Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer la valeur d'une fonction trigonométrique à partir de la valeur donnée d'une autre fonction trigonométrique.
Commençons par rappeler les formules trigonométriques et le cercle trigonométrique. Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 dont le centre se situe à l’origine d’un repère. Pour tout point de coordonnée sur le cercle trigonométrique, un triangle rectangle peut être représenté comme indiqué sur la figure suivante. L’hypoténuse de ce triangle rectangle forme un angle avec l’axe des positifs.
En utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle, nous pouvons définir les fonctions trigonométriques à l’aide du cercle trigonométrique par :
On note que n’est pas définie lorsque .
Les coordonnées en et d’un point du cercle trigonométrique donné par un angle sont définies par et .
Nous observons également que, bien que nous ayons écrit ces définitions pour un angle dans le quadrant 1, elles se généralisent pour un angle dans n’importe quel quadrant. On sait qu’à droite de l’origine, les valeurs de sont positives, et à gauche de l’origine, les valeurs de sont négatives. De même, au-dessus de l’origine, les valeurs de sont positives, et au-dessous de l’origine, les valeurs de sont négatives.
Si on place quatre points de coordonnées , , et où et sont des valeurs positives, nous voyons qu’ils se situent dans chacun des quatre quadrants.
A ce stade, nous rappelons également que les fonctions trigonométriques cosécante de , sécante de et cotangente de sont les inverses de sinus de cosinus de et tangente de vérifiant
A l’aide de la définition du cercle trigonométrique, nous avons
Quadrant dans lequel le côté final de l’angle se trouve | Intervalle auquel appartient la mesure de l’angle | Signes des fonctions trigonométriques | ||
---|---|---|---|---|
, | , | , | ||
Premier | + | + | + | |
Deuxième | + | |||
Troisième | + | |||
Quatrième | + |
Nous considérons maintenant quelques exemples où nous avons besoin de trouver la valeur d’une fonction trigonométrique à l’aide de la valeur donnée d’une autre fonction trigonométrique.
Dans le premier exemple, nous avons besoin de calculer le sinus d’un angle, étant donné son cosinus et sa tangente.
Exemple 1: Déterminer la valeur du sinus d’un angle connaissant les valeurs de sa tangente et de son cosinus
Déterminez sachant que et .
Réponse
Commençons par rappeler que comme la tangente et le cosinus de notre angle sont tous deux positifs, alors l’angle doit se situer dans le premier quadrant de telle sorte que . D’après le diagramme CAST, qui représente le signe des fonctions trigonométriques dans chacun des quatre quadrants, le sinus de l’angle doit aussi être positif.
Comme on peut tracer un triangle rectangle dans le premier quadrant. Le triangle rectangle est un triplet pythagoricien composé de trois entiers positifs 3, 4 et 5 tels que .
Comme alors, à partir du schéma,
On peut donc conclure que si et , alors .
Pour les exemples suivants, nous devrons utiliser les identités trigonométriques inverses (sécante, cosécante et cotangente).
Exemple 2: Déterminer la valeur de la cosécante d’un angle étant donné sa cotangente
Si et , déterminez .
Réponse
On commence par rappeler que la cotangente d’un angle est l’inverse de la tangente de cet angle telle que
Comme alors
En utilisant le diagramme CAST, comme et , nous savons que notre angle se situe dans le quatrième quadrant.
Comme dans le quatrième quadrant et comme la cosécante d’un angle est l’inverse du sinus de cet angle, alors .
Comme on peut tracer un triangle rectangle dans le quatrième quadrant. Le triangle rectangle est un triplet pythagoricien composé de trois entiers positifs 3, 4 et 5 tels que .
Comme alors, à partir du schéma,
D’après le schéma, nous voyons que . En utilisant les propriétés des angles associés, nous savons que
Donc,
Comme alors
On peut donc conclure que si et , alors .
Exemple 3: Déterminer la cotangente d’un angle dans un intervalle donné connaissant la valeur de son sinus
Déterminez sachant que , où .
Réponse
En utilisant le diagramme CAST, comme , nous savons que l’angle se situe dans le deuxième quadrant.
Comme dans le deuxième quadrant et comme la cotangente d’un angle est l’inverse de la tangente de cet angle, alors .
Comme on peut tracer un triangle rectangle dans le deuxième quadrant. Le triangle rectangle est un triplet pythagoricien composé de trois entiers positifs 3, 4 et 5 tels que .
Comme alors, à partir du schéma,
D’après le schéma, nous voyons que et, en utilisant les propriétés des angles associés, nous savons que
Donc,
Comme alors
On peut donc conclure que si , où , alors .
Exemple 4: Déterminer la valeur d’une expression à l’aide de l’équivalence en trigonométrie
Déterminer la valeur de sachant que , où est le plus petit angle positif, et , où .
Réponse
En utilisant le diagramme CAST, comme , où est le plus petit angle positif, on sait que se situe dans le premier quadrant. Comme , où , alors se situe dans le troisième quadrant.
Comme on peut tracer un triangle rectangle dans le premier quadrant. Le triangle rectangle est un triplet pythagoricien composé de trois entiers positifs 3, 4 et 5 tels que .
Comme alors, à partir du schéma,
Comme on peut tracer un triangle rectangle dans le troisième quadrant. Le triangle rectangle est un triplet pythagoricien composé de trois entiers positifs 8, 15 et 17 tels que .
Comme alors, à partir du schéma,
D’après le schéma, nous voyons que et en utilisant les propriétés des angles associés, nous savons que
Donc,
Aussi,
Donc,
En substituant ces valeurs dans notre expression, nous avons
On peut donc conclure que si , où est le plus petit angle positif et , où , alors .
Exemple 5: Déterminer la valeur d’une expression à l’aide de l’équivalence en trigonométrie
Déterminez la valeur de , sachant que et .
Réponse
En utilisant le diagramme CAST, comme , on sait que se situe dans le troisième quadrant.
Comme on peut tracer un triangle rectangle dans le troisième quadrant. Le triangle rectangle est un triplet pythagoricien composé de trois entiers positifs 3, 4 et 5 tels que .
Comme alors, à partir du schéma,
D’après le schéma, nous voyons que et, en utilisant les propriétés des angles associés, nous savons que
Donc,
Aussi,
Donc,
Les fonctions trigonométriques inverses cosécante de , sécante de et cotangente de sont les inverses de sinus de cosinus de et tangente de telles que
Donc,
En substituant ces valeurs dans notre expression, nous avons
On peut donc conclure que si et , alors .
Exemple 6: Déterminer la valeur d’une expression impliquant des fonctions trigonométriques inverses à l’aide de l’équivalence en trigonométrie
Déterminez la valeur de étant donnés et .
Réponse
En utilisant le diagramme CAST, comme , où et , on sait que se situe dans le quatrième quadrant.
Comme on peut tracer un triangle rectangle dans le quatrième quadrant. Le triangle rectangle est un triplet pythagoricien composé de trois entiers positifs 3, 4 et 5 tels que .
Comme alors, à partir du schéma,
D’après le schéma, nous voyons que et, en utilisant les propriétés des angles associés, nous savons que
Donc,
Aussi,
Donc,
Les fonctions trigonométriques inverses cosécante de , sécante de et cotangente de sont les inverses de sinus de , cosinus de et tangente de telles que
Donc,
En substituant ces valeurs dans notre expression, nous avons
On peut donc conclure que si et , alors .
Nous terminerons cette fiche explicative en récapitulant certains des points clés.
Points clés
- Nous pouvons déterminer la valeur d'une fonction trigonométrique à partir de la valeur donnée d'une autre fonction trigonométrique en rappelant les 6 fonctions trigonométriques et le diagramme CAST.
- En utilisant les symétries dans le cercle trigonométriques, nous pouvons également utiliser les propriétés des angles associés :
- Ces propriétés peuvent être vues sur le schéma suivant du cercle trigonométrique, où est l’abscisse et est l’ordonnée .