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Déterminez l’ensemble solution de l’équation 𝑥 au carré plus 12𝑥 égale à zéro dans l'ensemble des nombres réels.
L'ensemble des solutions correspond à l'ensemble des racines de l'équation, autrement dit les valeurs de 𝑥 qui satisfont l'équation 𝑥 au carré plus 12𝑥 égale à zéro. Et pour éviter toute confusion, sachez que seules les valeurs réelles sont prises en compte. L'équation donnée est une équation du second degré étant donné que la plus grande puissance de notre variable 𝑥 est deux. Il s'agit en fait d'une équation du second degré relativement simple puisqu'il n'y a pas de constante. On va essayer de résoudre cette équation par factorisation. Et si on regarde les deux termes, on constate qu'ils ont un facteur commun 𝑥.
On peut donc factoriser par 𝑥. Dans les parenthèses, on doit déterminer par quoi nous devons multiplier 𝑥 pour retrouver chacun des deux termes de départ. Pour avoir 𝑥 au carré, nous devons multiplier 𝑥 par 𝑥, et pour avoir plus 12𝑥, nous devons multiplier 𝑥 par 12. On a donc notre équation du second degré sous sa forme factorisée : 𝑥 fois 𝑥 plus 12 égale zéro. On peut vérifier que cela est bien équivalent en développant notre expression si on le souhaite.
Après avoir trouvé la forme factorisée de cette équation, il faut se rappeler que si deux facteurs multipliés donnent zéro, alors au moins l’un de ces deux facteurs est égal à zéro. Ainsi, soit 𝑥 égale zéro, soit 𝑥 plus 12 égale zéro. On obtient donc deux équations qu’on sait résoudre. La première, 𝑥 égale zéro, ne nécessite aucune résolution et la seconde, 𝑥 plus 12 égale zéro, est résolue en soustrayant simplement 12 de chaque côté, ce qui donne 𝑥 égale à moins 12. Ainsi, cette équation a deux racines : zéro et moins 12.
On peut bien sûr vérifier chacune de ces valeurs en les substituant à nouveau dans l'équation originale si on le souhaite. Par exemple, quand 𝑥 est égal à moins 12, à gauche, 𝑥 au carré plus 12𝑥 est égal à moins 12 au carré plus 12 fois moins 12. On obtient 144 plus moins 144 ou 144 moins 144 qui vaut zéro, qui est bien la valeur du côté droit de l'équation, ce qui confirme que moins 12 est effectivement une racine de l'équation.
Il est important de ne pas oublier de factoriser notre équation par 𝑥 et non de simplifier en divisant simplement par 𝑥. Si on divise par 𝑥, on obtient simplement 𝑥 plus 12 égale zéro, ce qui donne une seule solution : 𝑥 est égal à moins 12. En revanche, si on pense à factoriser notre équation par 𝑥, on obtient également la solution : 𝑥 égale zéro.
Par conséquent, nous avons trouvé, par la factorisation, que l'ensemble des solutions de cette équation est l'ensemble des valeurs zéro et moins 12.
