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Calculez cosécante de 𝜃 sachant que tangente de 𝜃 est égale à 24 sur sept et que cosinus de 𝜃 est strictement inférieur à zéro.
Réfléchissons tout d’abord aux formules trigonométriques : sinus, cosinus et tangente. Le sinus est égal à longueur du côté opposé sur l’hypoténuse. Le cosinus est égal à la longueur du côté adjacent sur l’hypoténuse. Et la tangente est égale à la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent. La cosécante de 𝜃 est l’inverse du sinus, ce qui signifie qu’elle est égale à l’hypoténuse sur la longueur du côté opposé. La sécante est l’inverse du cosinus, donc elle est égale à l’hypoténuse sur le côté adjacent. Et la cotangente est l’inverse de la tangente, ce qui en fait la longueur du côté adjacent sur la longueur du côté opposé.
Il est alors indiqué que tangente de 𝜃 est égale à 24 sur sept. Puisque nous savons que la tangente est égale au côté opposé sur le côté adjacent et que nous recherchons la cosécante, qui est égale à l’hypoténuse sur le côté opposé, nous pouvons prendre la longueur de 24 et la remplacer dans cette fraction. Si on désigne l’angle par 𝜃, alors il existe en effet un triangle rectangle contenant cet angle tel que 24 et sept sont ses côtés opposés et adjacents. Nous pouvons ensuite utiliser le théorème de Pythagore pour calculer 𝐻. D’après celui-ci, l’hypoténuse au carré est égale à la longueur de côté 𝑎 au carré plus la longueur de côté 𝑏 au carré. Dans ce cas, on a sept au carré plus 24 au carré égale l’hypoténuse au carré. Sept au carré égale 49. 24 au carré égale 576. Et en calculant 49 plus 576, on obtient 625. On peut alors reconnaître que 625 est un carré parfait. Et en prenant la racine carrée des deux membres, on trouve que l’hypoténuse est égale à 25. Et nous pouvons remplacer cette valeur dans l’expression de la cosécante.
Mais nous devons ici être très prudents. L’énoncé indique que le cosinus de cet angle est négatif. Cela nous donne des informations sur le quadrant auquel cet angle appartient. Le cosinus n’est négatif que dans les quadrants deux et trois. Nous savons également que dans le quadrant deux, la tangente est négative. Et que dans le quadrant trois, la tangente est positive. Nous avons ici une tangente positive et un cosinus négatif. Cela signifie que notre angle appartient au troisième quadrant, où le sinus est négatif, le cosinus est négatif et la tangente est positive. Puisque la cosécante est l’inverse de sinus et que sinus est négatif, la cosécante doit également être négative dans ce cas. Cosécante de 𝜃 est donc égale à moins 25 sur 24 dans ces conditions.
