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Quel est l'argument principal du nombre complexe 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels, et qui appartient au deuxième quadrant du diagramme d'Argand ?
Commençons par visualiser notre nombre complexe sur le diagramme d’Argand. Supposons que 𝑎 et 𝑏 sont deux nombres réels positifs. Rappelons que 𝑎 est la partie réelle de notre nombre complexe et que 𝑏 est la partie imaginaire. Le point 𝑧 représenté sur le diagramme d’Argand a donc pour coordonnées 𝑎, 𝑏.
L’argument de 𝑧, appelons-le 𝜃, est l’angle entre ce segment et l’axe des réels positifs comme indiqué. Alors, nous pouvons en fait dessiner un triangle rectangle et ajouter quelques valeurs. L’angle représenté est 𝜃, le côté opposé à cet angle mesure 𝑏 unités et le côté adjacent à cet angle mesure 𝑎 unités. Puisque la tangente d’un angle est égale au rapport du côté opposé sur le côté adjacent, on peut donc dire que tangente 𝜃 est ici égale à 𝑏 sur 𝑎. Nous pouvons ensuite calculer la valeur de 𝜃 en prenant la tangente moins un des deux côtés ou l’arc tangente des deux côtés. Donc 𝜃 est égal à la tangente moins un de 𝑏 sur 𝑎.
Alors, comment faire pour généraliser cela à un point situé dans le deuxième quadrant ? Il s’agit maintenant d’un point où 𝑎 est inférieur à zéro et 𝑏 est supérieur à zéro. Alors, comme les valeurs de 𝑎 et 𝑏 sont les mêmes, ce nouveau nombre complexe est obtenu en prenant le symétrique du nombre complexe initial par rapport à l’axe imaginaire. Comme l’angle entre ce nouveau segment et l’axe des réels négatifs est égal à l’angle entre le nombre complexe initial et l’axe des réels positifs, on peut dire que son argument est égal à 𝜋 moins la tangente moins un de 𝑏 sur la valeur absolue de 𝑎.
Alors, nous avons écrit la valeur absolue de 𝑎 parce que nous savons, bien sûr, que la valeur est négative. Et nous voulons que cette valeur corresponde à la valeur précédente de 𝜃, mais en fait, nous pouvons écrire cela autrement. Nous savons que 𝑎 est négatif, donc 𝑏 divisé par 𝑎 est aussi négatif. Et nous savons que tangente et arc tangente sont des fonctions impaires. Donc, arc tangente ou tangente moins un de moins 𝑥 est égal à moins tangente moins un de 𝑥.
Donc, lorsque 𝑎 est négatif – c’est-à-dire lorsque le nombre complexe se situe dans le deuxième quadrant - l’argument de 𝑧 est en fait égal à 𝜋 moins tangente moins de moins 𝑏 sur 𝑎 ou 𝜋 plus tangente moins un de 𝑏 sur 𝑎. Et donc, même s’il est généralement plus judicieux de représenter le nombre complexe sur un diagramme d’Argand, il est possible d’utiliser les valeurs de 𝑏 et 𝑎 directement à partir de la forme algébrique.
