons donc établi une équation pour les interférences constructives et destructives. Le point important est de comprendre que la différence de phase et la différence de marche sont égales. En effet, si les ondes arrivent à des moments différents, alors leurs crêtes et creux s’aligneront de manière différente et pourront avoir ou non une différence de phase. Ainsi, les interférences constructives ont pour équation où représente le point lumineux centrale, le premier point d’intensité maximale. Les interférences destructives ont pour équation où représente le premier point sombre au-dessus du centre, le premier point d’intensité minimale. Considérons maintenant quelques exemples utilisant les équations des interférences constructives et destructives. Voici un schéma utile détaillant les différentes valeurs de et leurs correspondances sur l’écran. Plus est grand, plus le point est éloigné du centre de l’écran car la différence de marche est plus grande.
Nous travaillerons ensuite sur quelques exercices résolus. Souvent, les énoncés feront référence à des franges plutôt qu’à des points sombres ou lumineux. Les concepts et les équations restent identiques ; le terme de frange décrit plus précisément l’aspect des motifs observés dans une expérience réelle. Les énoncés porteront également souvent sur le centre des franges. Cette distinction nous permet de traiter les franges comme des points, car le centres des franges correspond aux points dans notre approche simplifiée.
Exemple 1: Calculer la longueur d’onde de rayons lumineux pour une interférence constructive
Des rayons lumineux passent à travers une plaque dans laquelle sont percées deux fentes étroites et parallèles séparées de 12,8 μm. La lumière issue des fentes est projetée sur un écran parallèle à la plaque, où l’on observe un motif de franges lumineuses et sombres. On imagine une droite tracée perpendiculairement à la surface de la plaque et à la direction des fentes. La droite coupe l’écran au niveau de la frange centrale du motif. L’angle entre et une droite coupant le centre de la frange la plus proche de la frange centrale vaut . Quelle est la longueur d’onde de la lumière ? On donnera la réponse arrondie au nanomètre.
Réponse
La première étape dans ce type de question est de faire le point sur ce que nous savons et ce que nous souhaitons savoir. Nous avons ici une frange lumineuse, donc nous avons besoin de l’équation décrivant une interférence constructive :
La première valeur donnée est la distance entre les deux fentes, donc nous savons que
L’étape suivante, qui est importante, est de considérer l’angle donné et de comprendre ce qu’il représente. L’énoncé nous dit qu’il s’agit de l’angle allant jusqu’à la frange la plus proche de la frange lumineuse centrale (c’est-à-dire le milieu de l’écran). Cela nous indique que nous sommes au premier ordre, ou autrement dit que et cela nous donne aussi
Il faut maintenant utiliser l’équation pour exprimer en fonction des autres valeurs. On obtient très simplement que
Enfin, il reste à remplacer les valeurs, en prenant soin de convertir toutes les unités en mètres. Ce qui nous donne
La réponse finale est que nous convertissons de nouveau en nanomètres.
Voyons ensuite un exemple similaire, légèrement plus long.
Exemple 2: Calculer la mesure des angles entre les franges dans une interférence à deux fentes
Des rayons lumineux de longueur d’onde égale à 597 nm passent à travers une plaque percées de deux fentes étroites et parallèles séparées de 7,64 μm. La lumière issue des fentes est projetée sur un écran parallèle à la plaque, où l’on observe un motif de franges lumineuses et sombres. On imagine une droite tracée perpendiculairement à la surface de la plaque et à la direction des fentes, et qui coupe l’écran au niveau de la frange lumineuse centrale. Deux droites, I et II, coupent la droite au niveau de la plaque. La droite I coupe l’écran au niveau du centre de la frange sombre la plus proche de la frange centrale et la droite II coupe l’écran au niveau du centre de la frange lumineuse la plus proche de la frange centrale. Les deux droites I et II sont situées du même côté de la droite . Quel est l’angle entre la droite I et la droite II ? On donnera la réponse arrondie au dixième près.
Réponse
Nous avons à la fois une frange lumineuse et une frange sombre, nous avons donc besoin des équations décrivant les interférences constructives et destructives. Ces équations sont pour les interférences constructives et pour les interférences destructives.
Il est utile de réaliser un schéma pour visualiser les grandeurs connues et celles que nous cherchons.
Donc, pour trouver , nous devons déterminer la différence entre et .
D’après l’énoncé, nous savons que
Ainsi, la seule inconnue restante dans nos équations, mis à part les angles, est . En regardant le schéma, pour la droite I, nous sommes à la frange sombre la plus proche de la frange centrale et, pour la droite II, à la frange lumineuse la plus proche de la frange centrale. Nous observons donc la frange lumineuse pour et la première frange sombre pour est l’angle entre la droite I et , il est donc défini dans l’équation des interférences destructives, où nous devons ajouter à . Il faut d’abord modifier l’équation des interférences destructives, sans oublier d’utiliser la fonction sinus inverse :
On remplace ensuite les valeurs dans l’équation, en prenant soin de convertir en mètres on obtient
Ce qui nous donne le résultat suivant
Nous devons ensuite calculer , qui est l’angle entre la droite II et , il est donc défini par l’équation des interférences constructives. On exprime en fonction des autres valeurs, ce qui donne
On remplace ensuite les valeurs dans l’équation, en prenant soin de convertir en mètres on obtient
Ce qui nous donne le résultat suivant
Enfin, comme nous savons que la réponse finale est
L’exemple suivant nécessite un peu plus de réflexion afin de comprendre correctement l’énoncé.
Exemple 3: Calculer le nombre de franges dans une interférence à deux fentes
Des rayons lumineux de longueur d’onde égale à 563 nm passent à travers une plaque dans laquelle sont percées deux fentes étroites et parallèles séparées de 8,38 μm. La lumière issue des fentes est projetée sur un écran parallèle à la plaque, où l’on observe un motif de franges lumineuses et sombres. On imagine une droite tracée perpendiculairement à la surface de la plaque et à la direction des fentes. La droite coupe l’écran au niveau de la frange centrale du motif. Combien de franges lumineuses y aurait-il sur un écran qui s’étendrait à l’infini de chaque côté de la droite ?
Réponse
Le concept abordé dans cette question est plus difficile, mais il est basé sur une équation simple. Commençons par faire le point sur ce que nous savons afin de voir quelles équations utiliser. On nous donne
Il faut ensuite examiner précisément l’énoncé. On nous demande de déterminer le nombre total de franges sur un écran infini. Il y a deux points importants ici.
Premièrement, la grandeur que nous devons calculer est , et plus précisément . Rappelons-nous que correspond au nombre de franges à partir de la frange centrale. Ainsi, pour obtenir le nombre total de franges des deux côtés, nous devons doubler ce nombre.
Deuxièmement, le terme « infini » nous indique que nous devons utiliser un angle . Plus précisément, nous devons avoir
Ceci est dû au fait que nous devons considérer la frange située le plus loin possible de la frange centrale sur l’écran, et qui sera donc située à l’infini. Plus on s’éloigne de la frange centrale plus augmente. À mesure que et augmentent, la trajectoire des rayons lumineux issus des fentes et se dirigeant vers l’écran, vont s’incliner de plus en plus pour se rapprocher de la verticale. Ainsi, la valeur finale de sera atteinte à l’infini, la trajectoire de la lumière sera alors verticale, vaudra et nous aurons pris en compte toutes les franges possibles sur l’écran. Le terme infini peut sembler impressionnant mais il faut se rappeler que nous voulons être sûrs de n’avoir oublié aucune frange. Aussi, il faut considérer les trajectoires éloignées le plus possible de l’écran.
Avec les points abordés précédemment, nous savons maintenant quelle équation utiliser :
Comme nous considérons des points lumineux, il s’agit d’interférences constructives. En exprimant en fonction des autres valeurs, l’équation devient
On remplace ensuite les valeurs dans l’équation, en prenant soin de convertir en mètres on obtient
Ce qui donne le résultat suivant
Comme indiqué précédemment, notre réponse est en réalité parce que nous avons seulement compté la moitié des franges situées au-dessus de la frange centrale et pas la moitié en dessous :
Ce n’est pourtant pas la valeur finale. Vous voudriez peut-être arrondir cette valeur à 30 ou même 29,8. Mais ce serait faux. Tout d’abord, il n’est pas possible d’avoir 0,8 frange ; pour que la réponse soit correcte, il faut avoir un nombre entier. Ensuite, il n’est pas possible d’arrondir, car on rajouterait des franges supplémentaires à notre résultat. Donc, nous devons arrondir à l’unité inférieure. La question pourrait être reformulée en demandant le nombre de franges entières, la notion d’arrondie serait alors plus claire. Ainsi, la réponse finale est
Que se passe-t-il si nous voulons maintenant déterminer la position des points lumineux en fonction de la distance au centre de l’écran et non de l’angle mesuré à partir du centre ? Comme auparavant, nous allons réaliser un schéma, puis nous utiliserons la trigonométrie pour établir une équation.
Sur la figure, est la distance verticale au point lumineux sur l’écran. Cela forme la hauteur du triangle rectangle. Nous connaissons aussi , la distance entre les fentes et le centre de l’écran. Cela forme la base du triangle rectangle. Il est aussi utile de définir l’hypoténuse du triangle et le angle vers le haut depuis le centre.
À ce stade, nous avons fait une hypothèse. Remarquez que sur le schéma, les fentes semblent beaucoup plus petites qu’auparavant. En effet nous avons effectué un zoom arrière par rapport au schéma précédent afin de montrer que la distance entre les fentes à cette échelle est beaucoup plus petit que . On fait l’hypothèse que les rayons lumineux proviennent du même point que la droite . Cela simplifie le problème et nous permet de construire un triangle rectangle. Cette hypothèse est correcte, car dans les expériences impliquant des interférences avec des fentes, est du même ordre de grandeur que la longueur d’onde de la lumière utilisée. Cela permet d’obtenir une diffraction maximale et donc un motif d’interférence plus net sur l’écran. La lumière utilisée étant constituée de longueurs d’onde visibles, la distance est de l’ordre de centaines de nanomètres et notre hypothèse est donc plutôt une bonne approximation.
En utilisant les formules de trigonométrie dans le triangle rectangle, nous obtenons deux équations, l’une avec et l’autre avec :
Ensuite, nous nous appuyons sur une deuxième hypothèse, qui est plus précisément l’ approximation des petits angles. Nous avons établi que l’écran est initialement placé à une distance, , très grande de la plaque. Cela signifie que l’angle est très petit, et que la valeur de est très proche de celle de . Par conséquent nous pouvons faire l’approximation suivante et donc définir notre équation
La dernière étape consiste à remplacer dans l’équation, car nous voulons que la position du point lumineux soit définie seulement par la distance. C’est pourquoi nous avons remplacé la fonction tangente par la fonction sinus afin de pouvoir maintenant utiliser l’équation que nous connaissons déjà pour les interférences constructives, ce qui donne
On exprime simplement en fonction des autres valeurs :
Cela nous donne l’équation recherchée. Cette équation donne les positions des points lumineux (ou des interférences constructives) en fonction de la distance par rapport au centre.
Voici quelques exemples concrets utilisant les concepts introduits et les équations que nous avons établies.
Exemple 4: Calculer la distance entre les franges dans une interférence à deux fentes
Des rayons lumineux de longueur d’onde égale à 604 nm passent à travers une plaque percée de deux fentes étroites et parallèles séparées de 9,44 μm. La lumière issue des fentes est projetée sur un écran parallèle à la plaque, 1,25 m, où l’on observe un motif de franges lumineuses et sombres. On imagine une droite tracée perpendiculairement à la surface de la plaque et à la direction des fentes. La droite coupe l’écran au niveau de la frange centrale du motif. Sur l’écran, quelle est la distance entre la droite et le centre de la frange la plus proche de la frange centrale ? On donnera la réponse arrondie au centimètre.
Réponse
La meilleure façon de commencer un exercice de ce type est d’écrire l’équation correspondante, ainsi que les valeurs données par l’énoncé. On sait que
On nous demande de trouver une distance sur l’écran, nous aurons donc besoin de l’équation où est la distance sur l’écran entre le point lumineux central et le point lumineux. On nous donne également la valeur de , on s’intéresse à la frange lumineuse la plus proche de la frange centrale. Donc,
L’étape suivante consiste simplement à remplacer les valeurs, en prenant soin de convertir toutes les unités en mètres, pour obtenir la réponse :
Enfin, il faut convertir en centimètres comme le demande l’énoncé :
L’exemple suivant est simple du point de vue mathématique, mais nécessite une réflexion plus approfondie pour obtenir le bon résultat.
Exemple 5: Comparer des longueurs d’onde de différents motifs d’interférence
Des rayons lumineux de deux longueurs d’onde différentes passent à travers une plaque dans laquelle sont percées deux fentes étroites et parallèles. La lumière issue des fentes est projetée sur un écran parallèle à la plaque, où l’on observe un motif de franges lumineuses et sombres. On imagine une droite tracée perpendiculairement à la surface de la feuille et à la direction des fentes. La droite coupe l’écran au niveau de la frange centrale du motif. Sur l’écran, pour les rayons lumineux de plus courte longueur d’onde, la distance entre et le centre de la frange lumineuse la plus proche de la frange centrale est . Pour les rayons lumineux de plus grande longueur d’onde, la distance entre et le centre de la frange lumineuse la plus proche de la frange centrale est t . Quel est le rapport entre la plus courte longueur d’onde la plus grande longueur d’onde ? On donne la réponse arrondie au centième.
Réponse
L’énoncé ne nous donne que deux valeurs. Ces valeurs sont la distance entre la première frange et la frange centrale pour deux motifs différents, il s’agit donc de deux positions différentes pour les premières franges lumineuses. Plus précisément, pour la longueur d’onde la plus courte, et pour longueur d’onde la plus grande. À ce stade, on comprend que l’équation à utiliser est où est la distance entre le centre et la frange vers le haut. Nous avons donc deux équations, une pour chaque longueur d’onde :
Nous devons ensuite nous rappeler que ces équations donnent la distance aux premières franges lumineuses pour les deux motifs. Cela signifie que :
Nous cherchons en fait les longueurs d’onde, donc il faut les exprimer en fonction des autres valeurs, ce qui donne :
Le problème ici est qu’il reste beaucoup d’inconnues dans ces deux équations. Mais ce problème peut être contourné puisque nous cherchons le rapport entre les deux longueurs d’onde. En gardant en tête que les valeurs et sont identiques pour les deux équations, on peut écrire le rapport entre les deux équations :
On simplifie les termes identiques et il nous reste
La réponse finale est
Points clés
- Lorsque des ondes lumineuses cohérentes passent à travers des fentes doubles, elles sont diffractées et elles interfèrent en créant un motif de points lumineux et sombres observables sur un écran.
- Pour le point lumineux (maximum), l’interférence constructive se produit à un angle défini par l’équation .
- Pour le point sombre (minimum), l’interférence destructive se produit à un angle défini par l’équation .
- L’équation définit la position du point lumineux en fonction de la distance par rapport au centre de l’écran.
