Video Transcript
Discutez la dérivabilité de la fonction 𝑓 en 𝑥 égale un sachant que 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 plus huit si 𝑥 est inférieure à un et 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus neuf si 𝑥 est supérieure ou égale à un.
On nous donne une fonction définie par morceaux 𝑓 de 𝑥. Nous devons déterminer si la fonction 𝑓 est dérivable lorsque 𝑥 égale un. Il y a plusieurs façons de le faire. Par exemple, nous pourrions d’abord vérifier si notre fonction 𝑓 de 𝑥 est continue lorsque 𝑥 égale un. Alors si 𝑓 de 𝑥 est continue lorsque 𝑥 est égal à un, nous pouvons vérifier la pente de la gauche et de la droite lorsque 𝑥 est égal à un en dérivant les deux sous fonctions de notre fonction. Si ces deux pentes correspondent, alors nous pouvons dire que 𝑓 de 𝑥 est dérivable lorsque 𝑥 est égal à un.
Cependant, dans cette vidéo, nous allons déterminer cela directement à partir de la définition d’une dérivée. Commençons par rappeler ce que nous entendons par la dérivée de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 en un point 𝑥 zéro. Ceci est égal à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 zéro plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 zéro, le tout divisé par ℎ. Et on suppose que cette limite existe. Si cette limite n’existe pas, alors nous disons que notre fonction 𝑓 de 𝑥 n’est pas dérivable au point 𝑥 zéro. Dans ce cas, on nous donne la fonction par morceaux 𝑓 de 𝑥. Et nous voulons savoir si elle est dérivable au point où 𝑥 est égal à un. Nous allons donc mettre 𝑥 zéro égal à un.
On peut alors substituer 𝑥 zéro par un dans notre définition de la dérivée. Donc, déterminer si 𝑓 de 𝑥 est dérivable lorsque 𝑥 est égal à un, c’est déterminer si cette limite existe. Cependant, nous ne pouvons pas évaluer directement cette limite parce que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est donnée comme une fonction par morceaux et 𝑥 un est l’extrémité de l’un de ces intervalles.
Nous devons donc nous rappeler un fait sur les limites. Au lieu de trouver la limite lorsque ℎ tend vers zéro de cette expression, nous allons trouver la limite lorsque ℎ tend vers zéro à droite de cette expression et la limite lorsque ℎ tend vers zéro à gauche de cette expression. Si ces deux limites existent et sont égales, alors nous savons que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est dérivable en ce point. Cependant, si l’une des limites n’existe pas ou si ces limites ne sont pas égales, alors nous savons que notre fonction n’est pas dérivable lorsque 𝑥 égale un.
Commençons par évaluer la limite lorsque ℎ tend vers zéro de la gauche de 𝑓 de un plus ℎ moins 𝑓 de un le tout divisé par ℎ. Pour évaluer cette limite, nous devons d’abord remarquer que ℎ se rapproche de zéro par la gauche. Cela signifie que toutes nos valeurs de ℎ seront inférieures à zéro. Et si ℎ est inférieur à zéro, alors un plus ℎ sera inférieur à un. Et nous savons de notre définition par morceaux de la fonction 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 est inférieur à un, que 𝑓 de 𝑥 est égale à la fonction affine deux 𝑥 plus huit. Donc, dans ce cas, pour évaluer 𝑓 en un plus ℎ, nous substituons simplement 𝑥 est égal à un plus ℎ dans la fonction affine deux 𝑥 plus huit. Cela nous donne deux fois un plus ℎ plus huit.
Nous pourrions être tentés de substituer un dans cette fonction affine. Mais rappelez-vous, nous devons utiliser la définition par morceaux de 𝑓 de 𝑥. Lorsque 𝑥 est égal à un, 𝑓 de 𝑥 est exactement égal au polynôme du second degré 𝑥 au carré plus neuf. Substituer 𝑥 est égal à un dans notre expression du second degré nous donne un au carré plus neuf. Nous devons donc maintenant évaluer la limite lorsque ℎ approche zéro de la gauche de deux fois un plus ℎ plus huit moins un au carré plus neuf le tout divisé par ℎ.
Pour ce faire, nous devons simplifier l’expression à l’intérieur de notre limite. Nous allons commencer par le premier terme de notre numérateur. Nous distribuerons deux sur les parenthèses. Cela nous donne deux plus deux ℎ plus huit. Et bien sûr, nous pouvons simplifier cela puisque deux plus huit est égal à 10. Ensuite, nous évaluerons le deuxième terme de notre numérateur. Nous avons un au carré plus neuf est égal à un plus neuf. Et bien sûr, nous pouvons simplifier un plus neuf pour nous donner 10.
Alors maintenant, nous avons la limite lorsque ℎ tend vers zéro à gauche de deux ℎ plus 10 moins 10 le tout divisé par ℎ. Bien sûr, nous pouvons continuer à simplifier cela. Dans notre numérateur, 10 moins 10 est égal à zéro. Donc, en fait, toute cette limite vient de se simplifier pour nous donner la limite lorsque ℎ tend vers zéro à gauche de deux ℎ divisé par ℎ. Et bien sûr, nous savons que ℎ tend vers zéro à gauche. En particulier, cela signifie que ℎ n’est pas égal à zéro. Il se rapproche de plus en plus de zéro. Nous pouvons donc simplifier le facteur commun de ℎ dans notre numérateur et notre dénominateur, ce qui signifie que nous nous retrouvons avec la limite lorsque ℎ tend vers zéro à gauche de la constante deux. Mais deux est une constante, donc cette limite est évaluée à deux.
Par conséquent, lorsque 𝑥 approche un de la gauche, la pente de notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à deux. Nous devons maintenant faire exactement la même chose à droite. Donc, dégageons un peu d’espace et évaluons la limite lorsque ℎ tend vers zéro à droite de 𝑓 de un plus ℎ moins 𝑓 de un le tout divisé par ℎ. Cette fois, nous avons ℎ tend vers zéro à droite. Cela signifie que nous savons que toutes nos valeurs de ℎ seront supérieures à zéro. Et si ℎ est juste supérieur à zéro, cela signifie que un plus ℎ sera supérieur à un.
Donc, encore une fois, nous devons utiliser la définition par morceaux de notre fonction 𝑓 de 𝑥 pour évaluer 𝑓 de un plus ℎ. Nous savons que lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à un, 𝑓 de 𝑥 est exactement égale au polynôme du second degré 𝑥 au carré plus neuf. Donc, vu que un plus ℎ est supérieur à un, pour évaluer 𝑓 en un plus ℎ, nous substituons 𝑥 est égal à un plus ℎ dans cette fonction de second degré. Cela nous donne un plus ℎ le tout au carré plus neuf. Nous avons déjà trouvé 𝑓 évalué à un dans notre limite précédente. Pour ce faire, nous utilisons la définition par morceaux de 𝑓 de 𝑥.
Nous substituons simplement 𝑥 est égal à un dans le polynôme du second degré 𝑥 au carré plus neuf. Cela nous a donné un au carré plus neuf, que nous avons simplifié pour nous donner 10. Nous devons donc maintenant évaluer la limite lorsque ℎ tend vers zéro à partir de la droite de un plus ℎ le tout au carré plus neuf moins 10 le tout divisé par ℎ. Pour ce faire, nous pouvons commencer à simplifier. Premièrement, nous savons que neuf moins 10 est égal à moins un. Ensuite, nous voulons distribuer le carré sur nos parenthèses.
En faisant cela en utilisant la double distributivité ou en utilisant la formule de binôme de Newton, nous obtenons un plus deux ℎ plus ℎ au carré. Ensuite, nous devons soustraire un de cela et diviser par ℎ. Et en fait, nous pouvons voir que nous pouvons continuer à simplifier. Dans notre numérateur, nous avons un moins un, ce qui simplifie pour nous donner zéro. Donc, cela nous donne la limite lorsque ℎ tend vers zéro à droite de deux ℎ plus ℎ au carré le tout divisé par ℎ. Et encore une fois, cette limite est lorsque ℎ tend vers zéro à droite. ℎ se rapproche de plus en plus de zéro, mais ℎ n’est jamais égal à zéro.
Cela signifie que nous pouvons simplifier le facteur commun de ℎ dans notre numérateur et notre dénominateur. Cela nous laisse avec la limite lorsque ℎ tend vers zéro à droite de deux plus ℎ. Et bien sûr, lorsque ℎ tend vers zéro à droite, notre valeur de ℎ tend vers zéro et notre constante deux reste constante. Donc, cette limite s’évalue pour nous donner deux. Et maintenant, nous pouvons voir directement à partir de la définition de la pente que ces deux pentes sont égales. Et parce que ces deux valeurs sont égales, nous pouvons conclure que 𝑓 de 𝑥 est dérivable en 𝑥 est égal à un.
Il convient également de rappeler à ce stade que, nous ne pouvions utiliser cette méthode parce que nous avons directement travaillé avec la définition de la dérivabilité en un point. Si nous avions plutôt voulu travailler avec d’autres règles de dérivation, telles que la règle de dérivation d’une puissance sur notre fonction 𝑓 de 𝑥, nous aurions également besoin de montrer que 𝑓 de 𝑥 est continue lorsque 𝑥 égale un. Cependant, comme nous l’avons vu, il n’est pas nécessaire d’utiliser cette méthode. Nous pouvons simplement le faire directement à partir de la définition d’une dérivée. Par conséquent, nous avons pu montrer que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à deux 𝑥 plus huit si 𝑥 est inférieur à un et 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré plus neuf si 𝑥 est supérieur ou égal à un est dérivable en 𝑥 est égal à un.
