Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à trouver l’inverse de matrices en utilisant la méthode des cofacteurs.
Commençons par rappeler comment définir l’inverse d’une matrice .
Définition : Inverse d’une matrice 2 × 2
Soit une matrice . L’inverse de (notée ) est une matrice qui satisfait où est la matrice identité . Si une telle matrice existe, on dit que la matrice est inversible.
En outre, il est en fait possible de trouver une formule exacte pour l’inverse d’une matrice, qui est la suivante.
Formule : Inverse d’une matrice 2 × 2
Soit telle que , où est le déterminant de . Alors l’inverse de est donnée par
Si , la matrice n’est pas inversible.
Il va de soi que si le concept de matrices inverses existe pour les matrices , il en est de même pour les matrices d’ordre supérieur. Comme prévu, la définition de l’inverse d’une matrice peut en effet être généralisée pour inclure des matrices de n’importe quel ordre, comme suit.
Définition : Inverse d’une matrice
Soit une matrice . L’inverse de (notée ) est une matrice qui satisfait où est la matrice identité . Si une telle matrice existe, on dit que la matrice est inversible.
Bien que cette généralisation est possible, il est plus facile à dire qu’à faire de trouver les formules correspondant à de telles matrices ou même de savoir si elles existent en premier lieu. Dans le cas de matrices , nous notons que l’inverse est obtenu en manipulant les éléments de la matrice et en divisant par le déterminant, à condition qu’il ne soit pas égal à zéro. On peut se demander si une approche similaire existe pour les cas de plus grande dimension.
Comme nous le verrons dans cette fiche explicative, il existe une formule pour l’inverse de la matrice qui généralise le cas . En particulier, trouver le déterminant et maîtriser les étapes impliquées sont une composante clé du processus. Comme l’objet principal de cette fiche explicative est les matrices , nous passerons en revue la méthode de calcul du déterminant d’une matrice en utilisant le développement des cofacteurs. Cependant, comme la méthode complète n’est nécessaire que plus tard, commençons par la première étape du processus, à savoir le calcul des mineurs et des cofacteurs.
Définition : Mineurs et cofacteurs
Soit une matrice de dimension . Alors, le mineur de l’élément (noté ) est le déterminant de la matrice obtenue après avoir retiré la ligne et la colonne de .
Ensuite, le cofacteur de l’élément (noté ) est égal à où est le mineur de l’élément .
Jusqu’à présent, nous n’avons vu les cofacteurs que pour le calcul du déterminant d’une matrice. Cependant, il se trouve qu’ils sont également essentiels pour déterminer l’inverse d’une matrice en utilisant la méthode des cofacteurs.
Avant que nous expliquions correctement la méthode des cofacteurs pour trouver une matrice inverse, nous devons définir la comatrice.
Définition : Comatrice
La comatrice d’une matrice carrée est définie par où chaque est le cofacteur de l’élément de .
La définition ci-dessus s’applique à toute matrice carrée, mais dans le cas, cela donne
En d’autres termes, chaque élément de la matrice est le cofacteur de l’élément correspondant dans la matrice d’origine.
Bien que ce soit une formule simple à énoncer, il peut être difficile de faire le calcul en pratique, car nous devons trouver le mineur et son cofacteur pour chaque élément de la comatrice. Entraînons-nous avec un exemple.
Exemple 1: Déterminer la comatrice d’une matrice 3 × 3
Déterminez la comatrice de
Réponse
Rappelons que la comatrice est la matrice obtenue en déterminant le cofacteur de chaque élément correspondant d’une matrice. Soit la matrice donnée.
Pour trouver les cofacteurs, nous devons d’abord trouver les mineurs. Pour ce faire, pour chaque élément de la matrice, on enlève la ligne et la colonne auxquelles il appartient et on prend le déterminant de la matrice résultante. Par exemple, le mineur de l’élément peut être trouvé comme suit :
En répétant ce processus, nous obtenons neuf déterminants différents, où à chaque fois nous avons supprimé la ligne et la colonne auxquelles appartient l’élément correspondant. Pour la première ligne, nous avons
Pour la deuxième ligne, nous avons
Pour la dernière ligne, nous avons
Maintenant, nous devons trouver les cofacteurs. Rappelons que les cofacteurs peuvent être obtenus à partir des mineurs correspondants en les multipliant par 1 ou , en fonction de leur position dans la matrice suivante :
Par exemple, est en position , qui a un signe négatif, ce qui nous montre que . En résumé, nous avons
Enfin, nous pouvons les rassembler dans une matrice pour former la comatrice. Cela nous donne
Avant de présenter la formule de l’inverse d’une matrice , nous devons introduire un dernier concept : la matrice complémentaire. Nous le définissons comme suit.
Définition : Matrices complémentaires
La matrice complémentaire de (appelée en anglais « matrice adjointe ») est la transposée de la comatrice , c’est-à-dire
Comme nous pouvons le voir, une fois que nous avons calculé la comatrice, c’est une procédure simple d’obtenir la matrice complémentaire, car il suffit de prendre la transposée. Considérons maintenant un exemple où nous devons calculer la matrice complémentaire.
Exemple 2: Déterminer la matrice complémentaire d’une matrice 3 × 3
Déterminez la matrice complémentaire de la matrice
Réponse
Rappelons que la matrice complémentaire est la transposée de la comatrice, qui est une matrice où chaque élément est un cofacteur de l’élément correspondant. Soit la matrice donnée.
Pour trouver les cofacteurs de , nous devons d’abord trouver les mineurs, ce que nous pouvons faire en prenant chaque élément de la matrice un par un, en supprimant les lignes et les colonnes auxquelles ils appartiennent, et en prenant les déterminants de la matrice résultante. Montrons cela pour le mineur de :
Continuons cette approche pour trouver chacun des neuf mineurs, où à chaque fois nous retirons la ligne et la colonne à laquelle appartient l’élément correspondant. Pour la première ligne, nous avons
Pour la deuxième ligne, nous avons
Pour la dernière ligne, nous avons
Maintenant, nous pouvons utiliser les mineurs pour trouver les cofacteurs. Rappelons que les cofacteurs peuvent être obtenus à partir des mineurs correspondants en les multipliant par 1 ou , en fonction de leur position dans la matrice suivante :
En résumé, nous avons
Nous pouvons maintenant former la comatrice, en rassemblant les éléments dans la matrice suivante :
Enfin, pour trouver la matrice complémentaire, on transpose . Cela signifie que nous devons réécrire chacune des lignes comme une colonne de la nouvelle matrice. Cela nous donne
Avant de définir la formule de l’inverse d’une matrice, rappelons d’abord la méthode de recherche du déterminant d’une matrice en utilisant le développement des cofacteurs.
Définition : Déterminants des matrices 3 × 3 (développement des cofacteurs)
Pour tout entier , 2 ou 3, le déterminant de est égal à où chaque est le cofacteur de l’élément . C’est ce qu’on appelle le développement des cofacteurs (ou formule de Laplace) le long d’une ligne . Sinon, pour tout entier fixe , 2 ou 3, nous avons
Ceci est le développement des cofacteurs le long de la colonne .
Avec cette définition et les définitions antérieures des comatrices et du complémentaire, nous sommes maintenant en mesure d’écrire la formule de l’inverse d’une matrice.
Formule : Inverse d’une matrice
Si est une matrice inversible, alors son inverse est où est le complémentaire de et est le déterminant de .
Nous notons que cette formule s’applique aux matrices carrées de n’importe quel ordre, bien que nous ne l’utiliserons que pour trouver l’inverse de matrices ici. Il est toutefois possible de montrer que cette formule fonctionne également pour le cas de matrices . Pour voir cela, considérons la matrice générale :
Pour trouver , nous calculons d’abord la comatrice en déterminant chacun des mineurs. Nous notons que, dans ce cas, trouver le mineur pour chaque élément est assez trivial, car supprimer une ligne et une colonne d’une matrice donne une matrice , qui est juste un nombre. Ainsi, les quatre mineurs ne sont que les éléments dans les coins opposés, comme indiqué :
Pour trouver la comatrice, nous inversons les signes de et , pour obtenir la matrice suivante :
Enfin, on obtient en prenant la transposée de , pour obtenir
En mettant cela dans la formule ci-dessus, nous avons
Puisqu’il s’agit de la même formule que nous avions déjà pour l’inverse d’une matrice , nous pouvons donc voir que les deux formules sont cohérentes.
Il est important de noter que est inversible si, et seulement si, son déterminant est non nul. Cela signifie que chaque fois que nous devons trouver l’inverse d’une matrice, nous devons toujours commencer par calculer le déterminant. S’il est non nul, alors nous pouvons procéder au calcul de l’inverse ; sinon, on doit conclure que la matrice est singulière (c’est-à-dire sans inverse).
Vérifions notre capacité à trouver l’inverse de matrices .
Exemple 3: Vérifier si une matrice 3 × 3 est singulière et déterminer son inverse si possible
Déterminez si la matrice a un inverse en vérifiant si le déterminant est non nul. Si le déterminant est non nul, déterminez l’inverse en utilisant la formule de l’inverse impliquant la comatrice.
Réponse
La première partie de la question nécessite de vérifier si le déterminant est non nul. Naturellement, cela peut être fait en calculant directement le déterminant. Cependant, nous pouvons également utiliser les propriétés des déterminants pour nous aider à calculer le déterminant plus facilement et, dans certains cas, montrer qu’il doit être nul.
Rappelons que si l’on ajoute un multiple scalaire d’une ligne à une autre, la valeur du déterminant ne change pas. Ainsi, ajoutons fois la ligne 1 à la ligne 3. Nous avons choisi de faire ceci parce que l’élément en bas à gauche devient zéro. Cela nous donne
Maintenant, normalement, nous continuons à calculer le déterminant en utilisant le développement du cofacteur sur la première colonne. Cependant, à ce stade, il est important de réaliser que les deuxième et troisième lignes sont toutes les deux . Rappelons une autre propriété des déterminants, à savoir que si deux lignes d’une matrice sont égales, le déterminant est nul. Comme c’est le cas ici, nous n’avons plus besoin de procéder au reste du calcul car la propriété nous indique que le déterminant est nul.
Ainsi, il n’y a pas d’inverse car le déterminant vaut zéro.
Dans l’exemple précédent, la matrice était singulière, donc nous n’avons pas eu à passer par toutes les étapes du calcul de l’inverse. Cela montre qu’il est toujours très utile de trouver le déterminant avant de trouver la matrice complémentaire. Considérons un autre exemple où nous devons essayer de trouver l’inverse d’une matrice .
Exemple 4: Vérifier si une matrice 3 × 3 est singulière et déterminer son inverse si possible
Soit la matrice
- Déterminez si la matrice a un inverse en vérifiant si le déterminant est non nul.
- Si le déterminant est non nul, déterminez l’inverse en utilisant la formule de l’inverse qui implique la comatrice.
Réponse
Partie 1
La première partie de la question nous demande de vérifier si le déterminant est non nul, alors calculons le déterminant. Nous notons que la deuxième colonne a deux zéros, ce qui signifie qu’elle est déjà sous la forme optimale pour appliquer la méthode de développement des cofacteurs. Rappelons que le développement des cofacteurs le long de la colonne est
Soit la matrice donnée. Maintenant, si on prend , le calcul se simplifie à
Ainsi, il suffit de trouver . Pour le calculer, on trouve d’abord le mineur de en supprimant la ligne et la colonne auxquelles appartient et en en prenant le déterminant. Cela nous donne
Ensuite, nous pouvons trouver le cofacteur en appliquant la définition
Puisque , et , nous avons
Ainsi, nous avons . Comme le déterminant est non nul, la matrice a un inverse.
Partie 2
Rappelons que l’inverse est donné par la formule
Nous avons déjà calculé , alors calculons maintenant la matrice complémentaire, qui est la transposée de la comatrice.
Pour trouver la comatrice, nous devons d’abord trouver le mineur de chaque élément de la matrice. Pour la première ligne, ces mineurs sont
En continuant avec les deuxième et troisième lignes, où nous avons omis les étapes intermédiaires pour être plus concis, nous avons
Maintenant, nous pouvons utiliser les mineurs pour trouver les cofacteurs. Rappelons que les cofacteurs peuvent être obtenus à partir des mineurs correspondants en les multipliant par 1 ou , en fonction de leur position dans la matrice suivante :
En faisant cela pour chaque cofacteur et en les rassemblant dans une matrice, nous avons
Maintenant, nous pouvons trouver la matrice complémentaire en prenant la transposée de cette matrice. Nous le faisons en réécrivant chacune des lignes de comme une colonne de . Cela nous donne
Enfin, nous utilisons la formule pour l’inverse, :
À ce stade, nous devrions avoir une certaine familiarité avec la méthode de recherche de l’inverse d’une matrice , mais nous n’avons encore rien fait d’intéressant avec la matrice inverse résultante. Une utilisation clé de la matrice inverse est dans la résolution d’équations matricielles. Considérons une équation de la forme où et sont des matrices données et est une matrice inconnue. Si n’est pas singulière, alors l’inverse existe et nous pouvons multiplier à gauche les deux côtés de l’équation par et obtenir
Ainsi, si nous trouvons l’inverse de , on peut l’utiliser pour trouver la matrice inconnue comme indiqué. Voyons un exemple complet.
Exemple 5: Résoudre une équation matricielle en utilisant l’inverse d’une matrice
Supposons que , où et est une matrice .
- Calculez l’inverse de .
- Utilisez cette matrice inverse pour trouver .
Réponse
Partie 1
Commençons par calculer l’inverse de en utilisant la méthode des cofacteurs. Rappelons que nous avons
Ainsi, calculons d’abord suivi de et utilisons-les pour trouver l’inverse. Maintenant, nous pouvons trouver l’inverse de en utilisant le développement des cofacteurs sur la colonne 2 (car un élément est déjà nul). En d’autres termes, on utilise la formule où et sont les mineurs de et respectivement. Nous pouvons trouver les mineurs en retirant les lignes et les colonnes correspondantes de la matrice et en prenant le déterminant du résultat. En faisant cela pour les deux mineurs, on obtient
Ainsi, . Cela confirme en effet que l’inverse existe (bien que cela soit supposé car la question n’aurait pas de solution unique sinon). Maintenant, nous devons trouver la matrice complémentaire de . Nous le faisons en calculant d’abord les mineurs, puis la comatrice. Les mineurs de sont les suivants :
Nous pouvons maintenant construire la comatrice, ce que nous faisons en multipliant chaque mineur par 1 ou , en fonction de leur position dans la matrice suivante :
Cela nous permet d’obtenir la comatrice suivante :
Enfin, nous pouvons obtenir la matrice complémentaire en prenant la transposée de la matrice ci-dessus. Cela nous donne
Comme le déterminant vaut 1, nous avons , ce qui signifie que l’inverse est égal à la matrice ci-dessus :
Partie 2
Maintenant que nous avons trouvé , on peut trouver dans l’équation . Si l’on multiplie à gauche les deux côtés de l’équation par , alors on constate que
Ainsi, nous avons juste besoin d’effectuer la multiplication matricielle de et . Montrons cela pour le premier élément :
où nous avons effectué le calcul . En répétant cela pour les éléments restants, nous obtenons
Pour notre dernier exemple, nous considérons une situation où nous devons trouver l’inverse d’une matrice où les éléments sont des quantités variables.
Exemple 6: Déterminer l’inverse d’une matrice à éléments variables à l’aide de la méthode des cofacteurs
Déterminez l’inverse de la matrice
Réponse
Dans cette question, on suppose que la matrice donnée est inversible, donc nous n’avons pas besoin spécifiquement de vérifier si le déterminant est non nul. Néanmoins, il est toujours nécessaire de calculer le déterminant pour trouver l’inverse, car celui-ci est donné par où est le déterminant et est la matrice complémentaire (c’est-à-dire la transposée de la comatrice). Soit la matrice donnée. Rappelons que le déterminant peut être calculé en utilisant le développement des cofacteurs le long de la ligne :
D’ordinaire, il est utile de manipuler la matrice de sorte que deux des trois éléments d’une même ligne ou colonne soient égales à 0. Cela signifie que nous n’avons besoin que de trouver un seul cofacteur. Cependant, comme nous devrons de toute façon calculer tous les cofacteurs pour la comatrice, utilisons simplement le développement des cofacteurs sur la première ligne.
Afin de trouver les cofacteurs de la ligne 1, nous devons d’abord trouver les mineurs. Nous pouvons le faire pour chaque élément en supprimant la ligne et la colonne auxquelles cet élément appartient et en prenant le déterminant de la matrice résultante. Par exemple, le mineur de est
où nous avons utilisé l’identité trigonométrique de Pythagore, . En continuant avec les deux autres éléments, nous obtenons
Ici, on rappelle que . Ainsi, nous avons
Maintenant, la formule pour le développement des cofacteurs le long de la ligne 1 est
En utilisant le fait que , et , cela signifie que
Comme prévu, le déterminant est non nul. Nous devons maintenant trouver le reste des cofacteurs en calculant les mineurs correspondants. Pour les deuxième et troisième lignes, les mineurs sont
Calculons maintenant les cofacteurs, que nous pouvons obtenir en multipliant chaque mineur correspondant par 1 ou , en fonction de leur position dans la matrice suivante :
En calculant ces cofacteurs et en les mettant dans une matrice, nous avons
Ensuite, la matrice complémentaire peut être obtenue en prenant la transposée de cette matrice, ce qui signifie réécrire les lignes comme des colonnes. Cela nous donne
Enfin, on utilise la formule pour obtenir
Résumons les points clés que nous avons appris au cours de cette fiche explicative.
Points clés
- Soit une matrice de dimension . Ainsi, le mineur de l’élément (noté ) est le déterminant de la matrice obtenue après avoir retiré la ligne et la colonne de .
Ensuite, le cofacteur de l’élément (noté ) est égal à où est le mineur de l’élément . - Si est une matrice carrée, alors sa comatrice est définie par où chaque est le cofacteur de l’élément de .
- La matrice complémentaire de (appelée adjointe en anglais) est la transposée de la comatrice , c’est-à-dire
- Si est une matrice inversible (c.-à-d.), alors son inverse est où est le déterminant de .
- Comme une matrice n’est inversible que si le déterminant est non nul, il est important de vérifier si cela est vrai avant d’essayer de déterminer l’inverse en utilisant la méthode des cofacteurs. Nous pouvons rendre ce processus plus facile en utilisant les propriétés des déterminants.
- Étant donnée une équation matricielle de la forme , on peut trouver en multipliant à gauche par comme suit :
