Transcription de la vidéo
Trouvez la suite arithmétique à 12 termes sachant que la somme des quatre premiers termes vaut moins 158 et que la somme des quatre derniers termes vaut moins 574.
Nous savons que notre suite arithmétique a un total de 12 termes. On nous dit que la somme des quatre premiers termes vaut moins 158. Cela signifie que la somme des premier, deuxième, troisième et quatrième termes est égale à moins 158. Le premier terme de toute suite arithmétique est égal à 𝑎. Comme la raison est égale à 𝑑, le deuxième terme sera égal à 𝑎 plus 𝑑. Le troisième terme est égal à 𝑎 plus deux 𝑑 et le quatrième terme est égal à 𝑎 plus trois 𝑑. Cela nous amène à la formule selon laquelle le 𝑛ième terme ou 𝑎 indice 𝑛, est égal à 𝑎 plus 𝑛 moins un multiplié par 𝑑.
En simplifiant notre équation en regroupant les termes similaires, nous obtenons que quatre 𝑎 plus six 𝑑 est égal à moins 158. Diviser les deux membres de cette équation par deux nous donne que deux 𝑎 plus trois 𝑑 est égal à moins 79. Nous appellerons cela l’équation un.
On nous dit aussi que la somme des quatre derniers termes est égale à moins 574. Comme il y a 12 termes au total, ce seront les neuvième, 10ème, 11ème et 12ème termes. On a alors 𝑎 plus huit 𝑑 plus 𝑎 plus neuf 𝑑 plus 𝑎 plus 10𝑑 plus 𝑎 plus 11𝑑 égale moins 574. Cela se simplifie en quatre 𝑎 plus 38𝑑 égale moins 574. Encore une fois, nous pouvons diviser les deux membres de cette équation par deux, ce qui nous donne que deux 𝑎 plus 19𝑑 est égal à moins 287. Nous appellerons cela l’équation deux. Et nous avons maintenant un système de deux équations à deux inconnues que nous pouvons résoudre par élimination.
Nous pouvons soustraire l’équation un de l’équation deux pour éliminer 𝑎. Dans le membre de gauche, deux 𝑎 moins deux 𝑎 est égal à zéro et 19𝑑 moins trois 𝑑 est égal à 16𝑑. Moins 287 moins moins 79 est égal à moins 208. En divisant les deux membres par 16, nous obtenons la raison 𝑑 qui est égale à moins 13. Nous pouvons maintenant remplacer par cette valeur dans l’équation un.
Cela nous donne que deux 𝑎 plus trois multiplié par moins 13 est égal à moins 79. Trois multiplié par moins 13 est égal à moins 39. Nous pouvons ajouter 39 aux deux membres, de sorte que deux 𝑎 est égal à moins 40. En divisant par deux, nous obtenons que le premier terme 𝑎 est égal à moins 20. Comme le premier terme est égal à moins 20 et que la raison est égale à moins 13, les termes de notre suite arithmétique sont moins 20, moins 33, moins 46 et ainsi de suite.
