Vidéo de la leçon: Transformations de fonctions : translation Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment identifier les transformations de fonctions impliquant des translations horizontales et verticales. Supposons que l’on étudie la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à deux 𝑥 carré plus trois. Il est important de rappeler qu’une fonction n’est qu’une série de valeurs de la variable et d’images. Dans ce cas, 𝑥 est la variable. Et lorsque l’on substitue une valeur de la variable spécifique dans l’expression à droite et qu’on l’évalue, on obtient une image spécifique. On va maintenant étudier les différentes façons dont on peut changer les valeurs de la variable ou de l’image d’une fonction. Et on verra comment ces changements affectent la courbe représentative de la fonction.

Lorsqu’on a commencé à étudier les fonctions, vous avez peut-être vu cette représentation. Si 𝑥 est la variable, alors 𝑓 de 𝑥, c’est-à-dire la fonction de 𝑥, représente son image. Il existe deux types de transformations de fonctions. Le premier consiste à modifier les valeurs de l’image. Par exemple, on pourrait additionner trois à chacune des images. Cela signifie que les valeurs de la variable restent les mêmes mais que l’on additionne trois à chaque valeur de y. Le deuxième type consiste à modifier les valeurs de la variable, par exemple en leur additionnant trois. Cela signifie qu’au lieu d’avoir simplement 𝑥 comme variable, on additionne trois à chacune des valeurs de la variable d’origine et on observe leurs images correspondantes.

Il pourrait alors être tentant de penser que ces deux types de transformations produisent le même résultat. On va cependant commencer par observer les effets d’un changement de l’image. On comparera ensuite ces résultats avec les effets d’un changement de variable.

Supposons qu’on a ici la courbe représentative de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. On peut transformer cette fonction en additionnant quatre à l’image, c’est-à-dire aux valeurs de 𝑓 de 𝑥. Commençons par prendre ce point de coordonnées zéro, moins deux de la fonction d’origine. Et on peut même considérer cela comme une représentation de f de x. Le point zéro, moins deux signifie que pour une valeur de la variable égale à zéro, son image est moins deux. Pour la fonction transformée, on doit cependant additionner quatre à chaque image. Donc, une valeur de zéro donne une image de moins deux plus quatre. Comme moins deux plus quatre égale deux, cela signifie que la fonction transformée passe par les coordonnées zéro, deux.

Prenons maintenant un autre point de la fonction d’origine. Ce point moins deux, deux signifie que pour une valeur de moins deux, l’image est deux. Si on le transforme en additionnant quatre à l’image, on obtient une nouvelle valeur de 𝑦 égale à six. Donc la courbe transformée passe par le point moins deux, six. Et en prenant un troisième point, par exemple deux, deux, on peut voir que la courbe transformée passera par le point deux, six. On peut alors tracer la fonction transformée 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 plus quatre en reliant ces trois points par une courbe.

Mais que remarque-t-on exactement sur cette fonction transformée ? Tout d’abord, on remarque que chaque point a été déplacé vers le haut de quatre unités. On note également que la fonction transformée a exactement la même forme et la même taille que la fonction d’origine. Elle a juste été translatée. On peut donc en déduire une propriété générale : si on transforme une fonction en lui additionnant 𝑎 unités pour toute valeur réelle positive 𝑎, alors la nouvelle fonction peut être définie par 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎 et sa courbe représentative est translatée de 𝑎 unités vers le haut.

Voyons à présent comment cette fonction change si on soustrait, au lieu d’additionner, quatre à l’image. On peut à nouveau commencer par le point zéro, moins deux, en rappelant que cela signifie que pour une valeur de la variable de zéro, son image par la fonction est moins deux. Donc le point correspondant de la fonction transformée a les coordonnées zéro, moins six. En prenant un point différent de coordonnées moins deux, deux, on soustrait quatre à l’image pour la transformer. Deux moins quatre égale moins deux. Donc le point de coordonnées moins deux, moins deux, se trouvera sur la courbe transformée.

Et on peut alors commencer à identifier un modèle : la fonction est cette fois translatée de quatre unités vers le bas. En vérifiant cela avec un autre point de coordonnées trois, sept, on trouve que le point trois, trois apparaîtra sur la courbe transformée. On peut visualiser la courbe représentative de la fonction transformée en traçant une courbe passant par ces trois points. Concernant ce type de schéma, ne vous inquiétez pas si votre courbe n’est pas parfaite. Le principal est de bien indiquer les points essentiels et que la forme générale de la courbe représentative de la fonction soit correcte.

On peut alors compléter la propriété précédente : si on transforme une fonction en lui soustrayant 𝑎 pour toute valeur réelle positive 𝑎, alors la nouvelle équation peut être définie par 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 moins 𝑎. Et la courbe représentative est translatée de 𝑎 unités vers le bas. Donc en général, si on transforme une fonction en additionnant ou en soustrayant des valeurs à son image, sa courbe représentative sera translatée verticalement. Maintenant qu’on a étudié les changements d’images, voyons ce qui se passe lorsque l’on change la variable d’une fonction. On peut garder la même représentation de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. Mais cette fois on va changer les valeurs de la variable en leur additionnant trois.

On peut prendre ce point de coordonnées zéro, moins deux en rappelant que cela signifie que pour cette fonction, une valeur de zéro donne une image correspondante de moins deux. Lorsque la variable est 𝑥, son image est assez facile à déterminer. Mais voyons ce qui se passe lorsque la variable devient 𝑥 plus trois. Lorsque la valeur zéro est en fait égale à 𝑥 plus trois, cela signifie que la valeur de 𝑥 doit être moins trois puisque moins trois plus trois égale zéro. Cela signifie qu’on peut tracer un des points de la fonction transformée qui a comme coordonnées moins trois, moins deux.

Essayons maintenant avec un autre point. Regardons le point de coordonnées moins deux, deux. On rappelle que cela signifie que lorsque la variable est égale à moins deux, son image par la fonction est deux. Donc lorsque 𝑥 plus trois égale moins deux, la valeur de 𝑥 doit être moins cinq. Cette fois, on trace le point de coordonnées moins cinq, deux. Et vous avez peut-être déjà repéré un schéma. Il semble que la courbe transformée soit située à trois unités à gauche de la courbe d’origine. Vérifions un autre point pour nous en assurer. On prend le point deux, deux. Avec cette transformation de la fonction, on suppose que 𝑥 plus trois égale deux. Cela signifie donc que 𝑥 doit être égal à moins un.

En traçant ce point sur le graphique, on peut confirmer qu’il s’agit bien d’une translation de trois unités vers la gauche. La fonction transformée 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 plus trois ressemblerait à ceci. On peut en déduire ainsi une nouvelle propriété : si on transforme une fonction en additionnant 𝑎 à la variable pour toute valeur réelle positive 𝑎, alors la nouvelle fonction peut être définie par 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎 et sa courbe représentative est translatée de 𝑎 unités vers la gauche.

On peut maintenant considérer ce qui se passe lorsqu’on transforme une fonction en soustrayant trois unités à la variable. On commence à nouveau avec le point de coordonnées zéro, moins deux. Rappelez-vous qu’une fois de plus, on n’a pas simplement 𝑥 égale zéro mais 𝑥 moins trois égale zéro. Et lorsque 𝑥 moins trois est égal à zéro, 𝑥 doit être égal à trois. Il s’agit ainsi de notre premier point : il a les coordonnées trois, moins deux.

On prend alors un autre point de coordonnées trois, sept, en rappelant qu’avec cette transformation, on suppose que la valeur trois est en fait égale à 𝑥 moins trois. Donc, la valeur de 𝑥 est six, et cela donne le point de coordonnés six, sept. On observe donc cette fois une translation de trois unités vers la droite. Et cela est vrai pour tout point qu’on pourrait choisir. On peut relier les points pour obtenir la courbe représentative de la fonction transformée 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 moins trois, comme ceci.

Et on peut compléter notre propriété : lorsque l’on transforme une fonction en soustrayant 𝑎 à la variable pour toute valeur réelle positive 𝑎, la nouvelle équation peut être définie par 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 moins 𝑎 et la courbe représentative est translatée de 𝑎 unités vers la droite. Cette transformation peut peut-être porter à confusion. On pourrait penser qu’en additionnant 𝑎 unités, la translation serait vers la droite. Mais c’est en fait l’inverse. La translation sera vers la gauche. Et lorsque l’on soustrait 𝑎 à la variable, la courbe n’est pas translatée vers la gauche mais vers la droite.

Il peut être utile de mémoriser ces transformations mais il est également très important de comprendre ce qui se passe et pourquoi. On va maintenant étudier quelques exemples impliquant des transformations de fonctions.

Laquelle des courbes représentatives suivantes est celle de 𝑓 de 𝑥 égale racine cubique de 𝑥 moins un ?

On peut aborder cette question de plusieurs façons. On peut aborder cette question de plusieurs façons. Une méthode consiste à prendre plusieurs valeurs de la variable 𝑥 et à calculer leur image, c’est-à-dire 𝑓 de 𝑥. Prenons par exemple les valeurs de 𝑥 suivantes moins un, zéro et un. Lorsque 𝑥 est égal à moins un, la racine cubique de moins un est moins un. Puis en soustrayant un à cela, on obtient moins deux. Lorsque 𝑥 égale zéro, la racine cubique de zéro est zéro, et soustraire un nous donne moins un. Enfin, lorsque 𝑥 égale un, la racine cubique de un est un, et soustraire un nous donne une image égale à zéro.

On sait alors que la courbe doit passer par les points de coordonnées moins un, moins deux ; zéro, moins un et un, zéro. La seule courbe qui passe par ces points est la (b). Il s’agit donc de la réponse à la question. Une autre méthode pour résoudre ce problème implique les transformations de fonctions. On peut considérer la fonction 𝑓 de 𝑥 égale racine cubique de 𝑥. Et remarquer que la fonction donnée est légèrement différente de racine cubique de x car on soustrait un à son image.

On peut tracer un schéma rapide de la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥 égale racine cubique de 𝑥. Et on rappelle alors que si on transforme une fonction en soustrayant 𝑎 unités à l’image pour une valeur réelle positive 𝑎, alors la courbe est translatée de 𝑎 unités vers le bas. Dans ce cas, on soustrait un à l’image, donc on translate la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥 égale racine cubique de 𝑥 d’une unité vers le bas. La courbe correspondant à cette transformation est la (b). Et on retrouve la même réponse.

Passons maintenant à un autre exemple.

La fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 est translatée de huit unités vers le bas. Déterminez l’équation de la courbe translatée en fonction de 𝑓 de 𝑥.

Cette question mentionne une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. Mais on ne sait pas à quoi elle ressemble. Il pourrait par exemple s’agir d’une droite, d’une parabole ou même d’une courbe sinusoïdale. Cependant, ce n'est pas important de savoir à quoi la fonction ressemble tant qu’il sera toujours possible d’écrire l’équation de sa courbe en fonction des informations sur sa translation.

Comme il est indiqué que la translation est vers le bas, alors on peut utiliser le fait que lorsque l’on change l’image d’une fonction en soustrayant 𝑎 pour toute valeur réelle positive 𝑎, la courbe représentative est translatée de 𝑎 unités vers le bas. Et la nouvelle équation peut être définie par 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 moins 𝑎. Dans cette question, on nous dit que la courbe est translatée de huit unités vers le bas, donc on soustrait huit à son image. Par conséquent, l’équation de la courbe translatée est 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 moins huit.

On va maintenant étudier un exemple similaire. Mais, cette fois la translation sera horizontale.

La fonction 𝑦 égale 𝑥 moins une fois deux 𝑥 moins trois fois quatre moins 𝑥 est translatée de deux unités dans le sens des abscisses positives. Quelle est l’équation de la fonction résultante ?

Dans cette question on nous donne l’expression de la fonction et des informations sur sa translation. Mais ne vous inquiétez pas, il n’est pas nécessaire de représenter graphiquement cette fonction pour pouvoir répondre à la question. On va plutôt suivre un raisonnement logique sachant qu’il s’agit d’une translation dans le sens des abscisses positives. Le fait que les abscisses sont positives est juste une autre façon de dire que cette translation est vers la droite.

Lorsqu’une courbe est translatée de 𝑎 unités vers la droite, cela signifie que l’on effectue le changement de variable 𝑥 moins 𝑎 pour toute valeur réelle positive 𝑎. Comme cette courbe a été translatée de deux unités vers la droite. cela signifie que la variable a été remplacée par 𝑥 moins deux. Pour trouver l’équation de la fonction transformée, on prend donc chaque valeur de 𝑥 et on la remplace par 𝑥 moins deux. Et cette opération est assez simple. Pour le premier ensemble de parenthèses, on obtient 𝑥 moins deux moins un. Pour le deuxième ensemble de parenthèses, on doit être un peu plus prudents. La variable initiale 𝑥 est multipliée par deux.

Et pour le dernier terme, comme 𝑥 était soustrait à quatre, alors on doit soustraire quatre à 𝑥 moins deux. On peut alors simplifier l’équation. Le premier ensemble de parenthèses devient 𝑥 moins trois. On multiplie ensuite le deux par le terme 𝑥 moins deux, ce qui donne deux 𝑥 moins quatre. Et soustraire trois à cela nous donne deux 𝑥 moins sept.

Pour le dernier terme, on multiplie par le signe moins et on obtient quatre moins 𝑥 plus deux, ce qui se simplifie par six moins 𝑥. On peut alors conclure que la courbe translatée a pour équation 𝑦 égale 𝑥 moins trois fois deux 𝑥 moins sept fois six moins 𝑥.

On est maintenant prêts à étudier un exemple impliquant plusieurs transformations.

La courbe ci-dessous est une transformation de la courbe représentative de 𝑦 égale valeur absolue de 𝑥. À quelle fonction correspond-elle ? Écrivez votre réponse sous une forme mettant en évidence la transformation.

Cette question nous donne la courbe représentative d’une fonction qui est une transformation de 𝑦 égale valeur absolue de 𝑥. Il serait donc utile de rappeler à quoi ressemble la courbe représentative de 𝑦 égale valeur absolue de 𝑥. On peut pour cela considérer un intervalle similaire de valeurs de 𝑥. Lorsque 𝑥 est positif, sa valeur absolue est égale à lui-même. Et lorsque 𝑥 est négatif, sa valeur absolue est égale à son opposé.

Donc la courbe représentative de 𝑦 égale valeur absolue de 𝑥 ressemble à ceci. Quelles sont alors les différences entre ces deux courbes ? La première chose que l’on peut remarquer est que cette courbe a l’air à l’envers. Il y a donc eu une symétrie par rapport à l’axe des abscisses. S’il ne s’agissait cependant que d’une symétrie, la courbe ressemblerait à celle-ci en orange. Donc d’autres transformations doivent avoir eu lieu.

Comparons alors les sommets de ces deux courbes. Ils ont les coordonnées zéro, zéro et moins un, quatre. Il y a donc eu une translation de un vers la gauche et de quatre vers le haut, en rappelant bien que l’on transforme la courbe représentative de 𝑦 égale valeur absolue de 𝑥 vers la fonction inconnue, et non l’inverse. On doit à présent écrire ces trois transformations sous forme d’une expression algébrique. Une symétrie par rapport à l’axe des abscisses se produit lorsque l’image 𝑓 de 𝑥 devient moins 𝑓 de 𝑥. En effet, chaque valeur 𝑦 d’une fonction transformée par symétrie est simplement l’opposé de sa valeur d’origine.

Une translation de un vers la gauche signifie que l’on a effectué le changement de variable 𝑥 plus un. Et que la fonction peut être définie par 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 plus un. Une translation de quatre vers le haut signifie que l’image a été augmentée de quatre. Et que la nouvelle fonction peut être définie par 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 plus quatre. On peut maintenant appliquer ces trois transformations à la fonction valeur absolue d’équation 𝑦 égale valeur absolue de 𝑥. On commence par appliquer la symétrie. Cela nous donne 𝑦 égale moins valeur absolue de 𝑥. On change ensuite la variable 𝑥 par 𝑥 plus un. Et enfin, on additionne quatre à l’image. On peut alors donner notre réponse sous une forme légèrement plus élégante : 𝑦 égale quatre moins valeur absolue de 𝑥 plus un. Mais ces expressions sont toutes les deux valables.

On va maintenant résumer certains points clés de cette vidéo. On a vu comment on peut transformer une fonction en changeant la variable 𝑥 ou l’image 𝑓 de 𝑥. Les changements apportés à la variable ou à l’image peuvent être résumés dans ce tableau. Dans ce qui suit 𝑎 est un réel positif. On peut se rappeler que les transformations apportées à l’image sont celles qui produisent un effet intuitif. C’est-à-dire que lorsque l’on additionne 𝑎 à l’image, la courbe est translatée de 𝑎 unités vers le haut. Et lorsque l’on soustrait 𝑎, la courbe est translatée de 𝑎 unités vers le bas.

Les changements apportés à la variable sont cependant un peu plus délicats. Lorsque l’on additionne 𝑎 à la variable, on pourrait penser que la courbe serait translatée vers la droite. Mais la translation est en réalité vers la gauche. Et lorsque l’on soustrait 𝑎, la courbe est translatée vers la droite. On doit donc être prudents lorsque on translate des fonctions.