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Vidéo de la leçon : Loi de Boyle Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la formule 𝑃𝑉 = constante (loi de Boyle) pour calculer la pression ou le volume d’un gaz qui est dilaté ou compressé à température constante.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons étudier la loi de Boyle. Cette loi nous montre que pour certains types de gaz, il existe une relation particulière entre d’une part, la pression du gaz, et d’autre part, le volume occupé par le gaz. Pour commencer l’étude de la loi de Boyle, considérons ce nuage de gaz. Tel que présenté ici, ce nuage de gaz flotte librement. Il peut donc se mélanger sans contrainte avec d’autres gaz de l’atmosphère.

Dans cette configuration, il est difficile de définir le volume de ce gaz ou de quantifier l’espace qu’il occupe, car son volume n’est pas délimité. Mais lorsque le gaz est enfermé dans un contenant, il se répartit complètement dans cet espace. Et ainsi, on peut alors clairement définir le volume de ce gaz. On sait qu’il est égal à la largeur du contenant multiplié par sa hauteur multiplié par sa profondeur.

On peut noter le volume de ce contenant dans lequel le gaz est enfermé en utilisant un symbole. Et puisque le gaz remplit parfaitement ce contenant, on peut dire que le gaz lui-même a pour volume ce qu’on notera 𝑉. En plus de ce volume, on souhaite connaître une autre propriété de ce gaz.

Admettons que l’on zoom, et qu’on étudie une vue agrandie d’une petite section de cette paroi. Si on observe cette vue sur un intervalle de temps donné, on va voir un certain nombre de molécules de ce gaz arriver sur la paroi, rebondir sur cette même paroi, puis repartir en direction opposée, vers l’intérieur du contenant. À chaque fois qu’une molécule rebondit sur la paroi, elle exerce une force, aussi petite soit-elle, sur le récipient. Si on additionnait toutes les forces subies par la paroi du contenant au cours d’un certain intervalle de temps, puis qu’on les divisait par l’aire de la paroi soumise à ces interactions, on aurait alors calculé la pression exercée par le gaz sur la paroi du contenant. On notera cette variable : 𝑃 majuscule.

On voit donc que ce gaz a un volume, c’est-à-dire, qu’il occupe une certaine quantité d’espace. Et il exerce également une pression sur les parois de son contenant. Et on a vu que cette pression est liée au nombre de collisions entre les molécules de gaz et avec la paroi du contenant.

Maintenant que l’on a vu ces propriétés, effectuons quelques modifications sur notre contenant. On va garder la même profondeur mais on va rapprocher les quatre autres parois. Ce faisant, on s’aperçoit que les molécules de gaz sont alors confinées dans un plus petit espace. En effectuant ce changement, on se pose alors la question suivante : « Comment le volume et la pression du gaz sont-ils affectés ? »

On remarque clairement que le volume de gaz a diminué. La profondeur du contenant est inchangée. Mais la hauteur et la largeur sont beaucoup plus petites qu’auparavant. Ainsi, le gaz est confiné dans un espace plus petit. Et le volume qu’il remplit est donc plus petit.

Bien, à présent, qu’en est-il de la pression du gaz ? Si on observe à nouveau une vue agrandie d’une petite section de la paroi de notre contenant, on voit maintenant que, sur le même intervalle de temps qu’auparavant, il y a beaucoup plus d’interactions entre les molécules du gaz et la paroi du contenant. En effet, les molécules de gaz sont beaucoup plus rapprochées les unes des autres, c’est-à-dire, le gaz est beaucoup plus dense. Donc, au global, en ce qui concerne la force totale ou cumulative de toutes les collisions sur la surface de cette paroi, on observe que cette force est plus grande qu’auparavant.

Puisque la force exercée sur la même aire à la surface de la paroi a augmenté, la pression du gaz a donc augmenté. On voit donc que, en changeant un paramètre pour ce gaz, ici, le volume qu’il occupe, on a également changé sa pression. En réalité, ce lien existera toujours entre le volume et la pression, que l’on rétrécisse le contenant, comme dans ce cas, ou que l’on agrandisse le contenant.

En augmentant ainsi la taille du contenant, on augmente son volume. Et maintenant, alors que les molécules de gaz se répartissent entièrement dans ce plus vaste espace, si on zoom, une fois encore, sur une section de la paroi du contenant, on observe que, sur la même période de temps et sur la même surface de la paroi que précédemment, il y a moins de collisions entre les molécules de gaz et la paroi. Et ceci s’explique par le fait que ces molécules sont maintenant fortement dispersées dans le plus grand volume du contenant. Au global, ceci a pour effet de diminuer la pression du gaz par rapport à ce qu’elle était auparavant.

Si on devait résumer le phénomène observé à travers ces changements de volume du contenant de gaz, voici ce que l’on pourrait dire. On a vu que lorsque le volume du contenant diminue, la pression du gaz augmente et que, en revanche, lorsque son volume augmente, la pression du gaz diminue. Une façon d’exprimer ce type de relation entre deux variables revient à dire qu’elles sont inversement proportionnelles l’une à l’autre. Cela peut s’écrire de la façon suivante. Le volume de gaz est proportionnel à un sur la pression du gaz.

Mais aussi, il existe une autre façon, mathématiquement équivalente, d’écrire ceci. Lorsque 𝑉 est proportionnel à un sur 𝑃, on peut dire que 𝑉 est égal à une valeur constante – qu’on note 𝐶 - multipliée par un sur 𝑃. On ne sait pas encore ce qu’est cette constante 𝐶. Mais comme elle rend 𝑉 proportionnel à un sur 𝑃, on l’appelle parfois la constante de proportionnalité.

Quoi qu’il en soit, en allant un peu plus loin avec cette équation, observons ce qui se passe lorsque l’on multiplie les deux côtés de l’équation par la pression 𝑃. On a ce terme qui s’annule du côté droit. Et il nous reste cette formule qui dit que la pression du gaz multipliée par son volume est une constante.

À présent, énumérons les quelques hypothèses qui ont été utilisées dans ce processus. Tout d’abord, on a supposé que la masse totale du gaz est constante. Cela signifie que lorsque l’on a agrandi ou rétréci notre contenant, aucune molécule de gaz n’a pu s’en échapper ni y être ajoutée. Globalement, la masse est restée la même. On a également supposé que la température du gaz en question restait constante. On a donc établi que ce gaz ne se refroidit pas lorsqu’il se dilate et ne se réchauffe pas lorsqu’il se compresse.

En d’autres termes, tout au long des changements de taille du contenant, de plus petit à plus grand, la vitesse moyenne des molécules dans le gaz est restée la même. En moyenne, elles ne se sont pas déplacées pas plus rapidement ou plus lentement qu’auparavant. Donc, si ces deux hypothèses sont valables, si la masse de notre gaz et la température du gaz sont toutes les deux des valeurs constantes, alors le volume de gaz est directement proportionnel à un sur sa pression. Et comme on l’a dit plus tôt, cela signifie que la pression du gaz en tout instant multipliée par son volume au même instant est égale à une valeur constante.

Lorsqu’on énonce cette relation de cette façon, on écrit en réalité une loi connue sous le nom de loi de Boyle. La loi de Boyle concerne en particulier les gaz qui sont considérés comme idéaux. Lorsqu’un gaz est considéré comme un gaz idéal, cela signifie que les molécules de ce gaz occupent un espace négligeable et qu’elles n’interagissent pas entre elles, c’est-à-dire qu’elles ne s’attirent pas ou ne se repoussent pas les unes les autres. On voit bien que cette idée d’un gaz parfait est une approximation. En effet, en réalité, les molécules qui ont une masse interagissent entre elles du fait de la gravitation. Par ailleurs, comme elles ont une masse, elles occupent une certaine place.

Mais lorsque ces hypothèses de volume négligeable de petites molécules et d’interactions négligeables entre les molécules s’appliquent, alors on considère le gaz comme un gaz idéal. Ainsi, si les conditions vues précédemment sont remplies, alors on peut affirmer que la pression du gaz multipliée par son volume est égale à une valeur constante. Comme on le verra par la suite, la loi de Boyle est très utile lorsque qu’un paramètre du gaz change. Par exemple, dans ce cas, on augmente le volume de gaz.

Comme on l’a vu précédemment, cette variation de volume engendre également une variation de pression, ce qui signifie que le volume et la pression du gaz au départ – qu’on notera 𝑃 un et 𝑉 un - sont différents du volume et de la pression du gaz après la variation – qu’on notera 𝑃 deux et 𝑉 deux pour refléter cette différence. D’après la loi de Boyle, on voit que si on prend la pression de ce gaz à tout moment et qu’on la multiplie par le volume du gaz au même moment, le produit net est égal à une valeur constante. Il ne change pas.

On notera que cette pression et ce volume sont des pressions et des volumes de gaz pris de façon générale. Ils sont considérés au même moment. C’est-à-dire qu’ils se correspondent les uns aux autres. Mais ils peuvent être étudiés à n’importe quel moment, avant ou après l’expansion du contenant de gaz. Donc, si cela est vrai, ce que la loi de Boyle confirme, cela signifie que l’on peut associer 𝑃 un et 𝑉 un avec 𝑃 deux et 𝑉 deux. Après tout, il s’agit toujours de la pression et du volume du même gaz, mais juste à des moments différents.

La loi de Boyle nous dit que si un gaz subit une variation de volume et de pression, et que si ce changement se produit alors que ces hypothèses de masse constante et de température constante sont maintenues. Alors, la pression initiale du gaz avant la variation multipliée par son volume avant cette variation est égale à la pression du gaz multipliée par le volume du gaz après la variation. Et d’ailleurs, cette loi s’applique quel que soit le nombre de changements subis par notre gaz. Disons que, après cette première modification où on a augmenté le volume, on modifie maintenant le volume pour qu’il soit plus petit qu’auparavant. On a alors maintenant une troisième pression, 𝑃 trois, et un troisième volume, 𝑉 trois.

Et bien, la loi de Boyle dit que le produit de ces deux valeurs, 𝑃 trois et 𝑉 trois, est égal à 𝑃 deux fois 𝑉 deux. Et cela équivaut à 𝑃 une fois 𝑉 un. Voilà comment s’applique cette loi. Pression fois volume est égal à une constante.

Avant d’utiliser un peu plus la loi de Boyle, regardons un peu ses unités. On voit que cette loi implique une pression et un volume. Les unités de volume standard sont les mètres cubes. Et pour les unités de pression, souvenons-nous de la vue agrandie de la paroi du récipient sur laquelle les molécules de gaz arrivent.

On a vu qu’à chaque fois qu’une molécule de gaz arrive sur la paroi, elle lui applique une force. Lorsqu’on prend en compte les impacts générés par de nombreuses molécules de gaz sur la paroi d’un contenant, on sait que cela se produit sur une aire de la paroi. La pression alors exercée par ce gaz sur la paroi est mesurée comme une force, dont l’unité est le newton, sur une certaine surface, en mètres carrés. Et rappelons que cette force en newtons est la somme de la force de toutes les molécules arrivant sur cette aire particulière de la paroi

Ici, cette unité, le newton par mètre carré, permet d’exprimer une pression. Mais il existe une unité plus commune pour la pression appelée Pascal. Abrégée : Pa. Parfois, une pression peut être énoncée comme étant de 1000 ou 500 pascals. Dans ce cas, il est utile de rappeler qu’un pascal correspond à une force d’un newton appliquée sur une surface d’un mètre carré. Ces unités confirment bien qu’on a ici une pression. Avec cela en tête, voyons maintenant quelques exemples de loi de Boyle.

Un volume de gaz de quatre mètres cubes est à une pression de 1000 pascals. Le gaz se dilate à une température constante jusqu’à ce que sa pression soit réduite de moitié par rapport au début de la détente. Par quel coefficient le volume du gaz a-t-il augmenté après la détente ?

Bien, dans cet exemple, on a un gaz qui a initialement un volume que l’on appellera 𝑉 un. Et on appellera sa pression initiale 𝑃 un. Ensuite, on nous dit que le gaz se dilate à température constante pour finir par occuper un volume plus important qu’à l’état initial. Suite à cette détente, on sait que le volume de gaz sera différent. On peut appeler ce nouveau volume 𝑉 deux. La pression du gaz va également changer. On l’appellera 𝑃 deux.

Dans l’énoncé du problème, on nous donne la relation entre 𝑃 un, la pression initiale du gaz, et 𝑃 deux, sa pression finale. On nous dit que la pression finale, 𝑃 deux, est égale à la moitié de la pression initiale, 𝑃 un. Sachant cela, on souhaite connaitre le coefficient par lequel le volume de gaz a été augmenté par rapport à son état initial. En d’autres termes, on cherche à calculer le rapport 𝑉 deux divisé par 𝑉 un. Ce rapport nous donnera la réponse.

Pour commencer à chercher ce rapport, on peut remarquer qu’il est indiqué que la détente du gaz se produit à une température constante. Cela nous indique que lorsque la pression et le volume du gaz changent, ce changement est soumis à une loi connue sous le nom de loi de Boyle. La loi de Boyle nous dit que, pour un gaz idéal qui se dilate ou se compresse à une température constante, la pression initiale du gaz multipliée par son volume initial est égale à la pression finale multipliée par le volume final. On peut donc appliquer cette relation à notre exemple en écrivant 𝑃 un fois 𝑉 un est égal à 𝑃 deux fois 𝑉 deux.

Maintenant, rappelons notre objectif. On cherche à calculer le rapport 𝑉 deux divisé par 𝑉 un. Cela va nous donner le coefficient d’augmentation du volume après la détente du gaz. On peut calculer ce rapport en utilisant la loi de Boyle. Si on divise les deux côtés de l’équation par le volume initial du gaz, 𝑉 un, alors ce terme s’annule sur le côté gauche. Puis si on divise les deux côtés de l’équation par 𝑃 deux, la pression du gaz après la détente, ce terme s’annule sur le côté droit.

On note que maintenant, du côté droit de notre équation, on a le rapport que l’on cherchait. Et on peut réécrire 𝑃 deux, cette valeur sur le côté gauche, en fonction de 𝑃 un comme donné par cette relation. Lorsqu’on remplace 𝑃 deux par 𝑃 un divisé par deux, on peut alors multiplier le côté gauche de notre équation par deux divisé par deux. On effectue cette manipulation afin d’annuler le facteur deux au dénominateur. Du côté gauche, il nous reste, deux fois 𝑃 un divisé par 𝑃 un. Donc, ce facteur 𝑃 un s’annule également. Et maintenant, on constate que l’on a ici trouvé le rapport cherché, 𝑉 deux divisé par 𝑉 un. Ce rapport est de deux, ce qui signifie que le volume de gaz est deux fois plus important après la détente qu’avant.

Résumons maintenant ce que l’on a appris sur la loi de Boyle dans cette leçon. La loi de Boyle s’applique aux gaz parfaits subissant un changement, tout en maintenant leur masse ainsi que leur température constantes. Cette loi établit que la pression d’un gaz multipliée par son volume au même instant est égale à une constante. Pour un gaz qui subit un certain type de changement de pression et de volume, la loi établit également que la pression initiale multipliée par le volume initial est égale à la pression finale multipliée par le volume final du gaz. Pour finir, on a vu que les unités de base du volume sont les mètres cubes. Et la pression, qui correspond à une force en newtons divisée par une surface en mètres carrés, est exprimée dans des unités appelées les pascals, abrégées Pa.

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