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Vidéo de question : Diviser un triangle en deux triangles rectangles pour calculer une longueur inconnue Mathématiques

Sur la figure donnée, 𝐴𝐶=3,5. Que vaut 𝐴𝐵 ? Donnez votre réponse au centième près.

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Transcription de vidéo

Sur la figure donnée, la longueur de 𝐴𝐶 est égale à 3,5. Que vaut 𝐴𝐵 ? Donnez votre réponse au centième près.

Dans cette question, on nous donne une figure sur laquelle est représenté le triangle 𝐴𝐵𝐶 et on nous dit que la longueur de son côté 𝐴𝐶 est égale à 3,5. Ajoutons cette information sur notre figure. On nous demande de déterminer la longueur du côté 𝐴𝐵. Nous devons donner notre réponse au centième près. Il existe plusieurs façons de déterminer la longueur de 𝐴𝐵.

Tout d’abord, nous remarquons sur la figure un point noté 𝐷 qui nous permet de séparer notre triangle 𝐴𝐵𝐶 en deux triangles rectangles. Ainsi, nous avons le triangle rectangle 𝐴𝐷𝐵 et le triangle rectangle 𝐴𝐷𝐶. Nous indiquons l’angle droit du triangle 𝐴𝐷𝐶 sur notre figure et nous remarquons que dans ce triangle, nous connaissons la longueur d’un des côtés ainsi que la mesure d’un des angles non droits. Ceci signifie que nous pouvons déterminer les longueurs des autres côtés de ce triangle en utilisant la trigonométrie des triangles rectangles. En particulier, nous pouvons déterminer la longueur de 𝐴𝐷. Nous pourrons ensuite utiliser la trigonométrie des triangles rectangles dans notre autre triangle rectangle, le triangle 𝐴𝐷𝐶, pour déterminer la longueur de 𝐴𝐵.

La première chose à faire est d’identifier les différents côtés de notre triangle rectangle 𝐴𝐷𝐶. Commençons par l’hypoténuse. Nous savons que l’hypoténuse d’un triangle rectangle est son côté le plus long. Il s’agit du côté opposé à l’angle droit. Ainsi, dans notre cas, il s’agit du côté 𝐴𝐶. Considérons à présent le côté dont nous voulons calculer la longueur, 𝐴𝐷. Nous pouvons voir sur notre figure qu’il s’agit du côté opposé à l’angle de 41 degrés. Ainsi, il sera notre côté opposé. Enfin, même s’il ne reste plus qu’une seule possibilité pour le côté 𝐷𝐶, nous pouvons remarquer qu’il est adjacent à notre angle de 41 degrés. Ainsi, il sera notre côté adjacent.

Maintenant que nous avons identifié les trois côtés de ce triangle rectangle, nous sommes prêt à utiliser la trigonométrie des triangles rectangles pour calculer la longueur du côté 𝐴𝐷. Pour cela, nous pouvons rappeler l’acronyme suivant: SOH CAH TOA. Cet acronyme nous permet d’identifier facilement le rapport trigonométrique dont nous avons besoin. Dans notre cas, nous cherchons à déterminer la longueur du côté opposé et nous connaissons la longueur de l’hypoténuse. Ainsi, nous devons utiliser le rapport trigonométrique qui lie le côté opposé à l’hypoténuse. Il s’agit de la fonction sinus. En effet, si 𝜃 est un angle dans un triangle rectangle, alors le sinus de 𝜃 est égal à la longueur du côté opposé à l’angle 𝜃 divisée par la longueur de l’hypoténuse Ainsi, il nous faut remplacer les valeurs de notre triangle rectangle 𝐴𝐷𝐶 dans cette équation. Nous obtenons que le sinus de 41 degrés est égal à la longueur de 𝐴𝐷 divisée par 3,5.

Nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour déterminer la valeur de 𝐴𝐷 en multipliant les deux côtés de l’équation par 3,5. Nous obtenons que la longueur du côté 𝐴𝐷 est égal à 3,5 fois le sinus de 41 degrés. Nous pourrions maintenant évaluer cette expression à l’aide de la calculatrice. Seulement, il ne faut pas oublier que notre objectif final est de déterminer la longueur du côté 𝐴𝐵. Nous aurons besoin pour cela de la longueur de 𝐴𝐷 pour cela et il est préférable d’utiliser sa valeur exacte. Ainsi, nous allons laisser cette expression telle quelle.

Dessinons à présent le triangle 𝐴𝐵𝐷. Nous savons que le triangle 𝐴𝐷𝐵 est un triangle rectangle. Nous connaissons la mesure d’un de ses angles non droits et la longueur d’un de ses côtés. Ainsi, nous pouvons déterminer la longueur de son côté 𝐴𝐵 en utilisant la trigonométrie. Comme précédemment, nous commençons par identifier les différents côtés du triangle. Tout d’abord, nous savons que l’hypoténuse est le côté le plus long et qu’il est opposé à l’angle droit. Il s’agit donc du côté 𝐴𝐵 dans notre cas. Ensuite, nous pouvons voir que le côté 𝐴𝐷 est opposé à notre angle de 63 degrés. Ainsi, il sera notre côté opposé. Enfin, bien que cela ne soit plus vraiment nécessaire, nous pouvons remarquer que le côté 𝐵𝐷 est adjacent à notre angle de 63 degrés. Ainsi, il sera notre côté adjacent.

Nous devons maintenant déterminer quel rapport trigonométrique utiliser. Pour cela, nous utilisons à nouveau notre acronyme SOH CAH TOA. Nous pouvons voir que la situation est très similaire à la précédente. Seulement, il y a une légère différence. Dans le triangle 𝐴𝐵𝐷, nous connaissons la longueur du côté opposé à notre angle. Nous voulons déterminer la longueur de l’hypoténuse. Ainsi, nous allons utiliser à nouveau le rapport sinus. Il suffit maintenant de remplacer nos valeurs du triangle 𝐴𝐵𝐷 dans le rapport sinus. Nous obtenons que le sinus de 63 degrés est égal à 3,5 fois le sinus de 41 degrés divisé par la longueur de 𝐴𝐵.

Il ne nous reste plus qu’à réorganiser cette équation pour isoler 𝐴𝐵. Ainsi, nous multiplions les deux côtés de l’équation par 𝐴𝐵 et nous divisons des deux côtés par le sinus de 63 degrés. Nous obtenons que la longueur de 𝐴𝐵 est égale à 3,5 fois le sinus de 41 degrés divisé par le sinus de 63 degrés. Nous pouvons maintenant évaluer cette expression à l’aide de la calculatrice après s’être assuré qu’elle est bien réglée en mode degré. Cela nous donne un résultat de 2,577 etc. Notons que nous pourrions éventuellement préciser que l’unité associée à ce résultat est notre unité de longueur, car nous savons qu’il représente une longueur.

Enfin, n’oublions pas qu’on nous demande dans l’énoncé de donner notre réponse au centième près. Pour cela, nous vérifions le troisième chiffre après la virgule de notre résultat et nous constatons qu’il est égal à sept. Puisque sept est supérieur ou égal à cinq, nous devons arrondir au centième supérieur. Nous obtenons alors notre réponse finale. Nous avons montré que si 𝐴𝐶 est égal à 3,5 sur la figure donnée, alors la longueur de 𝐴𝐵 est égale à 2,58 au centième près.

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