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Vidéo de la leçon: Résoudre des équations du second degré : factorisation Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des équations du second degré en factorisant.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des équations du second degré en factorisant. Nous présenterons la signification graphique de la résolution d’une équation du second degré et comment le faire pour plusieurs équations. Avant d’aborder ce sujet, il est important que vous sachiez déjà factoriser complètement des expressions du second degré simples de la forme 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐. Et que vous connaissiez des méthodes pour factoriser celles de la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐. Vous devez notamment connaître l’identité remarquable de la différence de deux carrés.

Pour approcher cette méthode, nous allons brièvement tourner notre attention vers une courbe du second degré dont l’équation est 𝑦 égale 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins 12. Les racines de cette équation sont alors les valeurs de 𝑥 où la courbe coupe l’axe des abscisses. En lisant ces points d’intersection sur ce graphique, on voit que 𝑥 égale moins six et 𝑥 égale deux sont les racines de notre équation. Mais que cela nous dit-il d’autre ?

Eh bien, l’axe des abscisses a l’équation 𝑦 égale zéro. Donc, 𝑥 égale moins six et 𝑥 égale deux sont les solutions à l’équation 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins 12 égale zéro. Où nous avons simplement remplacé 𝑦 par zéro dans notre équation. Mais bien sûr, nous ne souhaitons pas toujours tracer la courbe représentative de notre équation. Que se passe-t-il donc si nous décidons plutôt de factoriser l’expression du second degré 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins 12 ?

En observant cette expression, on remarque que les trois termes sont premiers entre eux. Autrement dit, ils ne partagent aucun autre facteur que un. Dans le cas d’une expression du second degré, c’est une bonne indication que l’expression peut être factorisée en deux ensembles de parenthèses. Nous savons cependant que lorsque nous multiplierons ou développerons ces parenthèses, nous aurons besoin de 𝑥 au carré. Donc, le premier terme de chaque parenthèse doit être 𝑥, car 𝑥 fois 𝑥 égale 𝑥 au carré.

On rappelle ensuite que l’on peut déterminer les deux autres termes en trouvant des nombres dont le produit est égal à moins 12 et dont la somme est égale à quatre. Eh bien, les paires de diviseurs de 12 sont un et 12, deux et six, et trois et quatre. On remarque alors que la différence entre six et deux est quatre et qu’un nombre positif fois un nombre négatif donne un nombre négatif. On a donc six fois moins deux égale moins 12 et six moins deux égale quatre.

L’expression du second degré 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins 12 peut donc être factorisée par 𝑥 plus six fois 𝑥 moins deux. Et cette expression est égale à zéro. On peut alors considérer que chaque expression entre parenthèses correspond à un nombre. Et lorsque l’on multiplie ces deux nombres, on obtient zéro. On peut alors en déduire une propriété intéressante sur ces nombres.

La seule façon pour que cela se produise est en effet que l’un de ces deux nombres soit égal à zéro. En d’autres termes, soit 𝑥 plus six est égal à zéro, soit 𝑥 moins deux est égal à zéro. Calculons donc 𝑥. On résout la première équation en soustrayant six aux deux membres. Donc 𝑥 égale moins six. Et on résout la deuxième équation en ajoutant deux aux deux membres. Donc 𝑥 égale deux. Et nous avons ainsi résolu l’équation 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins 12 égale zéro. Remarquez que ce sont bien les racines que nous avions identifiées à l’aide du graphique.

Nous avons ainsi appris que pour résoudre une équation du second degré, on peut la factoriser et la poser égale à zéro. Cela nous indique également les valeurs de 𝑥 où la courbe coupe l’axe des abscisses. Voyons un exemple de cela.

Factorisez l’équation 𝑦 égale six 𝑥 au carré plus neuf 𝑥. En quelles valeurs de 𝑥 la courbe représentative de 𝑦 égale six 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 coupe-t-elle l’axe des abscisses ?

Nous allons factoriser l’expression du second degré six 𝑥 au carré plus neuf 𝑥. Remarquez alors que les deux termes de cette expression partagent un facteur commun. Six 𝑥 au carré et neuf 𝑥 sont tous les deux divisibles par trois et 𝑥. Donc, leur plus grand commun diviseur est trois 𝑥. Cela signifie que pour factoriser l’expression, on sort trois 𝑥 à l’extérieur des parenthèses. Et pour trouver les termes entre parenthèses, on divise six 𝑥 au carré et neuf 𝑥 par le plus grand commun diviseur. Six divisé par trois égale deux. Donc, six 𝑥 au carré divisé par trois 𝑥 égale deux 𝑥.

Et neuf 𝑥 divisé par trois 𝑥 égale trois. En factorisant l’expression six 𝑥 au carré plus neuf 𝑥, on obtient donc trois 𝑥 fois deux 𝑥 plus trois. Donc notre équation est 𝑦 égale trois 𝑥 fois deux 𝑥 plus trois.

La deuxième partie de cette question nous demande de trouver les valeurs de 𝑥 où la courbe représentative de l’équation coupe l’axe des abscisses. Ces valeurs correspondent aux racines de l’équation. Et on rappelle que l’équation de l’axe des abscisses est 𝑦 égale zéro. Donc, la courbe coupe l’axe des abscisses pour des valeurs de 𝑥 telles que 𝑦 est égal à zéro. On définit alors 𝑦 égal à zéro dans l’équation d’origine. Ce qui donne zéro égale six 𝑥 au carré plus neuf 𝑥.

Rappelez-vous cependant que l’on a pu factoriser cette expression par trois 𝑥 fois deux 𝑥 plus trois. On peut donc remplacer six 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 par sa forme factorisée. Et nous voyons maintenant que nous avons deux expressions, trois 𝑥 et deux 𝑥 plus trois, dont le produit est zéro. Maintenant, pour que ce produit soit nul, trois 𝑥 doit être égal à zéro ou deux 𝑥 plus trois doit être égal à zéro. Les racines de l’équation, c’est-à-dire les valeurs de 𝑥 où la courbe coupe l’axe des abscisses, sont les solutions à chacune de ces équations.

Nous allons donc résoudre ces deux équations. On résout la première équation en divisant les deux membres par trois. Donc 𝑥 est égal à zéro. Et pour résoudre la deuxième équation, on commence par soustraire trois aux deux membres. Donc deux 𝑥 égale moins trois. Enfin, on divise par deux. Et on trouve 𝑥 égale moins trois sur deux, ou moins 1,5. Par conséquent, les valeurs de 𝑥 où la courbe coupe l’axe des abscisses sont zéro et moins trois sur deux.

Nous allons maintenant étudier un exemple de résolution par factorisation d’une équation du second degré unitaire, c’est-à-dire dont le coefficient de 𝑥 au carré est égal à un.

Résolvez l’équation 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus quatre égale zéro en factorisant.

La question nous demande de résoudre cette équation par factorisation. Nous allons donc commencer par factoriser l’expression du second degré 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus quatre. Nous voyons que nous avons une expression du second degré à trois termes. Et ces termes sont premiers entre eux. C’est-à-dire que leur seul diviseur commun est un. Cela nous indique que nous pouvons factoriser cette expression en deux ensembles de parenthèses.

On sait que le premier terme de chacune de ces parenthèses doit être 𝑥, puisque 𝑥 fois 𝑥 donne le 𝑥 au carré dont nous avons besoin. Et pour trouver le deuxième terme de chaque parenthèses, on recherche deux nombres dont le produit est quatre et dont la somme est moins quatre. On peut donc commencer par énumérer les paires de diviseurs de quatre. Ce sont un et quatre, et deux et deux.

Eh bien, la somme de deux et deux est quatre. Et le produit d’un nombre négatif et d’un nombre négatif donne un nombre positif. Si on choisit donc les nombres moins deux et moins deux, moins deux fois moins deux nous donne bien les plus quatre recherchés. Et leur somme, soit moins deux plus moins deux, est égale aux moins quatre dont on a besoin. On peut par conséquent factoriser 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus quatre par 𝑥 moins deux fois 𝑥 moins deux.

Nous pouvons alors employer deux méthodes pour résoudre cette équation du second degré. La première consiste à rappeler que lorsque l’on multiplie un nombre par lui-même, on l’élève au carré. Donc, 𝑥 moins deux fois 𝑥 moins deux égale 𝑥 moins deux au carré. Et notre équation devient 𝑥 moins deux au carré égale zéro.

On prend alors la racine carrée des deux membres de cette équation. On conserve normalement la racine carrée positive et la négative de tout ce qui se trouve sur le membre droit. Mais la racine carrée de zéro est simplement zéro. Donc en prenant la racine carrée des deux membres, on obtient simplement 𝑥 moins deux égale zéro. Et on résout cette équation en ajoutant deux aux deux membres. Ce qui nous permet d’en déduire que 𝑥 égale deux est la solution à cette équation.

Il peut peut-être sembler inhabituel qu’une équation du second degré n’ait qu’une seule solution. Nous allons donc essayer la deuxième méthode. On commence par revenir à l’équation factorisée et on l’étudie. On a deux nombres dont le produit est zéro. Et pour que ce soit le cas, un des deux nombres doit être égal à zéro. Donc, 𝑥 moins deux est égal à zéro ou 𝑥 moins deux est égal à zéro. Mais ce sont les mêmes équations, donc elles ont toutes les deux pour solution 𝑥 égale deux. Lorsque cela se produit, on dit que l’équation a deux racines égales, ou une racine double. Graphiquement, cela signifie que le sommet ou l’extremum de la courbe est son point d’intersection avec l’axe des abscisses. Ce qui pourrait ressembler à quelque chose comme ça.

Nous allons maintenant voir comment trouver les racines d’une équation du second degré non unitaire.

Résolvez l’équation neuf 𝑥 au carré plus 30𝑥 plus 25 égale zéro par factorisation.

Il s’agit d’une équation du second degré non unitaire, c’est-à-dire dont le coefficient de 𝑥 au carré n’est pas égal à un. Cela signifie que cette expression du second degré peut être un peu plus compliquée à factoriser que d’habitude. Vous remarquez peut être qu’il s’agit d’un carré parfait, car 𝑎 et 𝑐 sont des carrés parfaits. Mais si nous n’avons pas repéré cela, nous pouvons utiliser une méthode par tâtonnements ou la méthode suivante pour factoriser.

Pour cette méthode, la première chose à faire est de multiplier le coefficient de 𝑥 au carré et la constante. Neuf fois 25 égale 225. Nous cherchons donc deux nombres dont le produit est 225 et dont la somme est 30. Eh bien, 225 est un carré parfait car 15 fois 15 égale 225. Et nous savons aussi que la somme de 15 et 15 est 30.

Notre prochaine étape consiste alors à séparer les 30𝑥 en 15𝑥 plus 15𝑥. Donc notre expression du second degré est neuf 𝑥 au carré plus 15𝑥 plus 15𝑥 plus 25. On factorise maintenant séparément les deux premiers termes et les deux derniers termes. Le plus grand commun diviseur de neuf 𝑥 au carré et de 15𝑥 est trois 𝑥. Donc, en factorisant ces deux premiers termes, on obtient trois 𝑥 fois trois 𝑥 plus cinq. Et le plus grand commun diviseur des deux derniers termes est cinq. Donc 15𝑥 plus 25 peut être factorisé par cinq fois trois 𝑥 plus cinq.

Remarquez maintenant que nous avons un facteur commun de trois 𝑥 plus cinq. On peut donc factoriser par ce terme. Trois 𝑥 plus cinq est multiplié par trois 𝑥 et par cinq. Donc voici l’autre binôme. Et notre expression devient trois 𝑥 plus cinq fois trois 𝑥 plus cinq.

Rappelons que nous essayons de résoudre l’équation neuf 𝑥 au carré plus 30𝑥 plus 25 égale zéro. On peut donc poser l’expression factorisée égale à zéro. Et on sait que pour que le produit de ces deux nombres soit égal à zéro, un des deux nombres doit être lui-même égal à zéro. On a donc trois 𝑥 plus cinq égale zéro ou trois 𝑥 plus cinq égale zéro. Mais ce sont en fait les mêmes équations, donc elles donneront la même solution.

On peut donc uniquement résoudre l’équation trois 𝑥 plus cinq égale zéro. On soustrait cinq aux deux membres. Donc, trois 𝑥 égale moins cinq. Puis, on divise par trois. Donc 𝑥 est égal à moins cinq sur trois. On en déduit que l’équation neuf 𝑥 au carré plus 30𝑥 plus 25 égale zéro a pour solution 𝑥 égale moins cinq sur trois. Et nous pouvons ainsi conclure que l’équation a deux racines égales, ou une racine double.

Et rappelez-vous que nous pouvons vérifier notre réponse en substituant 𝑥 égale moins cinq sur trois dans l’expression d’origine. Si elle est égale à zéro, alors la solution est bien correcte.

Nous allons maintenant étudier la courbe représentative d’une fonction du second degré où le coefficient de 𝑥 est égal à zéro.

En quelles valeurs de 𝑥 la courbe représentative de 𝑦 égale 𝑥 au carré moins sept coupe-t-elle l’axe des abscisses ?

Rappelez-vous que l’équation de l’axe des abscisses est 𝑦 égale zéro. Donc, la courbe représentative coupe l’axe des abscisses lorsque 𝑦 est égal à zéro. On pose alors 𝑦 égal à zéro et on résout l’équation. L’équation devient ainsi zéro égale 𝑥 au carré moins sept. Il s’agit d’une équation du second degré. Et nous pourrions envisager de la factoriser. Mais le coefficient de 𝑥 est nul. On peut donc simplement résoudre l’équation en la manipulant.

On commence par ajouter sept aux deux membres de l’équation pour obtenir sept égale 𝑥 au carré. La prochaine étape consiste à prendre la racine carrée des deux membres. Mais on rappelle pour cela qu’il faut conserver la racine carrée positive et la racine carrée négative de sept. Donc 𝑥 est égal à plus ou moins racine carrée de sept. Cela signifie que les racines de l’équation, les valeurs de 𝑥 où la courbe coupe l’axe des abscisses, sont racine carrée de sept et moins racine carrée de sept.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment connaitre une première racine d’une équation peut nous aider à trouver l’autre racine d’une équation du second degré.

Sachant que moins 10 est une racine de l’équation deux 𝑥 au carré plus 13𝑥 moins 70 égale zéro, quelle est l’autre racine ?

On nous dit que moins 10 est une racine de l’équation, ce qui signifie que cette expression doit être égale à zéro lorsque 𝑥 est égal à moins 10. Il s’agit en fait d’une solution à l’équation deux 𝑥 au carré plus 13𝑥 moins 70 égale zéro. Maintenant, cela signifie de plus que 𝑥 plus 10 doit être un facteur de deux 𝑥 au carré plus 13𝑥 moins 70. Deux 𝑥 au carré plus 13𝑥 moins 70 peut donc s’écrire 𝑥 plus 10 fois un autre binôme.

Définissons donc un peu plus précisément ce binôme. Supposons qu’il est de la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏, où 𝑎 et 𝑏 sont des constantes réelles. Nous allons à présent développer le membre droit de cette équation et voir ce que nous obtenons. On commence par multiplier 𝑥 par 𝑎𝑥. Cela fait 𝑎𝑥 au carré. On multiplie ensuite les termes externes. Ce qui donne 𝑥 fois 𝑏, soit 𝑏𝑥. Puis, on multiplie les termes intérieurs. Cela fait 10 fois 𝑎𝑥, soit 10𝑎𝑥. Et enfin, on multiplie 10 par 𝑏, ce qui donne 10𝑏. Et cette expression est égale à deux 𝑥 au carré plus 13𝑥 moins 70.

Nous allons à présent comparer les coefficients de ces deux équations On étudie donc les coefficients pour chaque puissance de 𝑥. On peut commencer par comparer les coefficients de 𝑥 au carré. Sur le membre gauche, ce coefficient est deux. Et sur le membre droit, le coefficient de 𝑥 au carré est 𝑎. En posant alors l’égalité des coefficients de 𝑥 au carré, on trouve que 𝑎 est égal à deux.

Nous pourrions ensuite comparer les coefficients de 𝑥. Mais nous allons en fait comparer les constantes. On peut considérer que ce sont les coefficients des termes de 𝑥 puissance zéro. Sur le membre gauche, la constante est moins 70. Et sur le membre droit, on a 10𝑏. Donc, moins 70 égale 10𝑏. Et on divise par 10 pour obtenir 𝑏. 𝑏 est ainsi égal à moins sept. Cela signifie que notre expression du second degré peut être factorisée par 𝑥 plus 10 fois deux 𝑥 moins sept. Où nous avons remplacé 𝑎 et 𝑏 par leurs valeurs.

Mais rappelons que nous avons effectué cette opération pour pouvoir résoudre l’équation deux 𝑥 au carré plus 13𝑥 moins 70 égale zéro. Nous savons déjà qu’une des racines est moins 10. On peut la retrouver en posant 𝑥 plus 10 égal à zéro. On pose à présent deux 𝑥 moins sept égal à zéro pour trouver la deuxième racine. On ajoute sept aux deux membres de l’équation et on obtient deux 𝑥 égale sept. Puis, on divise par deux. Donc 𝑥 est égal à sept sur deux, ou 3,5. Et nous pourrions vérifier cette solution en substituant 𝑥 égal à sept sur deux dans l’équation d’origine et en confirmant qu’elle est bien égale à zéro.

Dans cette vidéo, nous avons appris que les racines d’une équation du second degré sont les solutions de 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro. Nous avons vu que pour résoudre une équation du second degré de cette forme, on peut commencer par factoriser l’expression du second degré lorsque cela est possible. On peut ensuite prendre chaque terme entre parenthèse, le poser égal à zéro et résoudre l’équation résultante. Bien sûr, on peut vérifier les résultats en substituant les solutions dans l’expression initiale et en confirmant qu’elle est bien égale à zéro.

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