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Une fonction 𝑓 est représentée graphiquement par la figure ci-dessous. Quel est l’ensemble image de la fonction ?
Dans cette question, on a représenté graphiquement une fonction 𝑓 et on nous demande de déterminer l’ensemble image de cette fonction. Alors, pour ce faire, commençons par rappeler ce que nous entendons par l’ensemble image d’une fonction. Nous rappelons que lorsque nous parlons de « l’ensemble image d’une fonction », nous faisons référence à l’ensemble de toutes les images possibles par cette fonction. Et il y a quelque chose qui mérite d’être souligné dans cette définition. L’ensemble de toutes les images possibles par une fonction va dépendre de l’ensemble des antécédents possibles. En d’autres termes, l’ensemble image d’une fonction dépend du domaine de définition de cette fonction.
Ainsi, lorsque dans cette question on nous demande de trouver l’ensemble image de cette fonction, nous devons déterminer toutes les images possibles que notre fonction peut nous donner. Nous allons ainsi pouvoir le faire à partir de notre graphique. Et rappelez-vous que sur un graphique, les valeurs des 𝑥 sont les antécédents et les celles des 𝑦 sont les images par notre fonction. Et avant même de commencer à chercher l’ensemble image de notre fonction, nous pouvons noter quelques éléments intéressants sur ce graphique.
La première chose que nous pouvons remarquer est que notre fonction n’est définie que par quatre points. Nous sommes habitués à voir des fonctions qui sont représentées par des courbes ou des droites. Cependant, dans ce cas, notre fonction n’est représentée que par quatre points. Et chacun de ces points va représenter un antécédent 𝑥 et une image 𝑦. Par conséquent, comme il n’y a que quatre points, notre ensemble de définition aura quatre antécédents 𝑥. Et comme nous le verrons, cela ne signifie pas nécessairement que l’ensemble image sera constitué de quatre valeurs.
L’autre élément que nous pouvons remarquer est que nos axes ne se coupent pas à l’origine. Cela ne changera rien ; il est cependant utile de noter cette information.
Nous sommes maintenant prêts à utiliser notre graphique pour trouver l’ensemble image de notre fonction 𝑓. Pour ce faire, nous allons trouver les antécédents possibles par notre fonction puis utiliser notre graphique pour trouver les images correspondantes par notre fonction. Commençons par le point le plus à gauche de notre graphique. Nous pouvons voir que l’antécédent 𝑥 de ce point est un. Par conséquent, on peut prendre un comme antécédent par notre fonction. Et rappelez-vous que l’ordonnée 𝑦 correspondante de ce point représente l’image par notre fonction lorsque 𝑥 est égal à un. Et nous pouvons voir que c’est égal moins deux. Par conséquent, 𝑓 évaluée en un vaut moins deux. Nous avons donc montré que moins deux se situe dans l’ensemble image de notre fonction car c’est une image possible.
Passons maintenant au deuxième point. Nous pouvons voir que celui-ci a une abscisse 𝑥 égale à deux. Par conséquent, deux est un antécédent possible par notre fonction. Encore une fois, nous pouvons utiliser l’ordonnée 𝑦 de ce point pour évaluer 𝑓 en deux. Et l’ordonnée 𝑦 de ce point est moins trois. Par conséquent nous savons, d’après la représentation graphique de cette fonction, que l’image de deux doit être égale à moins trois. Et bien entendu, cela nous indique que moins trois est également dans l’ensemble image de notre fonction parce que c’est une image possible par notre fonction.
Nous pouvons ensuite faire exactement la même chose pour notre troisième point. Nous pouvons voir que son abscisse 𝑥 est égale à trois. Ainsi, trois est un antécédent possible par notre fonction. Et rappelez-vous que cela signifie également que trois est dans le domaine de définition de notre fonction. Et l’ordonnée 𝑦 de ce point nous indiquera l’image par notre fonction lorsque nous avons pour antécédent une valeur égale à trois. Et nous pouvons voir que cette ordonnée 𝑦 est nulle. Par conséquent, d’après notre graphique, nous avons que 𝑓 évaluée en trois est égale à zéro. Et encore une fois, cela nous dit aussi que zéro est dans l’ensemble image de notre fonction.
Passons maintenant à notre quatrième et dernier point. Nous pouvons voir que son abscisse 𝑥 est égale à quatre. Ainsi, quatre est un antécédent possible par notre fonction. En d’autres termes, quatre appartient au domaine de définition de notre fonction. Et nous voulons voir l’image par notre fonction lorsque 𝑥 est égal à quatre. Nous devons donc trouver l’ordonnée 𝑦 de ce point. Nous pouvons voir qu’elle est égale à moins trois. Par conséquent, d’après notre graphique, nous avons que 𝑓 évaluée en quatre est égale à moins trois. Et cela nous dit que moins trois est dans l’ensemble image de notre fonction. Cependant, nous savions déjà que moins trois était dans l’ensemble image de notre fonction parce que 𝑓 évaluée en deux est égale à moins trois.
Et lorsque nous cherchons l’ensemble image d’une fonction, nous devons connaître l’ensemble de toutes les images possibles par notre fonction. Nous n’avons pas besoin de savoir le nombre d’antécédents possibles 𝑥 qui nous donnent nos images par la fonction. Tout ce qui nous intéresse, c’est qu’au moins un antécédent 𝑥 nous donne cette image par la fonction. Nous n’avons donc trouvé que trois images par notre fonction. Et il convient de souligner ici que nous n’avons plus besoin de faire le travail pour d’autres antécédents de 𝑥 parce que nous devons seulement considérer les antécédents de 𝑥 qui apparaissent sur notre graphique et nous avons vu que la fonction n’est représentée que par quatre points. Il suffit donc de considérer seulement ces quatre points.
Ainsi, ces trois valeurs sont donc les seules valeurs possibles pour les images par notre fonction. Ils vont constituer l’ensemble image de notre fonction. Et rappelez-vous que l’ensemble image d’une fonction est un ensemble. Nous devons donc donner notre réponse en utilisant la notation des ensembles. Nous écrirons l’ensemble image de notre fonction comme l’ensemble contenant moins trois, moins deux et zéro. Et bien sûr, comme il s’agit d’un ensemble, nous pouvons écrire les éléments de notre ensemble dans n’importe quel ordre. Cela ne changera pas le résultat. C’est un choix personnel. Par conséquent, étant donné la représentation graphique de la fonction 𝑓, nous avons pu déterminer l’ensemble image de notre fonction. C’était l’ensemble contenant moins trois, moins deux et zéro.
