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Vidéo question :: Déterminer la distance parcourue par une particule et sa vitesse sachant la durée et l’expression de l’accélération Mathématiques

L’accélération d’une particule se déplaçant en ligne droite, à l’instant 𝑡, en secondes, est donnée par 𝑎 = (39 - 3𝑡) cm / s², 0 ≤ 𝑡 ≤ 13. À l’instant 𝑡 = 0, la particule est au repos. Lorsque 𝑡 > 13 la particule se déplace avec une vitesse uniforme 𝑣. Déterminez la vitesse 𝑣 et la distance, 𝑑 couverte par la particule dans les premières 23 secondes du mouvement.

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Transcription de la vidéo

L’accélération d’une particule se déplaçant en ligne droite, à l’instant 𝑡, en secondes, est donnée par 𝑎 est égal à 39 moins trois 𝑡 centimètres par seconde au carré, où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à 13. À l’instant 𝑡 est égal à zéro, la particule est au repos. Lorsque 𝑡 > 13 la particule se déplace avec une vitesse uniforme 𝑣. Déterminez la vitesse 𝑣 et la distance, 𝑑 couverte par la particule dans les premières 23 secondes du mouvement.

Dans cette question, on nous donne une expression en fonction du temps 𝑡 pour l’accélération d’une particule. On nous dit que la particule accélère pendant les 13 premières secondes du mouvement. Elle se déplace ensuite avec une vitesse uniforme 𝑣, que nous devons calculer. On nous demande également de calculer la distance 𝑑 parcourue par la particule dans les 23 premières secondes du mouvement. Nous commençons par rappeler que nous pouvons trouver une expression de la vitesse en fonction de 𝑡 en intégrant notre expression de l’accélération par rapport à 𝑡.

Dans cette question, la vitesse est égale à l’intégrale de 39 moins trois 𝑡 par rapport à 𝑡. Nous pouvons intégrer cette expression terme par terme. L’intégration de la constante 39 par rapport à 𝑡 nous donne 39𝑡. L’intégration de trois 𝑡 nous donne trois 𝑡 au carré sur deux. En se rappelant d’ajouter une constante d’intégration 𝐶, nous avons 39𝑡 moins trois 𝑡 au carré sur deux plus 𝐶. Nous pouvons trouver la valeur de la constante en utilisant le fait qu’à l’instant 𝑡 est égal à zéro, la particule est au repos.

Cela signifie que 𝑣 est égal à zéro lorsque 𝑡 est égal à zéro. En substituant ces valeurs, nous avons zéro est égal à 39 multiplié par zéro moins trois multiplié par zéro au carré sur deux plus 𝐶. Cela signifie que la constante 𝐶 est aussi égale à zéro. Notre expression pour la vitesse est donc égale à 39𝑡 moins trois 𝑡 au carré sur deux. Nous voulons calculer la vitesse après 13 secondes. Elle équivaut à 39 fois 13 moins trois fois 13 au carré sur deux. Cela se simplifie en 507 moins 507 sur deux, ce qui est égal à 507 sur deux ou 253,5. Après 13 secondes, la particule cesse d’accélérer et se déplace à une vitesse uniforme. Cela signifie que notre valeur de 𝑣 est de 253,5 centimètres par seconde.

La deuxième partie de notre question nous demande de calculer la distance parcourue par la particule dans les 23 premières secondes. Après avoir dégagé un peu d’espace, nous rappelons que nous pouvons trouver une expression pour la position par rapport à l’origine 𝑠 en intégrant notre expression de la vitesse par rapport à 𝑡. Cela signifie que dans les 13 premières secondes, la position de la particule sera égale à l’intégrale de 39𝑡 moins trois 𝑡 au carré sur deux par rapport à 𝑡. En ajoutant les bornes zéro et 13, nous avons une intégrale définie qui nous aidera à calculer la distance parcourue dans les 13 premières secondes. Encore une fois, nous pouvons intégrer terme par terme. L’intégration de 39𝑡 nous donne 39𝑡 au carré sur deux. L’intégration de trois 𝑡 au carré sur deux nous donne trois 𝑡 au cube sur six.

Ensuite, nous devons substituer nos bornes supérieure et inférieure, puis trouver la différence entre ces deux valeurs. Nous remarquons également que le deuxième terme se simplifie en 𝑡 au cube sur deux. En substituant nos valeurs, nous avons l’expression indiquée. La deuxième partie est simplement égale à zéro. Taper le reste de notre expression dans notre calculatrice nous donne 2197. Puisqu’il ne s’agit que de la distance parcourue dans les 13 premières secondes, nous appellerons cela 𝑠 indice un. Cela équivaut à 2197 centimètres.

Après avoir fait de la place, nous pouvons maintenant considérer ce qui se passe dans les 10 prochaines secondes jusqu’à un total de 23 secondes. Pendant cette période, la particule se déplace avec une vitesse uniforme. Cela signifie que nous pouvons utiliser l’équation qui dit que la distance est égale à la vitesse multipliée par le temps. Si nous posons la distance parcourue 𝑠 indice deux, nous avons 𝑠 indice deux est égal à 253,5 multiplié par 10, ce qui donne 2535. La particule parcourt une distance de 2535 centimètres de 𝑡 est égal à 13 à 𝑡 est égal à 23.

Nous pouvons maintenant calculer la distance totale 𝑑 en ajoutant 𝑠 indice un et 𝑠 indice deux. Nous devons ajouter 2197 et 2535. Ce qui donne 4732. La distance parcourue par la particule dans les 23 premières secondes du mouvement est de 4732 centimètres.

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