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Vidéo de la leçon : Résolution d’équations du second degré : factorisation Mathématiques

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment résoudre des équations du second degré en factorisant.

16:59

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des équations du second degré en factorisant, parfois appelé factorisation. Nous examinerons ce que cela signifie réellement graphiquement pour résoudre une équation du second degré et à quoi ce processus ressemble pour une variété d’équations. Avant d’aborder ce sujet, il est important que vous puissiez factoriser entièrement des expressions du second degré simples de la forme 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐. Et avoir des techniques pour factoriser celles de la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐. Et celles qui impliquent de trouver la différence de deux carrés.

Pour nous donner un peu de contexte, nous allons brièvement tourner notre attention vers une courbe quadratique dont l’équation est 𝑦 est égal à 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins 12. Nous disons que les racines de notre équation sont les valeurs de 𝑥 où notre courbe croise l’axe des 𝑥. Si nous lisons ceux de notre graphique, nous voyons que 𝑥 est égal à moins six et 𝑥 est égal à deux sont les racines de notre équation. Mais qu’est-ce que cela nous dit d’autre ?

Eh bien, l’axe des 𝑥 a l’équation 𝑦 égale zéro. Donc, 𝑥 est égal à moins six et 𝑥 est égal à deux sont les solutions à l’équation 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins 12 est égal à zéro. Nous avons simplement remplacé 𝑦 par zéro dans notre équation. Mais bien sûr, nous ne voulons pas toujours tracer la courbe de notre équation. Et si au lieu de cela nous devions factoriser l’expression quadratique 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins 12 ?

Si nous regardons notre expression, nous voyons que les trois termes sont premiers entre eux. Autrement dit, ils ne partagent aucun autre diviseur à part un. Dans le cas d’une expression du second degré, c’est une bonne indication pour nous que l’expression prendra en compte deux paires de parenthèses ou de parenthèses. Nous savons cependant que lorsque nous multiplions ou distribuons ces parenthèses, nous allons avoir besoin de 𝑥 au carré. Ainsi, le premier terme de chaque tranche doit être 𝑥, puisque 𝑥 fois 𝑥 nous donne 𝑥 au carré.

Rappelons ensuite que le nombre dans chaque parenthèse est trouvé en trouvant une paire de nombres dont le produit est moins 12, leur produit fait moins 12, et la somme est quatre. Eh bien, les paires de diviseurs de 12 sont un et 12, deux et six, et trois et quatre. Nous savons que la différence entre deux et six est de quatre et que plus un multiplié par moins un est moins un. C’est-à-dire que six fois moins deux nous donnent moins 12 et six moins deux nous donnent quatre.

L’expression quadratique 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins 12 peut donc s’écrire 𝑥 plus six fois 𝑥 moins deux. Maintenant, c’est égal à zéro. Et nous voyons que chaque expression entre parenthèses nous donnera simplement un nombre. Lorsque nous multiplions deux nombres par deux, nous obtenons zéro. Qu’est-ce que cela nous apprend sur l’un ou l’autre de ces nombres ?

Eh bien, la seule façon pour que cela se produise est si l’un ou l’autre nombre est zéro. En d’autres termes, 𝑥 plus six est égal à zéro ou 𝑥 moins deux est égal à zéro. Résolvons pour 𝑥. Nous résolvons la première équation en soustrayant six des deux côtés. Donc 𝑥 est moins six. Nous résolvons la deuxième équation en ajoutant deux des deux côtés. Donc 𝑥 est égal à deux. Et nous avons résolu l’équation 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins 12 égale zéro. Notez que ce sont les racines que nous avons identifiées plus tôt.

Nous avons donc appris que pour résoudre une équation du second degré, nous nous assurons qu’elle est égale à zéro et factorisée. Mais cela nous indique également les valeurs de 𝑥 où notre courbe croise l’axe des 𝑥. Voyons un exemple de cela.

Factorisez l’équation 𝑦 est égale à six 𝑥 au carré plus neuf 𝑥. En quelles valeurs de 𝑥 la courbe de 𝑦 est égal à six 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 traverse l’axe des 𝑥 ?

Nous allons factoriser l’expression quadratique six 𝑥 au carré plus neuf 𝑥. Notez que, dans cette expression, nous avons deux termes qui partagent un diviseur commun. Les six 𝑥 au carré et neuf 𝑥 sont divisibles par trois et 𝑥. Leur diviseur commun le plus élevé est donc trois 𝑥. Cela signifie que lorsque nous factorisons l’expression, nous prenons trois 𝑥 à l’extérieur de nos parenthèses. Pour trouver les termes entre parenthèses, nous divisons à la fois six 𝑥 au carré et neuf 𝑥 par le plus grand diviseur commun. Six divisé par trois est deux. Donc, six 𝑥 au carré divisé par trois 𝑥 donnent deux 𝑥.

Ensuite, nous voyons que neuf 𝑥 divisé par trois 𝑥 est trois. Ainsi, lorsque l’on tient compte de l’expression six 𝑥 carré plus neuf 𝑥, nous obtenons trois 𝑥 fois deux 𝑥 plus trois. Et donc notre équation est 𝑦 égale trois 𝑥 fois deux 𝑥 plus trois.

La deuxième partie de cette question nous demande de trouver les valeurs de 𝑥 où la courbe de notre équation croise l’axe des 𝑥. Ce sont les racines de notre équation. Et bien sûr, nous rappelons que l’équation de l’axe des 𝑥 est 𝑦 est égal à zéro. Notre courbe croise donc l’axe des 𝑥 pour les valeurs de 𝑥 telles que 𝑦 est égal à zéro. Nous fixons 𝑦 égal à zéro dans notre équation d’origine. Et nous obtenons zéro égal à six 𝑥 au carré plus neuf 𝑥.

Rappelez-vous cependant, cette expression nous prenons en compte et nous avons eu trois 𝑥 fois deux 𝑥 plus trois. Nous remplaçons donc six 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 par sa forme factorisée. Et nous voyons maintenant que nous avons deux expressions, soit trois 𝑥 et deux 𝑥 plus trois, dont le produit est zéro. Maintenant, pour que ce soit le cas, soit trois 𝑥 doit être égal à zéro, soit deux 𝑥 plus trois doit être égal à zéro. Les racines de notre équation, c’est-à-dire les valeurs de 𝑥 où notre courbe croise l’axe des 𝑥, sont les solutions à chacune de ces équations.

Et donc nous résolvons pour 𝑥. Nous résolvons notre première équation en divisant les deux côtés par trois. Donc 𝑥 est égal à zéro. Pour résoudre notre deuxième équation, nous commençons par soustraire trois des deux côtés. Donc deux 𝑥 est moins trois. Enfin, nous divisons par deux. Et nous obtenons 𝑥 est égal à moins trois sur deux ou à moins 1.5. Et donc les valeurs de 𝑥 où notre courbe croise l’axe des 𝑥 est nulle et moins trois sur deux.

Nous allons maintenant considérer un exemple de résolution d’une expression du second degré unitaire, c’est-à-dire dont le coefficient de 𝑥 au carré est un, en factorisant.

Résoudre l’équation 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus quatre égale zéro en factorisant.

La question nous dit de résoudre cette équation en factorisant. Nous allons donc commencer par factoriser l’expression quadratique 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus quatre. Nous voyons que nous avons une expression quadratique à trois termes. Et ces termes sont premiers entre eux. Autrement dit, ils n’ont que un comme seul diviseur en commun. Cela nous dit que nous pouvons factoriser cette expression entre deux parenthèses.

Nous savons que le terme devant chacun de ces parenthèses doit être 𝑥, puisque 𝑥 fois 𝑥 nous donne le 𝑥 au carré dont nous avons besoin. Mais pour trouver le nombre dans chaque tranche, nous recherchons deux nombres dont le produit est quatre et dont la somme est moins quatre. Et donc nous commençons simplement par lister les paires de diviseurs de quatre. Ils sont un et quatre et deux et deux.

Eh bien, la somme de deux et deux est quatre. Mais nous savons aussi que moins un multiplié par moins un est plus un. Et donc si nous choisissons nos nombres pour être moins deux et moins deux, nous constatons que deux fois moins moins deux nous donne plus quatre dont nous avons besoin. Mais leur somme, c’est-à-dire moins deux plus moins deux, nous donne les moins quatre dont nous avons besoin. Et donc quand nous factorisons 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus quatre, nous obtenons 𝑥 moins deux fois 𝑥 moins deux.

Il existe maintenant deux voies que nous pouvons emprunter pour résoudre cette équation du second degré. La première consiste à rappeler que lorsque nous multiplions un nombre par lui-même, nous appelons cela le carré. Donc 𝑥 moins deux fois 𝑥 moins deux est 𝑥 moins deux au carré. Et notre équation devient 𝑥 moins deux au carré égal à zéro.

Nous allons maintenant prendre la racine carrée des deux côtés de cette équation. Habituellement, nous cherchons à prendre à la fois la racine carrée positive et négative de tout ce qui se trouve sur le côté droit. Mais bien sûr, la racine carrée de zéro est zéro. Ainsi, lorsque nous prenons la racine carrée des deux côtés, nous obtenons simplement 𝑥 moins deux égal à zéro. Nous allons résoudre cette équation pour 𝑥 en ajoutant deux des deux côtés. Et nous trouvons que 𝑥 est égal à deux est la solution de notre équation.

Maintenant, il peut sembler inhabituel qu’une équation du second degré n’ait qu’une seule solution. Nous allons donc regarder ce que l’autre méthode nous dit. Dans l’autre méthode, nous pensons vraiment à ce qui se passe ici. Nous avons deux nombres dont le produit est zéro. Maintenant, pour que ce soit le cas, l’un ou l’autre de nos nombres doit être égal à zéro. Donc, soit 𝑥 moins deux est égal à zéro, soit 𝑥 moins deux est égal à zéro. Mais ce sont les mêmes équations, donc elles ont toutes les deux une solution de 𝑥 égale deux. Lorsque cela se produit, nous disons que l’équation a deux racines égales. Sous forme graphique, cela signifie que le sommet ou le point tournant de notre courbe est l’endroit où il intercepte l’axe des 𝑥. Et donc cela pourrait ressembler à quelque chose comme ça.

Nous allons maintenant examiner comment trouver les racines d’une équation du second degré non unitaire.

Résoudre l’équation neuf 𝑥 au carré plus 30𝑥 plus 25 égale zéro en factorisant.

Il s’agit d’une équation qui contient une expression du second degré non unitaire, une expression du second degré avec un coefficient de 𝑥 au carré n’est pas égal à un. Cela signifie que l’expression quadratique est un peu plus difficile à factoriser que d’habitude. Nous pouvons remarquer que c’est un carré parfait, avec 𝑎 et 𝑐 des nombres carrés. Mais si nous ne repérions pas cela, nous pourrions utiliser les essais et erreurs ou utiliser la méthode suivante pour factoriser.

Dans cette méthode, la première chose que nous faisons est de multiplier le coefficient de 𝑥 au carré et la constante. Neuf fois 25 est 225. Et donc nous recherchons deux nombres dont le produit est 225 et dont la somme est 30. Eh bien, 225 est un nombre carré tel que 15 fois 15 est 225. Et nous savons également que la somme de 15 et 15 est 30.

Notre prochaine étape consiste alors à diviser les 30𝑥 en 15𝑥 et 15𝑥. Et donc notre expression quadratique est de neuf 𝑥 au carré plus 15𝑥 plus 15𝑥 plus 25. Nous factorisons maintenant individuellement les deux premiers termes et les deux derniers termes. Le plus grand diviseur commun de neuf 𝑥 au carré et de 15𝑥 est de trois 𝑥. Donc en factorisant ces deux premiers termes, nous obtenons trois 𝑥 fois trois 𝑥 plus cinq. Ensuite, le plus grand diviseur commun de nos deux derniers termes est de cinq. Et donc quand on factorise 15𝑥 plus 25, on obtient cinq fois trois 𝑥 plus cinq.

Notez maintenant que nous avons un diviseur commun de trois 𝑥 plus cinq. Nous allons donc en tenir compte. Trois 𝑥 plus cinq sont multipliés par trois 𝑥 et cinq. Voilà donc l’autre binôme. Et notre expression devient trois 𝑥 plus cinq fois trois 𝑥 plus cinq.

Maintenant, bien sûr, nous résolvons l’équation neuf 𝑥 au carré plus 30𝑥 plus 25 est égal à zéro. Fixons donc cette valeur à zéro. Et nous savons que pour que le produit de ces deux nombres soit égal à zéro, l’un ou l’autre doit lui-même être égal à zéro. Nous voyons donc que trois 𝑥 plus cinq est égal à zéro ou trois 𝑥 plus cinq est égal à zéro. En fait, c’est la même équation et ils donneront le même résultat.

Nous allons donc simplement résoudre l’équation trois 𝑥 plus cinq est égal à zéro. Nous soustrayons cinq des deux côtés. Donc trois 𝑥 est moins cinq. Et puis nous divisons par trois. Donc 𝑥 est égal à moins cinq tiers. Et donc nous voyons que l’équation neuf 𝑥 au carré plus 30𝑥 plus 25 est égal à zéro a la solution 𝑥 est égale aux moins cinq tiers. Nous pouvons dire que notre équation a deux racines égales ou une racine répétée.

Et rappelez-vous, nous pourrions vérifier notre fonctionnement en substituant 𝑥 est égal à moins cinq tiers dans notre expression d’origine. Et si nous l’avions fait correctement, nous trouverions qu’il est égal à zéro.

Nous allons maintenant considérer la courbe d’une fonction où le coefficient de 𝑥 est égal à zéro.

À quelles valeurs de 𝑥 la courbe de 𝑦 est égal à 𝑥 au carré moins sept traverse l’axe des 𝑥 ?

Rappelez-vous que l’équation de l’axe des 𝑥 est 𝑦 égale à zéro. Notre courbe croise donc l’axe des 𝑥 lorsque 𝑦 est égal à zéro. Nous mettons donc 𝑦 égal à zéro et résolvons pour 𝑥. Donc, notre équation devient nulle égale à 𝑥 au carré moins sept. Maintenant, c’est une équation du second degré. Et donc nous pourrions penser que nous devons prendre en compte. Cependant, le coefficient de 𝑥 ici est nul. Nous pouvons donc résoudre simplement en réorganisant.

Nous allons commencer par ajouter sept des deux côtés de notre équation afin que sept égal 𝑥 au carré. Notre prochain travail consiste à prendre la racine carrée des deux côtés. Mais nous nous souvenons que, ce faisant, nous devons prendre la racine carrée positive et négative de sept. Donc 𝑥 est égal à la racine carrée positive et négative de sept. Cela signifie que les racines de notre équation, les valeurs de 𝑥 où notre courbe croise l’axe des 𝑥, sont la racine sept et la racine moins sept.

Dans notre dernier exemple, nous verrons comment le fait d’obtenir une racine d’une équation peut nous aider à trouver l’autre racine.

Étant donné que moins 10 est une racine de l’équation deux 𝑥 au carré plus 13𝑥 moins 70 est égal à zéro, quelle est l’autre racine ?

On nous dit que le moins 10 est une racine de notre équation, ce qui signifie que notre expression du second degré doit être égale à zéro lorsque 𝑥 est égal à moins 10. Essentiellement, c’est une solution à l’équation deux 𝑥 au carré plus trois 𝑥 [13𝑥] moins 70 est égal à zéro. Maintenant, ce que cela signifie en réalité, c’est que 𝑥 plus 10 doit être un diviseur de deux 𝑥 au carré plus 13𝑥 moins 70. Deux 𝑥 au carré plus 13𝑥 moins 70 peuvent donc être écrits comme 𝑥 plus 10 fois un autre binôme.

Maintenant, donnons à ce binôme une formule. Disons que c’est sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏, où 𝑎 et 𝑏 sont de vraies constantes. Ce que nous allons faire, c’est distribuer les parenthèses sur le côté droit de cette équation et voir ce que nous obtenons. On commence par multiplier 𝑥 par 𝑎𝑥. C’est 𝑎𝑥 au carré. Nous multiplions ensuite les termes externes. C’est 𝑥 fois 𝑏, ce qui est 𝑏𝑥. Ensuite, nous multiplions les termes internes. C’est 10 fois 𝑎𝑥, ce qui fait 10𝑎𝑥. Et enfin, nous multiplions 10 par 𝑏, pour nous donner 10𝑏. Nous constatons donc que cela est égal à deux 𝑥 au carré plus 13𝑥 moins 70.

Et nous utilisons maintenant un processus appelé comparaison des coefficients. Nous regardons les coefficients de nos différents termes. Commençons par comparer nos coefficients de 𝑥 au carré. Sur le côté gauche, nous avons un deux. Et sur le côté droit, le coefficient de 𝑥 au carré est 𝑎. Ainsi, lorsque nous comparons des coefficients de 𝑥 au carré, nous constatons que 𝑎 est égal à deux.

Nous pourrions ensuite comparer les coefficients de 𝑥. En fait, nous allons comparer des constantes. On pourrait dire que ce sont les coefficients du 𝑥 à la puissance zéro. Sur le côté gauche, notre constante est moins 70. Et sur le côté droit, nous avons 10𝑏. Donc, moins 70 est égal à 10𝑏. Et donc nous allons diviser par 10 pour obtenir 𝑏. 𝑏 est donc égal à moins sept. Cela signifie que notre expression quadratique peut s’écrire 𝑥 plus 10 fois deux 𝑥 moins sept. Nous avons remplacé 𝑎 et 𝑏 par leurs solutions.

Mais nous savons que nous utilisons cela pour résoudre l’équation deux 𝑥 au carré plus 13𝑥 moins 70 est égal à zéro. Nous savons déjà que nous avons une racine de moins 10. Cela se trouve en fixant 𝑥 plus 10 égal à zéro. Nous allons maintenant mettre deux 𝑥 moins sept égaux à zéro et résoudre pour 𝑥. Nous allons ajouter sept des deux côtés de cette équation afin que deux 𝑥 soit égal à sept. Et puis nous allons diviser par deux. Donc 𝑥 est égal à sept sur deux ou 3.5. Et nous pourrions vérifier cette solution en substituant 𝑥 est égal à sept sur deux dans notre équation d’origine, en nous assurant qu’elle est bien égale à zéro.

Dans cette vidéo, nous avons appris que les racines d’une équation du second degré sont les solutions à 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égal à zéro. Nous avons vu que si nous essayons de résoudre une équation du second degré de cette forme, nous commençons par factoriser l’expression quadratique lorsque cela est possible. Une fois que nous avons fait cela, nous prenons le bit dans chaque parenthèse, le mettons égal à zéro et résolvons pour 𝑥. Bien sûr, nous pouvons vérifier tout fonctionnement en replaçant les solutions dans l’expression d’origine.

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