Transcription de la vidéo
Un gaz a initialement une pression de 800 pascals et un volume de deux mètres cubes. Il est comprimé à température constante jusqu’à ce que son volume atteigne la moitié de sa valeur initiale. À ce stade, il a une pression 𝑃 un. I Il a ensuite la possibilité de se dilater à nouveau jusqu’à ce que la pression soit de 0,25 multiplié par 𝑃 un. Quel est le volume final du gaz ?
Dans ce problème, nous avons un gaz qui a un volume initial que nous appellerons 𝑉 zéro, qui d’après la question a une valeur de deux mètres cubes. Le gaz est initialement à une pression que nous appellerons 𝑃 zéro, ce qui d’après la question vaut 800 pascals. Ensuite, on nous dit que le gaz est comprimé. À ce stade, nous dirons que le gaz a un volume 𝑉 un. Et on nous dit que ce volume est la moitié du volume initial du gaz. On peut donc écrire que 𝑉 un est égal à un demi multiplié par 𝑉 zéro.
La question nous dit que la pression du gaz en ce point est 𝑃 un et cette valeur nous est inconnue. Ensuite, on nous dit que le gaz peut se dilater. À ce stade, nous dirons que le volume du gaz est 𝑉 deux, et nous ne connaissons pas sa valeur. Et la pression du gaz est 𝑃 deux, et on nous dit qu’elle a une valeur de 0,25 fois 𝑃 un, donc 𝑃 deux est égale à 0,25 multipliée par 𝑃 un.
La question nous demande de calculer le volume final du gaz, nous devons donc calculer 𝑉 deux. Pour répondre à cette question, nous allons utiliser une loi sur les gaz appelée loi de Boyle, et la loi de Boyle nous dit que la pression du gaz multipliée par le volume que le gaz occupe est égale à une constante 𝐶. Cependant, pour que cela soit vrai, deux choses doivent être vérifiées. La quantité de gaz doit rester la même et la température du gaz doit rester constante. La question nous dit que le gaz est à une température constante, nous savons donc que cette deuxième condition est remplie. La question ne dit rien non plus à propos de gaz ajouté ou retiré, nous pouvons donc supposer que la quantité de gaz reste constante.
Nous avons donc vérifié que nous pouvons appliquer la loi de Boyle au gaz dans cette question. C’est-à-dire que la pression du gaz multipliée par le volume du gaz en tout point sera constante. Et cela nous permet de comparer le gaz à deux instants. Par exemple, nous pourrions choisir deux instants aléatoires 𝐴 et 𝐵. La pression du gaz multipliée par le volume du gaz à l’instant 𝐴 est égale à la pression du gaz multipliée par le volume du gaz à l’instant 𝐵. Alors faisons de l’espace et appliquons la loi de Boyle à cette question. Tout d’abord, nous allons utiliser la loi de Boyle pour déterminer 𝑃 un, la pression du gaz lorsqu’il a été comprimé. Et puis nous utiliserons la loi de Boyle une deuxième fois pour calculer le volume de gaz après qu’il se soit à nouveau dilaté, 𝑉 deux.
Pour calculer 𝑃 un, nous considérerons l’état initial du gaz et l’état comprimé du gaz. En appliquant la loi de Boyle à cela, la pression du gaz multipliée par le volume du gaz dans son état initial est égale à la pression du gaz multipliée par le volume du gaz dans son état comprimé. Nous avons une expression pour 𝑉 un, alors allons-y et insérons-la Ensuite, développer les parenthèses nous donne 𝑃 zéro multiplié par 𝑉 zéro est égal à un demi 𝑃 un multiplié par 𝑉 zéro. Nous essayons de déterminer 𝑃 un, et nous avons des valeurs connues de 𝑃 zéro et 𝑉 zéro. Donc, tout ce que nous avons à faire est de réorganiser cette équation pour faire de 𝑃 un le sujet.
Premièrement, nous allons diviser les deux côtés par 𝑉 zéro, où nous voyons que 𝑉 zéro au numérateur et au dénominateur des deux côtés s’annule. Et cela nous laisse avec la simple expression que 𝑃 zéro est égal à un demi 𝑃 un. En multipliant les deux côtés par deux, nous voyons que les deux à droite s’annulent, ce qui nous laisse uniquement avec 𝑃 un à droite. En écrivant cela un peu plus proprement avec 𝑃 un à gauche, nous obtenons 𝑃 un est égal à deux 𝑃 zéro. En insérant notre valeur connue de 𝑃 zéro, 𝑃 un est égal à deux multiplié par 800 pascals. Et en calculant cela, nous obtenons 𝑃 un est égal à 1600 pascals. Et nous allons garder une note de cela ici.
Ensuite, nous utiliserons la loi de Boyle pour comparer le gaz lorsqu’il est comprimé et dilaté pour obtenir un 𝑉 deux. La pression du gaz multipliée par le volume du gaz à l’état comprimé est égale à la pression du gaz multipliée par le volume du gaz lorsqu’il est dilaté à nouveau. Tout d’abord, nous insérerons notre expression de 𝑉 un dans cette équation, et nous verrons que 𝑃 un multiplié par un demi 𝑉 zéro est égal à 𝑃 deux multiplié par 𝑉 deux. Ensuite, nous insérerons notre expression de 𝑃 deux dans cette équation. Ensuite, en développant les parenthèses de chaque côté, nous voyons qu’un demi 𝑃 un multiplié par 𝑉 zéro est égal à 0,25𝑃 un multiplié par 𝑉 deux. Nous aimerions calculer 𝑉 deux, et nous avons des valeurs connues de 𝑃 un et 𝑉 zéro. Donc tout ce que nous avons à faire maintenant est de faire de 𝑉 deux le sujet de cette équation.
En divisant les deux côtés par 𝑃 un, nous voyons que le 𝑃 un au numérateur et au dénominateur des deux côtés s’annulent, ce qui nous laisse avec un demi 𝑉 zéro égal à 0,25𝑉 deux. Une autre façon d’écrire 0,25 est un divisé par quatre, donc un demi 𝑉 zéro est égal à un quart de 𝑉 deux. En multipliant les deux côtés par quatre, nous voyons que les quatre à droite s’annulent et que quatre multiplié par un demi sur le côté gauche de l’équation est égal à deux. Et cela nous laisse avec 𝑉 deux à droite. En écrivant cela un peu plus proprement avec 𝑉 deux à gauche, voici notre expression pour 𝑉 deux. Nous pouvons maintenant insérer notre valeur connue de 𝑉 zéro ici, où nous voyons que 𝑉 deux est égal à deux multiplié par deux mètres cubes. Et en calculant cela, nous obtenons que 𝑉 deux est égal à quatre mètres cubes, de sorte que le volume final du gaz est de quatre mètres cubes.
