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Fiche explicative de la leçon: Résoudre des équations du second degré : factorisation Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment résoudre des équations du second degré par factorisation.

Commençons par rappeler la définition d’une équation du second degré.

Définition : Équation du second degré

Une équation du second degré est une équation qui peut être exprimée sous forme standard𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎, 𝑏, et 𝑐 sont de réelles constantes et 𝑎0.

Nous notons qu’une équation du second degré peut avoir zéro, une ou deux solutions (c.-à-d., les valeurs de 𝑥 qui vérifient l’équation). Pour trouver les solutions à une équation du second degré, il existe de multiples possibilités, mais dans cette fiche explicative, nous nous intéresserons à la méthode de factorisation.

Rappelons que factoriser quelque chose signifie diviser en facteurs distincts (souvent entre parenthèses) qui se multiplient pour former le tout. Par exemple, l’expression𝑥5𝑥 peut être factorisée en notant que 𝑥 est un facteur commun aux deux termes, ce qui signifie que nous pouvons l’écrire comme𝑥(𝑥5).

Supposons que nous voulions trouver les solutions à l’équation du second degré 𝑥5𝑥=0. En considérant la forme factorisée du côté gauche, il devient facile d’identifier les solutions. C’est-à-dire que nous avons

Comme souligné ci-dessus, si le produit de deux facteurs (ou plus) est égal à zéro, alors au moins l’un des facteurs individuels doit être lui-même égal à zéro. Puisqu’il y a deux facteurs, nous avons donc deux possibilités:𝑥=0𝑥5=0.ou

En ajoutant 5 aux deux côtés de la deuxième équation, on obtient𝑥=0𝑥=5.ou

Par conséquent, il y a deux solutions (également connues sous le nom de racines) pour l’équation, 𝑥=0 et 𝑥=5. Si nécessaire, ces nombres peuvent aussi être écrits sous forme d’ensemble solution comme suit:{0;5}.

Voyons un autre exemple de factorisation d’une équation du second degré de sorte à la résoudre.

Exemple 1: Déterminer l’ensemble solution d’équations du second degré par factorisation

Déterminez l’ensemble solution de 𝑥+12𝑥=0 dans .

Réponse

On nous a demandé de trouver l’ensemble solution de cette équation dans (c’est-à-dire les nombres réels), ce que nous pouvons faire en factorisant le côté gauche. Pour ce faire, nous commençons par reconnaître que les deux termes ont un facteur commun de 𝑥. Ainsi, nous pouvons les factoriser pour obtenir𝑥(𝑥+12)=0.

Maintenant, nous pouvons trouver les solutions à ces équations en définissant chaque facteur à 0 à son tour. Nous avons donc𝑥=0𝑥+12=0.ou

Pour la deuxième équation, on peut soustraire 12 des deux côtés pour le mettre en fonction de 𝑥:𝑥=0𝑥=12.ou

Ainsi, l’ensemble solution est {12;0}.

Dans l’exemple précédent, factoriser l’équation du second degré était assez simple car les deux termes partageaient un facteur commun de 𝑥, mais en général, nous devrons faire plus de travail pour obtenir la forme factorisée. Par exemple, supposons que nous avons𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0,𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont tous non nuls. Pour procéder à la factorisation d’une équation du second degré de cette forme, rappelons que nous avons diverses méthodes pour nous aider, y compris

  • la factorisation par inspection,
  • la reconnaissance d’une équation du second degré comme un carré parfait,
  • la reconnaissance d’une équation du second degré comme la différence de deux carrés,
  • la factorisation par groupement.

Supposons qu’en appliquant l’une des techniques ci-dessus, nous sommes capables de factoriser l’équation du second degré comme suit:(𝑝𝑥+𝑞)(𝑟𝑥+𝑠)=0,𝑝 et 𝑟 sont non nuls. Ensuite, un peu comme dans l’exemple précédent, nous pouvons déterminer les solutions en définissant chaque facteur à son tour égal à zéro. Cela nous donne𝑝𝑥+𝑞=0𝑟𝑥+𝑠=0.ou

On peut alors résoudre chaque équation séparément pour obtenir𝑝𝑥+𝑞=0𝑟𝑥+𝑠=0𝑝𝑥=𝑞𝑟𝑥=𝑠𝑥=𝑞𝑝,𝑥=𝑠𝑟.

Ainsi, en factorisant une équation du second degré, il devient facile d’identifier les solutions.

Considérons une équation du second degré qui doit être factorisée en deux parenthèses pour la résoudre.

Exemple 2: Déterminer les racines d’une équation du second degré sous la forme 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Résoudre 𝑥4𝑥+4=0 en factorisant.

Réponse

On nous dit dans la question que nous devons résoudre cette équation du second degré par factorisation, de sorte que notre première étape consiste à factoriser le côté gauche de l’équation. Pour ce faire, nous pouvons soit reconnaître que la forme de l’équation du second degré est un carré parfait, soit appliquer une approche plus universelle et utiliser l’inspection. Par besoin de généralité, nous appliquons cette dernière démarche.

Pour factoriser par inspection, rappelons que nous pouvons prendre des paires de facteurs qui se multiplient pour former le dernier terme, et déterminer lesquelles ont une somme qui forme le terme moyen. Comme le dernier terme est 4, les paires de facteurs distinctes sont1×4=414,2×2=422.etet

Ensuite, nous considérons le terme moyen, 4𝑥, qui a un coefficient de 4. Alors que nous ne pouvons pas ajouter 1 et 4 (ou 1 et 4) pour former 4, en utilisant deux ensembles de 2, nous avons22=4.

Ainsi, on sait que 2 apparaît deux fois dans les facteurs, ce qui signifie que nous pouvons factoriser l’équation du second degré comme suit:𝑥4𝑥+4=(𝑥2)(𝑥2)=(𝑥2).

Cela peut être vérifié en développant les parenthèses. Ainsi, notre équation peut être écrite comme(𝑥2)=0.

Nous pouvons résoudre cette équation, car nous savons qu’elle ne peut être nulle que lorsque 𝑥2=0. En ajoutant 2 de chaque côté, nous obtenons la solution,𝑥=2.

Dans l’exemple précédent, nous avons dû avoir affaire à une équation du second degré où le terme principal (à savoir, le terme 𝑥) avait un coefficient de 1, mais parfois nous devrons être capable de factoriser les équations du second degré lorsque ce n’est pas le cas.

Dans l’exemple suivant, nous examinerons la factorisation et la résolution d’une équation du second degré non monique.

Exemple 3: Déterminer les racines d’une équation du second degré sous la forme 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Déterminez l’ensemble solution de 6𝑥13𝑥+6=0 dans .

Réponse

Pour trouver les solutions à cette équation du second degré, nous pouvons factoriser le côté gauche en utilisant l’inspection. Pour ce faire, comme cela a été donné sous forme standard 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, on peut commencer par multiplier 𝑎 et 𝑐 (c.-à-d. 6×6=36), en indiquant les facteurs de ce nombre, et en identifiant la paire de facteurs dont la somme est 𝑏 (c.-à-d. 13):

Alors, réécrivons l’expression en utilisant ces valeurs:6𝑥4𝑥9𝑥+6=0.

Maintenant, nous pouvons factoriser cela en groupant les deux premiers et les deux derniers termes:6𝑥4𝑥+9𝑥+6=2𝑥(3𝑥2)3(3𝑥2)=(2𝑥3)(3𝑥2).facteurdefacteurde

Enfin, maintenant que l’équation du second degré a été factorisée, nous pouvons résoudre l’équation en définissant chaque facteur à 0. C’est-à-dire que nous avons(2𝑥3)(3𝑥2)=02𝑥3=03𝑥2=02𝑥=33𝑥=2𝑥=32𝑥=23.ououou

Écrit sous la forme d’un ensemble solution, c’est 23,32.

Jusqu’à présent, nous n’avons vu que des équations du second degré sous forme standard (c.-à-d. 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0), mais parfois elles peuvent prendre une forme différente bien qu’elles soient toujours essentiellement des équations du second degré. Par exemple, on pourrait avoir quelque chose comme(𝑥+4)=9.

Bien que nous puissions voir que le côté gauche est sous forme factorisée, cela ne nous aide pas à résoudre immédiatement l’équation. Au lieu de cela, nous devons le manipuler sous une forme qui nous permet de trouver les solutions. Dans ce cas, si on prend la racine carrée des deux côtés, on obtient𝑥+4=±3.

Notez que le côté droit peut être positif ou négatif, étant donné que 3 et 3 sont des racines carrées de 9. Cela donne deux équations:𝑥+4=3𝑥+4=3,𝑥=7𝑥=1.ouou

Ainsi, les solutions sont 𝑥=7 et 1. Bien que nous n’ayons pas eu à faire trop de travail supplémentaire dans ce cas, en général, nous pourrions avoir à faire des calculs supplémentaires. En particulier, une approche efficace de ce genre de problèmes consiste à réarranger l’équation sous forme standard avant d’essayer de la résoudre. Voyons un exemple de cela.

Exemple 4: Résoudre une équation du second degré non donnée sous forme standard

Déterminez l’ensemble solution de 𝑥3𝑥=8 dans .

Réponse

Comme cette équation n’est pas la forme standard d’une équation du second degré (c.-à-d. 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0), nous devrons la réarranger sous cette forme avant de pouvoir la résoudre.

Pour commencer, nous devrions éliminer le cube sur le côté gauche, ce que nous pouvons faire en prenant la racine cubique des deux côtés. Cela nous donne(𝑥3𝑥)=8𝑥3𝑥=2.

Ensuite, en ajoutant deux des deux côtés, nous pouvons le convertir en forme standard:𝑥3𝑥+2=0.

Maintenant, nous pouvons résoudre cette équation en factorisant. Nous pouvons le faire par inspection en considérant une paire de facteurs qui se multiplie pour former 2 et s’ajoute pour obtenir 3. Cela peut être fait avec 2 et 1. Donc, nous avons𝑥2𝑥𝑥+2=0(𝑥2)(𝑥1)=0.

Maintenant, nous pouvons résoudre ce problème en définissant les facteurs à zéro. Cela nous donne deux équations linéaires à résoudre:𝑥2=0𝑥1=0,𝑥=2𝑥=1.ouou

Comme un ensemble solution, ceci est {1;2}.

En tant que commentaire secondaire au type de réarrangement illustré dans l’exemple précédent, nous devons être prudents lorsque nous mettons au carré ou en prenant des racines carrées d’équations pour les réarranger. Comme on prenait une racine cubique, on n’avait rien à faire de particulier (les racines cubiques étant valables pour n’importe quel nombre réel), mais disons par exemple4𝑥+3=2𝑥6.

Si nous avons mis au carré les deux côtés et ensuite factorisé l’équation du second degré résultante (bien que nous ne couvrirons pas les étapes ici), nous finirions par obtenir(2𝑥3)(2𝑥11)=0.

Bien que cela aurait normalement deux solutions, qui sont 𝑥=32 et 𝑥=112, on note que 𝑥=32 conduirait à ce que le côté droit de l’équation d’origine soit négatif, tandis que le côté gauche a une racine carrée qui ne peut être que négative. Par conséquent, il n’y aurait qu’une seule solution correcte. Nous devrions toujours garder à l’esprit que les racines carrées peuvent potentiellement conduire à ce que seules certaines solutions soient valides.

Pour notre dernier exemple, considérons un problème géométrique qui peut être résolu en utilisant les méthodes de factorisation que nous avons apprises jusqu’à présent.

Exemple 5: Déterminer une inconnue dans les dimensions d’une figure en résolvant une équation du second degré

Sachant que l’aire de la figure ci-dessous vaut 7 unités, quelle est la valeur de 𝑥?

Réponse

Pour résoudre ce problème, il faut rappeler la formule de l’aire 𝐴 d’un trapèze:𝐴=𝑎+𝑏2, est la hauteur, et 𝑎 et 𝑏 sont les côtés parallèles opposés. Si on substitue 𝑎=𝑥+2, 𝑏=𝑥+6, =𝑥2, et l’aire donnée 𝐴=7 dans la formule, on obtient7=(𝑥+2)+(𝑥+6)2(𝑥2)=2𝑥+82(𝑥2)=(𝑥+4)(𝑥2).

Bien que cette équation soit sous forme factorisée, nous ne pouvons pas la résoudre pour 𝑥 comme il y a une valeur constante de 7 sur le côté gauche. Ainsi, prenons tout du même côté:(𝑥+4)(𝑥2)7=0.

Pour résoudre ce problème, nous devons d’abord développer les parenthèses pour que nous puissions la mettre sous la forme standard 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0. En faisant cela, on obtient𝑥+4𝑥2𝑥87=0𝑥+2𝑥15=0.

Maintenant, nous factorisons à nouveau. Nous le faisons en trouvant deux nombres qui se multiplient pour former 𝑐, qui est 15, et s’ajoutent pour obtenir 𝑏, 2:

Ainsi, en utilisant 3 et 5, on peut factoriser l’expression du second degré pour obtenir𝑥+2𝑥15=(𝑥3)(𝑥+5).

Maintenant, en définissant cela à zéro, nous pouvons trouver les solutions en définissant chaque facteur à zéro comme suit:(𝑥3)(𝑥+5)=0𝑥3=0𝑥+5=0𝑥=3𝑥=5.ouou

Nous avons deux solutions possibles, mais comme toutes les longueurs de la figure doivent être positives, nous pouvons voir que 𝑥=5 n’est pas une option. Ainsi, 𝑥 doit être 3.

Terminons par récapituler les principales informations que nous avons apprises dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Les solutions à une équation du second degré factorisée égale à zéro peuvent être obtenues en définissant chaque facteur à zéro.
  • Si l’équation du second degré est sous forme standard, nous pouvons la factoriser en utilisant des méthodes que nous connaissons déjà pour factoriser les équations du second degré afin de pouvoir la résoudre.
  • Si l’équation du second degré n’est pas sous forme standard, nous pouvons commencer par la réarranger sous cette forme (parfois il est nécessaire de mettre au carré et de prendre des racines carrées) avant de poursuivre la démarche pour une équation du second degré sous forme standard.

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