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Déterminez le taux de variation de cinq 𝑥 au cube moins 18 par rapport à 𝑥 lorsque 𝑥 est égal à deux.
Le taux de variation d’une fonction ou d’une expression n’est que sa dérivée. La dérivée de notre fonction 𝑓 en un certain nombre 𝑎, 𝑓 prime de 𝑎, est égale à la limite de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 le tout sur ℎ lorsque ℎ tend vers zéro. Si nous posons 𝑓 de 𝑥 égale cinq 𝑥 au cube moins 18, alors nous cherchons le taux de variation de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 lorsque 𝑥 est égal à deux. Et c’est la dérivée de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égale deux. Et nous obtenons la dérivée de 𝑓 au nombre deux en substituant deux à 𝑎 dans la définition ci-dessus.
Maintenant, nous devons évaluer 𝑓 de deux plus ℎ et 𝑓 de deux. Qu’est-ce que 𝑓 de deux plus ℎ ? Eh bien, c’est ce que vous obtenez en substituant deux plus ℎ à 𝑥 dans l’expression de 𝑓 de 𝑥. En d’autres termes, c’est cinq fois deux plus ℎ au cube moins 18. Et 𝑓 de deux ? Eh bien, c’est cinq fois deux au cube moins 18.
Maintenant, nous pouvons simplifier le numérateur et nous pouvons commencer par développer cinq fois deux plus ℎ au cube. Nous obtenons cinq fois ℎ au cube plus six ℎ au carré plus 12ℎ plus huit. Et nous pouvons distribuer ce cinq sur les termes entre parenthèses et nous obtenons ce qui suit. Les autres termes se regroupent. Donc, moins 18 moins cinq fois deux au cube moins 18 devient moins 40. Et nous pouvons voir que les deux termes constants s’annulent, ce qui nous laisse avec seulement cinq ℎ au cube plus 30ℎ au carré plus 60ℎ au numérateur.
Et si on rend au même dénominateur ℎ, on remarque que les termes du numérateur ont un facteur commun de ce dénominateur ℎ et on peut donc tout supprimer. En supprimant les ℎ, nous obtenons la limite de cinq ℎ au carré plus 30ℎ plus 60 lorsque ℎ tend vers zéro. Et c’est une limite que nous pouvons évaluer en utilisant la substitution directe, en substituant simplement zéro à ℎ.
En substituant directement, nous obtenons cinq fois zéro au carré plus 30 fois zéro plus 60, ce qui est bien sûr simplement, 60. La valeur de cette limite et donc le taux de variation de cinq 𝑥 au cube moins 18 par rapport à 𝑥 lorsque 𝑥 est égal à deux vaut 60.
