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Inverse d’une matrice : La méthode de l’adjointe
Dans cette vidéo, nous allons voir comment trouver l’inverse d’une matrice carrée avec un déterminant non nul en utilisant la méthode de l’adjointe. Nous allons voir la méthode en détail, expliquer comment trouver les mineurs de la matrice, comment construire la matrice de cofacteurs, puis comment construire les adjointes de notre matrice. Nous allons ensuite voir quelques exemples expliquant comment utiliser cette méthode pour trouver les inverses.
Avant de discuter cette nouvelle méthode de détermination de l’inverse d’une matrice carrée, nous avons besoin d’abord passer en revue quelques nouveaux concepts. Nous allons commencer par définir le mineur d’une matrice. Si on a une matrice 𝐴 de taille 𝑚 fois 𝑛, alors le mineur de la matrice, qu’on note 𝐴 𝑖𝑗, est la matrice 𝐴 dans laquelle on supprime la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 de la matrice. Donc, le mineur 𝐴 𝑖𝑗 est exactement la matrice 𝐴. Cependant, on a supprimé la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗. Et on sait que si on supprime une ligne et une colonne de la matrice 𝐴, la nouvelle taille sera 𝑚 moins un par 𝑛 moins un. Et pour mieux comprendre ce concept voyons un exemple.
Commençons par la matrice 𝐴, qui est une matrice trois quatre définie comme suit. Maintenant, voyons comment nous allons construire le mineur deux trois de 𝐴. De la définition du mineur d’une matrice, on peut voir qu’on doit retirer la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 de la matrice 𝐴. Tout d’abord, la valeur de 𝑖 est deux. On doit donc supprimer la deuxième ligne de notre matrice 𝐴. Ensuite, on constate que la valeur de 𝑗 est égale à trois. On doit donc supprimer la troisième colonne de la matrice 𝐴. Ainsi, le mineur 𝐴 deux trois sera tous les éléments que nous n’avons pas supprimés. 𝐴 deux trois sera la matrice suivante.
Cependant, ce n’est pas le seul mineur que nous pouvons obtenir. Maintenant, construisons le mineur 𝐴 trois un. Cette fois, on peut constater la valeur de 𝑖 est égale à trois. On doit donc supprimer la troisième ligne de notre matrice 𝐴. On peut voir que la valeur de 𝑗 est un. On doit donc supprimer la première colonne de la matrice 𝐴. Et puis nous pouvons construire notre matrice 𝐴 trois un en utilisant tous les éléments restants, ceux que nous n’avons pas supprimés de 𝐴. Et on obtient 𝐴 trois un qui est la matrice suivante.
Les méthodes que nous utilisons dans cette vidéo nous aideront à déterminer si nous pouvons trouver l’inverse d’une matrice 𝑛 fois 𝑛. Cependant, on doit trouver le déterminant de toute matrice dont on veut trouver l’inverse. Et nous avons vu précédemment qu’il est difficile de calculer le déterminant pour les grandes matrices carrées. Nous allons donc nous concentrer principalement sur les matrices trois fois trois.
Et avant de faire cela, nous allons rappeler comment calculer le déterminant d’une matrice deux fois deux. Soit 𝐴 égal à la matrice deux fois deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Alors le déterminant de 𝐴 est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Nous pouvons à présent entamer la partie clé qui nous aidera à déterminer l’inverse d’une matrice carrée avec un déterminant non nul. Nous devons définir la matrice de cofacteurs d’une matrice 𝐴.
Premièrement, puisqu’on utilise cela pour trouver l’inverse d’une matrice, il faut que notre matrice 𝐴 soit une matrice carrée. Disons qu’elle est de taille 𝑛 fois 𝑛. Ensuite, pour construire notre matrice de cofacteurs, nous devons trouver tous les mineurs de la matrice 𝐴. Nous allons les appeler 𝐴 𝑖𝑗. Nous pouvons à présent construire la matrice de cofacteurs de 𝐴. Nous allons appeler cette matrice 𝐶. Et nous allons la définir élément par élément. L’élément sur la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 de notre matrice de cofacteurs sera défini par moins un puissance 𝑖 plus 𝑗 multiplié par le déterminant du mineur 𝐴 𝑖𝑗. Et rappelons que, notre matrice 𝐴 est une matrice carrée de taille 𝑛 𝑛. Ainsi, les valeurs de 𝑖 parcourront les lignes de notre matrice 𝐴. Et les valeurs de 𝑗 parcourront toutes les colonnes de notre matrice 𝐴. Ainsi, les valeurs de 𝑖 vont de un à 𝑛, et les valeurs de 𝑗 vont de un à 𝑛. Cela signifie que notre matrice de cofacteurs sera une matrice carrée. Elle sera de taille 𝑛 𝑛.
Il convient également de souligner qu’on peut souvent l’écrire sous toute sa forme matricielle. Et si nous le faisions, nous obtiendrions la représentation matricielle suivante de notre matrice de cofacteurs. Et il convient de souligner que tout ce que nous avons fait ici est de créer une matrice carrée 𝑛 fois 𝑛 où, dans la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗, nous avons utilisé notre formule pour définir l’élément. Mais généralement, il est beaucoup plus facile de travailler avec notre définition pour chaque élément individuellement. Avant de voir comment utiliser la matrice de cofacteurs pour trouver l’inverse d’une matrice, examinons quelques exemples.
Si 𝐴 est égal à la matrice trois trois moins cinq, huit, moins sept, six, zéro, un, cinq, moins quatre, moins huit, déterminez la valeur de moins un puissance un plus deux multiplié par le déterminant du mineur 𝐴 un deux.
On a une matrice carrée de taille trois trois. Et on nous demande de déterminer la valeur de moins un puissance un plus deux fois le déterminant du mineur 𝐴 un deux. Et bien que cela ne soit pas nécessaire, il convient de souligner qu’il s’agit de l’élément dans la première ligne et la deuxième colonne de notre matrice de cofacteurs.
La première étape pour répondre à cette question est de se rappeler ce qu’on entend par la matrice 𝐴 un deux. On appelle cela un mineur de matrice. Le mineur 𝐴 𝑖𝑗 signifie qu’on supprime la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 de la matrice 𝐴. Dans notre cas, nous pouvons voir que la valeur de 𝑖 est un et 𝑗 est égal à deux. Nous pouvons alors écrire cela dans notre définition du mineur. On voit que le mineur 𝐴 un deux signifie qu’on supprime la ligne un et la colonne deux de la matrice 𝐴.
Donc, pour trouver notre mineur 𝐴 un deux, nous devons commencer par la matrice 𝐴 puis supprimer la première ligne. Cela signifie qu’on supprime les trois éléments suivants. Ensuite, nous devons également supprimer la colonne deux. Cela signifie qu’on doit supprimer toute la deuxième colonne de la matrice 𝐴. Et nous pouvons voir que cela nous laisse avec seulement quatre éléments. Ensuite, nous pouvons écrire notre mineur 𝐴 un deux en construisant une matrice avec les quatre éléments restants. Cela nous donne 𝐴 un deux qui est la matrice deux deux six, un, cinq, moins huit.
Mais la question ne nous demande pas seulement de trouver le mineur 𝐴 un deux. Nous devons également trouver son déterminant. Et puisque 𝐴 un deux est une matrice deux deux, on peut le faire avec la formule du déterminant d’une matrice deux deux. Rappelons que le déterminant de la matrice carrée 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Dans notre cas, nous pouvons voir que 𝑎 est égal à six et 𝑑 est égal à moins huit. Et nous pouvons également voir que la valeur de 𝑏 est un et 𝑐 est égal à cinq. Donc, en utilisant cette formule, on obtient le déterminant de 𝐴 un deux qui est égal à six fois moins huit moins un fois cinq. Et si on évalue cette expression, on obtient moins 53.
Nous pouvons maintenant trouver la valeur de l’expression qui nous est donnée dans la question. On a moins un puissance un plus deux multiplié par le déterminant de 𝐴 un deux est égal à moins un au cube, puisque un plus deux est égal à trois, et moins 53, puisque nous avons déjà trouvé la valeur de ce déterminant. Et on peut simplifier cela et obtenir 53. Ainsi, nous avons pu montrer pour la matrice carrée 𝐴 qui nous est donnée dans la question, que la valeur de moins un puissance un plus deux fois le déterminant du mineur 𝐴 un deux est 53.
Passons maintenant à un exemple dans lequel on détermine une matrice de cofacteurs d’une matrice carrée de taille trois trois. Nous allons commencer par la matrice carrée de taille trois trois 𝐴 est égal à trois, zéro, moins trois, moins deux, moins trois, moins six, sept, trois, moins cinq. Et maintenant, rappelons que l’élément de la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 de notre matrice de cofacteurs sera moins un puissance 𝑖 plus 𝑗 multiplié par le déterminant du mineur 𝐴 𝑖𝑗.
Donc, pour trouver la matrice de cofacteurs, on doit d’abord trouver tous les mineurs de notre matrice. Commençons par le mineur 𝐴 un fois un. Cela signifie que nous allons devoir supprimer la première ligne et la première colonne de la matrice 𝐴. Cela nous donne la matrice de taille deux deux suivante. On a 𝐴 un un est moins trois, moins six, trois, moins cinq. Pour trouver notre matrice de cofacteurs, nous allons devoir trouver tous les mineurs de notre matrice.
Trouvons maintenant le mineur 𝐴 un deux. Cela signifie que nous devons supprimer la première ligne et la deuxième colonne de notre matrice 𝐴. Et cela nous laisse avec les quatre éléments suivants. Ainsi, le mineur 𝐴 un deux est moins deux, moins six, sept, moins cinq. Puisque la matrice 𝐴 est une matrice de taille trois trois, les valeurs de 𝑖 et 𝑗 iront de un à trois. Nous aurons donc au total neuf mineurs de matrices à calculer. Et on peut les trouver en utilisant la même méthode. On supprime la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 de la matrice 𝐴. Cela nous donne les neuf mineurs suivants.
On peut à présent voir à partir de notre définition de la matrice de cofacteurs que nous devons trouver le déterminant de tous ces mineurs. Et puisque toutes ces matrices sont de taille deux deux, on peut le faire en utilisant la formule du déterminant de la matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 qui est 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Commençons par trouver le déterminant du mineur 𝐴 un un. Cela est égal à moins trois fois moins cinq moins moins six multiplié par trois. Et le résultat de cette opération, est 33.
On peut alors faire exactement la même chose pour trouver le déterminant du mineur 𝐴 un deux. C’est égal à moins deux fois moins cinq moins moins six multiplié par sept. Et le résultat de cette expression, est 52. En utilisant exactement la même méthode, on peut trouver les déterminants de tous les mineurs de notre matrice. Nous obtiendrions les valeurs suivantes.
Maintenant que nous avons trouvé les déterminants de tous les mineurs de notre matrice, nous pouvons trouver tous les éléments de notre matrice de cofacteurs. Nous allons commencer par l’élément dans la première ligne et la première colonne de notre matrice de cofacteurs. Il est égal à moins un puissance un plus un multiplié par le déterminant de notre mineur 𝐴 un un. Eh bien, nous savons que moins un puissance un plus un est égal à un. Et nous avons déjà montré que le déterminant de 𝐴 un un est égal à 33. Donc 𝐶 un un sera égal à 33. Nous avons donc montré que 𝐶 un un est égal à 33. Et en fait, nous pouvons ajouter cela dans notre matrice de cofacteurs dans la première ligne et première colonne.
Nous pouvons faire de même pour trouver l’élément dans la première ligne, dans la deuxième colonne. C’est égal à moins un puissance un plus deux fois le déterminant de 𝐴 un deux. Et puisque le déterminant de 𝐴 un deux est 52, cela donne moins 52. Et on peut ensuite ajouter cela dans notre matrice de cofacteurs dans la première ligne et la deuxième colonne. Et on peut faire exactement la même chose pour trouver tous les éléments restants de notre matrice de cofacteurs. Cela nous donne les valeurs suivantes. Et comme précédemment, on peut alors les ajouter dans notre matrice de cofacteurs 𝐶.
Il y a une chose que nous devons souligner ici. Lorsqu’on calcule 𝐶 𝑖𝑗, on multiplie le déterminant du mineur par moins un puissance 𝑖 plus 𝑗. Cela signifie que dans la première ligne, la première colonne, on multipliera toujours par plus un. Et puis à la première ligne et à la deuxième colonne, on multipliera toujours par moins un. Et ce modèle continue. Et certaines personnes préfèrent l’utiliser plutôt que de multiplier par moins un puissance 𝑖 plus 𝑗. Il faut juste se rappeler de multiplier notre déterminant par la valeur.
Maintenant que nous avons créé notre matrice de cofacteurs, nous pouvons voir comment l’utiliser pour trouver l’inverse de notre matrice. Mais avant, il nous faut une dernière définition. La matrice adjointe d’une matrice 𝐴, notée adjoint 𝐴, est égale à la transposée de notre matrice 𝐶, où 𝐶 est la matrice de cofacteurs de 𝐴. Et il convient également de se rappeler que lorsqu’on évalue la transposée d’une matrice, on change les lignes en colonnes.
Et maintenant, nous pouvons voir comment trouver l’inverse d’une matrice carrée. Alors, si 𝐴 est une matrice carrée et que le déterminant de 𝐴 n’est pas égal à zéro, alors l’inverse de 𝐴 sera égal à un divisé par le déterminant de 𝐴 multiplié par l’adjointe de 𝐴. Donc, pour trouver l’inverse d’une matrice carrée, il y a deux parties. On doit d’abord trouver le déterminant de 𝐴, puis trouver l’adjointe de 𝐴. Et retenez que, si le déterminant de 𝐴 est égal à zéro, alors la matrice n’a pas d’inverse. Donc normalement, on vérifie d’abord cela.
Voyons maintenant quelques exemples dans lesquels on utilise la méthode de l’adjointe pour trouver l’inverse de certaines matrices.
Considérons la matrice un, zéro, trois, un, zéro, un, trois, un, zéro. Déterminez si la matrice a un inverse en vérifiant si le déterminant est non-nul. Si le déterminant est non-nul, trouvez l’inverse en utilisant la formule de l’inverse qui implique la matrice de cofacteurs.
On a une matrice de taille trois trois. Et la première chose qu’on nous demande de faire est de déterminer si cette matrice a un inverse en trouvant d’abord le déterminant de la matrice et en vérifiant si celui-ci est égal à zéro ou non. Rappelons que si le déterminant d’une matrice est égal à zéro, alors cette matrice ne peut pas être inversible. Et pour une matrice carrée, si son déterminant n’est pas égal à zéro, alors elle est inversible. Nous devons donc commencer par trouver le déterminant de la matrice. Nous allons appeler cette matrice 𝐴.
On peut déterminer le déterminant d’une matrice de différentes façons. La façon la plus simple est de déterminer quelle ligne ou colonne contient le plus grand nombre de zéros. Pour notre matrice 𝐴, on peut voir qu’il s’agit de la colonne deux. Elle contient deux zéros. Ensuite, nous devons rappeler la formule pour le déterminant d’une matrice de taille trois trois où nous choisissons une colonne 𝑗. Cela nous donne l’expression suivante, où petit 𝑎 un 𝑗, petit 𝑎 deux 𝑗 et petit 𝑎 trois 𝑗 sont les éléments de la ligne un, colonne 𝑗 ; ligne deux, colonne 𝑗 ; et ligne trois, colonne 𝑗 de notre matrice 𝐴. Et grand 𝐴 un 𝑗, grand 𝐴 deux 𝑗 et grand 𝐴 trois 𝑗 sont les mineurs de notre matrice.
Puisque nous avons choisi la deuxième colonne, notre valeur de 𝑗 est deux. Donc, en utilisant 𝑗 est égal à deux, on obtient l’expression suivante. Et nous pouvons simplifier cela. Moins un puissance un plus deux est égal à moins un. Moins un puissance deux plus deux est égal à un. Et moins un puissance trois plus deux est égal à moins un. Nous pouvons donc simplifier notre expression et obtenir ce qui suit.
On peut alors utiliser la définition de la matrice 𝐴 pour trouver certaines de ces valeurs. Premièrement, petit 𝑎 un deux est l’élément de la ligne un, colonne deux de notre matrice. On peut voir qu’il s’agit de zéro. Ensuite, petit 𝑎 deux deux correspond à l’élément de la ligne deux, colonne deux. On peut voir que c’est aussi zéro. Enfin, petit 𝑎 trois deux correspond à l’élément de la ligne trois, colonne deux. On peut voir que cela est égal à un. Nos deux premiers termes ont donc un facteur nul et sont donc zéro. Donc, toute cette expression devient moins un multiplié par le déterminant du mineur 𝑎 trois deux. Et on peut trouver le mineur 𝐴 trois deux à partir de la définition de 𝐴.
Rappelons que, nous devons supprimer la ligne trois et la colonne deux de la matrice 𝐴. Et cela ne nous laisse que quatre éléments: un, trois, un, un. Donc, notre matrice adjointe 𝐴 trois deux est la matrice deux deux un, trois, un, un. Ainsi, le déterminant de 𝐴 est moins un fois le déterminant de la matrice deux deux un, trois, un, un. Et nous savons comment calculer le déterminant d’une matrice de taille deux deux. Le déterminant d’une matrice de taille deux deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Et en utilisant cela, on peut démontrer que le déterminant de la matrice deux deux un, trois, un, un est égal à un fois un moins trois fois un. Et bien sûr, nous devons toujours multiplier cela par moins un. Et si nous simplifions cette expression, le résultat est deux. Et donc, puisque le déterminant de notre matrice carrée n’est pas égal à zéro, nous pouvons conclure qu’il doit avoir un inverse.
La prochaine partie de notre question consiste à trouver l’inverse de la matrice en utilisant la formule qui utilise la matrice de cofacteurs. Donc, créons de l’espace, et voyons comment faire cela pour la matrice 𝐴. Rappelons qu’on peut trouver l’inverse d’une matrice en suivant cinq étapes.
Tout d’abord, nous devons calculer le déterminant de la matrice 𝐴. On fait d’abord cela car si c’est égal à zéro, on ne peut pas trouver d’inverse. Et nous l’avons déjà fait dans la première partie de la question. Nous avons constaté que le déterminant de notre matrice 𝐴 était égal à deux.
La deuxième chose à faire est de trouver tous les mineurs de notre matrice. Rappelons que, le mineur 𝐴 𝑖𝑗 est notre matrice 𝐴 où on supprimer la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗. Commençons par trouver 𝐴 un un. Cela signifie que nous devons enlever la première ligne et la première colonne de la matrice 𝐴. On enlève donc la première ligne et la première colonne de la matrice 𝐴. Et ce faisant, il ne reste que quatre éléments. Ainsi, le mineur 𝐴 un un est égal à la matrice de taille deux deux zéro, un, un, zéro. Nous devons trouver tous nos mineurs. Nous devons maintenant trouver 𝐴 un deux. Cela signifie qu’on supprime la première ligne et la deuxième colonne de la matrice 𝐴. Ce faisant, on peut voir qu’il nous reste quatre éléments: un, un, trois et zéro. Ainsi, la matrice mineure 𝐴 un deux est la matrice un, un, trois, zéro. Et on peut utiliser exactement la même méthode pour trouver tous les mineurs de notre matrice. On obtient les neuf matrices suivantes.
La troisième chose à faire est de construire la matrice de cofacteurs. Et rappelons que, l’élément de la ligne 𝑖, colonne 𝑗 de notre matrice de cofacteurs est égal à moins un puissance 𝑖 plus 𝑗 multiplié par le déterminant du mineur 𝐴 𝑖𝑗. Cela signifie que nous devons trouver les déterminants des neuf mineurs de notre matrice. Et nous savons comment déterminer le déterminant des matrices deux deux. Par exemple, le déterminant de 𝐴 un un sera égal à zéro fois zéro moins un fois un. Et nous pouvons évaluer cette expression. C’est égal à moins un.
Nous pouvons faire exactement la même chose pour trouver le déterminant de notre deuxième matrice de cofacteurs. On obtient que c’est égal à un fois zéro moins un fois trois, que nous pouvons obtenir comme égal à moins trois. Et nous pouvons faire exactement la même chose pour trouver le déterminant de tous les autres mineurs. On obtient les valeurs suivantes. Mais rappelons qu’on doit les multiplier par moins un puissance 𝑖 plus 𝑗. En d’autres termes, on multiplie le déterminant de 𝐴 un un par un. On multiplie ensuite le déterminant de 𝐴 un deux par moins un, cela nous donne plus trois, et on multiplie le déterminant de 𝐴 un trois par un. On multiplie le déterminant de 𝐴 deux un par moins un. Cela donne plus trois. Et on continue ainsi pour tous les mineurs. Cela nous donne les valeurs suivantes.
Et rappelons que chacune de ces valeurs est un élément dans notre matrice de cofacteurs. Donc, en remplissant la ligne 𝑖, la colonne 𝑗 avec chacune de ces valeurs, notre matrice de cofacteurs 𝐶 est la matrice trois trois suivante. Effaçons notre solution et passons à la quatrième étape. Nous devons maintenant trouver notre matrice adjointe. C’est la transposée de notre matrice de cofacteurs.
Rappelons que la transposée d’une matrice signifie qu’on doit changer les lignes avec les colonnes. Ainsi, lorsqu’on transpose la matrice de cofacteurs, notre première ligne sera moins un, trois, zéro. Nous écrivons donc dans la première ligne moins un, trois, zéro. Et notre deuxième ligne sera trois, moins neuf, deux. Et notre troisième ligne sera un, moins un, zéro. Et c’est l’adjointe de notre matrice 𝐴. Il ne reste plus qu’à utiliser notre formule pour trouver 𝐴 inverse.
En utilisant notre formule pour 𝐴 inverse, on obtient que 𝐴 inverse est égal à l’expression suivante. Et puis on peut simplifier cette matrice pour trouver la matrice trois trois qui est l’inverse de 𝐴.
Passons maintenant en revue les points clés de cette vidéo. Premièrement, on obtient le mineur 𝐴 𝑖𝑗 d’une matrice 𝐴 en supprimant la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 de 𝐴. Nous savons également que pour une matrice carrée, sa matrice de cofacteurs sera de même taille. Et les éléments de notre matrice de cofacteurs sont générés en utilisant la formule suivante. Nous savons que l’adjointe de 𝐴 est la transposée de la matrice de cofacteurs. Et enfin, pour une matrice carrée dont le déterminant est non-nul, nous avons vu que l’inverse de 𝐴 est égal à un sur le déterminant de 𝐴 fois l’adjointe de 𝐴.
