Video Transcript
Déterminez la valeur numérique de 𝑒 à la puissance 𝑖 fois 11 pi sur six plus 𝑒 à la puissance moins 𝑖 fois 11 pi sur six.
Nous pouvons commencer par rappeler que tout nombre complexe écrit sous une forme exponentielle 𝑧 égale 𝑟 multiplié par 𝑒 à la puissance 𝑖 thêta peut être réécrit sous la forme polaire ou trigonométrique 𝑧 égale 𝑟 multiplié par cosinus thêta plus 𝑖 sinus thêta. Nous avons dans cette question deux nombres complexes écrits sous forme exponentielle que nous devons réécrire sous forme polaire. Dans les deux cas, notre valeur de 𝑟 est égale à un. Le nombre complexe 𝑒 à la puissance 𝑖 fois 11 pi sur six est égal à cosinus de 11 pi sur six plus 𝑖 fois sinus de 11 pi sur six.
En nous assurant que notre calculatrice est en mode radian, cosinus de 11 pi sur six est égal à racine de trois sur deux. Et, sinus de 11 pi sur six est égal à moins un demi. Par conséquent, le nombre complexe 𝑒 à la puissance 𝑖 fois 11 pi sur six est égal à racine de trois sur deux moins un demi de 𝑖. Nous pouvons maintenant réitérer ceci pour le deuxième nombre complexe à savoir 𝑒 à la puissance moins 𝑖 fois 11 pi sur six. Il est égal à cosinus de moins 11 pi sur six plus 𝑖 fois sinus de moins 11 pi sur six. Cette fois, nous obtenons racine de trois sur deux plus un demi de 𝑖.
Nous devons maintenant additionner nos deux nombres complexes. En regroupant les parties réelles, nous avons racine de trois sur deux plus racine de trois sur deux. En regroupant les parties imaginaires, nous avons moins un demi de 𝑖 plus un demi de 𝑖. La somme des parties imaginaires est égale à zéro. Il nous reste donc deux racines de trois sur deux. Nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par deux. Cela signifie que la valeur numérique de 𝑒 à la puissance 𝑖 fois 11 pi sur six plus 𝑒 à la puissance moins 𝑖 fois 11 pi sur six est égale à racine de trois.
