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La matrice 𝐴 de taille trois fois trois égale cinq, moins quatre, moins cinq, zéro, moins neuf, zéro, deux, sept, moins deux est-elle inversible ?
Dans cette question, nous avons une matrice 𝐴, et on peut voir que notre matrice 𝐴 a trois lignes et trois colonnes. On nous demande de déterminer si cette matrice 𝐴 admet un inverse ou pas. Afin de répondre à cette question, il est d'abord important de comprendre précisément ce que la question nous demande. La question est de savoir si notre matrice 𝐴 a un inverse ou non Il ne nous est pas demandé de calculer la matrice inverse si elle existe. Donc, pour répondre à la question, tout ce que nous devrons faire est de montrer si cette matrice inverse existe ou non. Et pour ce faire, nous allons rappeler quelques notions de base sur les matrices.
Tout d'abord, rappelons que notre matrice 𝐴 est toujours inversible si le déterminant de 𝐴 est non nul. En fait, si nous savons que le déterminant de notre matrice est différent de zéro, alors on peut toujours calculer son inverse. Nous pourrions le faire en utilisant la méthode des cofacteurs. De même, on sait également qu'une matrice 𝐴 n'est pas inversible dans toute autre situation. Par exemple, si le déterminant de notre matrice est égal à zéro, notre matrice est dite singulière.
Mais, il existe un autre cas où on ne peut pas calculer le déterminant de la matrice. C’est lorsque notre matrice est rectangulaire et non carrée. Donc, notre matrice n’est pas inversible car elle peut avoir un inverse à gauche ou à droite, mais ces matrices ne seront pas égales. Cela signifie que pour vérifier si une matrice est inversible, il faut voir si son déterminant est égal à zéro ou non. Commençons donc par calculer le déterminant de notre matrice 𝐴 trois fois trois. Et pour ce faire, nous disposons de plusieurs options différentes. Puisque 𝐴 est une matrice trois fois trois, on peut développer le déterminant suivant une ligne ou une colonne.
N'oubliez pas que lorsque vous développez le déterminant suivant une ligne ou une colonne, il faut toujours considérer la ligne ou la colonne avec le plus grand nombre de zéros pour faciliter les calculs. Dans ce cas, on remarque que c’est la deuxième ligne parce qu’elle a deux zéros, et nous savons que lorsque nous développons suivant cette ligne, les éléments de cette ligne vont être des coefficients des termes. Ainsi, le premier et le troisième termes auront un coefficient de zéro. C’est à dire, ils seront égaux à zéro. Donc, le seul terme différent de zéro sera le terme que nous développons selon la deuxième ligne et la deuxième colonne.
Rappelez-vous, on doit multiplier moins neuf par le déterminant de la sous matrice qu’on obtient en supprimant la deuxième ligne et la deuxième colonne de la matrice 𝐴. On doit également multiplier cela par moins un à la puissance de la somme des indices de la ligne et de la colonne considérées. Et dans ce cas, notre coefficient se trouve à la deuxième ligne et la deuxième colonne, donc c’est moins un à la puissance deux plus deux. Alors, nous avons montré que le déterminant de la matrice 𝐴 est moins un à la puissance deux plus deux fois moins neuf fois le déterminant de la matrice deux fois deux cinq, moins cinq, deux, moins deux.
Pour évaluer cette quantité, il faut savoir calculer le déterminant d’une matrice deux fois deux. Rappelons que le déterminant de la matrice deux fois deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. On prend la différence des produits des diagonales. Appliquer cela à notre équation et simplifier moins un à la puissance deux plus deux en un, nous donne un fois moins neuf fois cinq fois moins deux moins moins cinq fois deux. En calculant cette expression, on obtient moins neuf fois moins 10 plus 10, qui vaut moins neuf fois zéro, qui est bien sûr égal à zéro.
Ainsi, nous venons de montrer que le déterminant de la matrice 𝐴 nul, ce qui signifie que notre matrice 𝐴 n’est pas inversible. Par conséquent, nous avons montré que la matrice trois fois trois cinq, moins quatre, moins cinq, zéro, moins neuf, zéro, deux, sept, moins deux n’est pas inversible car son déterminant est nul.
