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On considère 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus deux. La fonction subit une translation de 𝑎 unités suivant l’axe des 𝑦 pour obtenir la fonction 𝑔 de 𝑥, qui est égale à 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus neuf. Déterminez la valeur de 𝑎.
Pour commencer, nous notons qu’on nous dit que 𝑔 de 𝑥 est une translation de 𝑓 de 𝑥 suivant l’axe des 𝑦. On peut alors rappeler qu’une translation selon l’axe des 𝑦 est donnée en ajoutant une constante à la fonction. En général, pour que 𝑔 de 𝑥 soit une translation verticale de 𝑓 de 𝑥, il faut que 𝑔 de 𝑥 soit égale à 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎. Alors, 𝑔 de 𝑥 est une translation de 𝑓 de 𝑥 de 𝑎 unités suivant l’axe des 𝑦, où il convient de noter que le signe de 𝑎 nous indique le sens de la translation. Si 𝑎 est positif, alors la translation est vers le haut, et si 𝑎 est négatif, alors la translation est vers le bas.
Nous pouvons utiliser cette équation pour trouver une équation pour déterminer 𝑎 en substituant les expressions données pour 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 dans cette équation, substituer les expressions données dans l’équation donne 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus neuf est égal à 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus deux plus 𝑎. Nous voulons maintenant résoudre cette équation pour déterminer 𝑎. Nous pouvons commencer par soustraire 𝑥 au carré des deux membres de l’équation. En même temps, nous pouvons ajouter quatre 𝑥 aux deux membres de l’équation. Et nous pouvons également soustraire deux des deux membres de l’équation pour isoler 𝑎 au membre droit de l’équation. Cela nous donne alors que la valeur de 𝑎 est égale à sept.
Il convient également de noter que nous pouvons vérifier notre réponse en trouvant une expression pour 𝑓 de 𝑥 plus sept, c’est-à-dire en appliquant une translation à 𝑓 de 𝑥 de sept unités dans le sens positif de l’axe des 𝑦. Nous substituons l’expression qui nous est donnée à 𝑓 de 𝑥 pour obtenir 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus deux plus sept. Nous simplifions ensuite en calculant deux plus sept est égal à neuf, ce qui nous donne 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus neuf. Enfin, nous voyons que c’est exactement la même chose que l’expression qui nous est donnée pour 𝑔 de 𝑥, confirmant que la valeur de 𝑎 est égale à sept.
