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Fiche explicative de la leçon: Déterminer la valeur d'un rapport trigonométrique étant donnée la valeur d'un autre rapport Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer la valeur d'une fonction trigonométrique à partir de la valeur donnée d'une autre fonction trigonométrique.

Commençons par rappeler les formules trigonométriques et le cercle trigonométrique. Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 dont le centre se situe à l’origine d’un repère. Pour tout point de coordonnée (𝑥;𝑦) sur le cercle trigonométrique, un triangle rectangle peut être représenté comme indiqué sur la figure suivante. L’hypoténuse de ce triangle rectangle forme un angle 𝜃 avec l’axe des 𝑥 positifs.

En utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle, nous pouvons définir les fonctions trigonométriques à l’aide du cercle trigonométrique par:sinopposéhypoténusedoncsincosadjacenthypoténusedonccostanopposéadjacentdonctan𝜃==𝑦1,𝑦=𝜃,𝜃==𝑥1,𝑥=𝜃,𝜃==𝑦𝑥,𝑦𝑥=𝜃.

On note que tan𝜃 n’est pas définie lorsque 𝑥=0.

Les coordonnées en 𝑥 et 𝑦 d’un point du cercle trigonométrique donné par un angle 𝜃 sont définies par 𝑥=𝜃cos et 𝑦=𝜃sin.

Nous observons également que, bien que nous ayons écrit ces définitions pour un angle 𝜃 dans le quadrant 1, elles se généralisent pour un angle dans n’importe quel quadrant. On sait qu’à droite de l’origine, les valeurs de 𝑥 sont positives, et à gauche de l’origine, les valeurs de 𝑥 sont négatives. De même, au-dessus de l’origine, les valeurs de 𝑦 sont positives, et au-dessous de l’origine, les valeurs de 𝑦 sont négatives.

Si on place quatre points de coordonnées (𝑥;𝑦), (𝑥;𝑦), (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦)𝑥 et 𝑦 sont des valeurs positives, nous voyons qu’ils se situent dans chacun des quatre quadrants.

A ce stade, nous rappelons également que les fonctions trigonométriques cosécante de 𝜃, sécante de 𝜃 et cotangente de 𝜃 sont les inverses de sinus de 𝜃 cosinus de 𝜃 et tangente de 𝜃 vérifiant cscsinseccoscottan𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃.

A l’aide de la définition du cercle trigonométrique, nous avons cschypoténuseopposésechypoténuseadjacentcotadjacentopposé𝜃==1𝑦,𝜃==1𝑥,𝜃==𝑥𝑦.

Quadrant dans lequel le côté final de l’angle se trouveIntervalle auquel appartient la mesure de l’angleSignes des fonctions trigonométriques
csc, sincos, sectan, cot
Premier0;𝜋2+++
Deuxième𝜋2;𝜋+
Troisième𝜋;3𝜋2+
Quatrième3𝜋2;2𝜋+

Nous considérons maintenant quelques exemples où nous avons besoin de trouver la valeur d’une fonction trigonométrique à l’aide de la valeur donnée d’une autre fonction trigonométrique.

Dans le premier exemple, nous avons besoin de calculer le sinus d’un angle, étant donné son cosinus et sa tangente.

Exemple 1: Déterminer la valeur du sinus d’un angle connaissant les valeurs de sa tangente et de son cosinus

Déterminez sin𝐵 sachant que tan𝐵=43 et cos𝐵=35.

Réponse

Commençons par rappeler que comme la tangente et le cosinus de notre angle sont tous deux positifs, alors l’angle doit se situer dans le premier quadrant de telle sorte que 0<𝐵<90. D’après le diagramme CAST, qui représente le signe des fonctions trigonométriques dans chacun des quatre quadrants, le sinus de l’angle doit aussi être positif.

Comme cosettan𝐵=35𝐵=43, on peut tracer un triangle rectangle dans le premier quadrant. Le triangle rectangle est un triplet pythagoricien composé de trois entiers positifs 3, 4 et 5 tels que 3+4=5.

Comme sinopposéhypoténuse𝐵=, alors, à partir du schéma, sin𝐵=45.

On peut donc conclure que si tan𝐵=43 et cos𝐵=35, alors sin𝐵=45.

Pour les exemples suivants, nous devrons utiliser les identités trigonométriques inverses (sécante, cosécante et cotangente).

Exemple 2: Déterminer la valeur de la cosécante d’un angle étant donné sa cotangente

Si cot𝜃=43 et cos𝜃>0, déterminez csc𝜃.

Réponse

On commence par rappeler que la cotangente d’un angle est l’inverse de la tangente de cet angle telle que cottan𝜃=1𝜃.

Comme cot𝜃=43, alors tan𝜃=34.

En utilisant le diagramme CAST, comme cos𝜃>0 et tan𝜃<0, nous savons que notre angle se situe dans le quatrième quadrant.

Comme sin𝜃<0 dans le quatrième quadrant et comme la cosécante d’un angle est l’inverse du sinus de cet angle, alors csc𝜃<0.

Comme tan𝜃=34, on peut tracer un triangle rectangle dans le quatrième quadrant. Le triangle rectangle est un triplet pythagoricien composé de trois entiers positifs 3, 4 et 5 tels que 3+4=5.

Comme sinopposéhypoténuse𝛼=, alors, à partir du schéma, sin𝛼=35.

D’après le schéma, nous voyons que 𝜃=360𝛼. En utilisant les propriétés des angles associés, nous savons que sinsin(360𝛼)=𝛼.

Donc, sinsinsin𝜃=𝛼𝜃=35.

Comme cscsin𝜃=1𝜃, alors csc𝜃=53.

On peut donc conclure que si cot𝜃=43 et cos𝜃>0, alors csc𝜃=53.

Exemple 3: Déterminer la cotangente d’un angle dans un intervalle donné connaissant la valeur de son sinus

Déterminez cot𝜃 sachant que sin𝜃=35, 90<𝜃<180.

Réponse

En utilisant le diagramme CAST, comme 90<𝜃<180, nous savons que l’angle se situe dans le deuxième quadrant.

Comme tan𝜃<0 dans le deuxième quadrant et comme la cotangente d’un angle est l’inverse de la tangente de cet angle, alors cot𝜃<0.

Comme sin𝜃=35, on peut tracer un triangle rectangle dans le deuxième quadrant. Le triangle rectangle est un triplet pythagoricien composé de trois entiers positifs 3, 4 et 5 tels que 3+4=5.

Comme tanopposéadjacent𝛼=, alors, à partir du schéma, tan𝛼=34.

D’après le schéma, nous voyons que 𝜃=180𝛼 et, en utilisant les propriétés des angles associés, nous savons que tantan(180𝛼)=𝛼.

Donc, tantantan𝜃=𝛼𝜃=34.

Comme cottan𝜃=1𝜃, alors cot𝜃=43.

On peut donc conclure que si sin𝜃=35, 90<𝜃<180, alors cot𝜃=43.

Exemple 4: Déterminer la valeur d’une expression à l’aide de l’équivalence en trigonométrie

Déterminer la valeur de sincoscossin𝛼𝛽𝛼𝛽 sachant que tan𝛼=34, 𝛼 est le plus petit angle positif, et tan𝛽=158, 180<𝛽<270.

Réponse

En utilisant le diagramme CAST, comme tan𝛼=34, 𝛼 est le plus petit angle positif, on sait que 𝛼 se situe dans le premier quadrant. Comme tan𝛽=158, 180<𝛽<270 , alors 𝛽 se situe dans le troisième quadrant.

Comme tan𝛼=34, on peut tracer un triangle rectangle dans le premier quadrant. Le triangle rectangle est un triplet pythagoricien composé de trois entiers positifs 3, 4 et 5 tels que 3+4=5.

Comme sinopposéhypoténuseetcosadjacenthypoténuse𝛼=𝛼=, alors, à partir du schéma, sinetcos𝛼=35𝛼=45.

Comme tan𝛽=158, on peut tracer un triangle rectangle dans le troisième quadrant. Le triangle rectangle est un triplet pythagoricien composé de trois entiers positifs 8, 15 et 17 tels que 8+15=17.

Comme sinopposéhypoténuseetcosadjacenthypoténuse𝜃=𝜃=, alors, à partir du schéma, sinetcos𝜃=1517𝜃=817.

D’après le schéma, nous voyons que 𝛽=180+𝜃 et en utilisant les propriétés des angles associés, nous savons que sinsin(180+𝜃)=𝜃.

Donc, sinsinsin𝛽=𝜃𝛽=1517.

Aussi, coscos(180+𝜃)=𝜃.

Donc, coscoscos𝛽=𝜃𝛽=817.

En substituant ces valeurs dans notre expression, nous avons sincoscossin𝛼𝛽𝛼𝛽=35817451517=24856085=3685.

On peut donc conclure que si tan𝛼=34, 𝛼 est le plus petit angle positif et tan𝛽=158, 180<𝛽<270, alors sincoscossin𝛼𝛽𝛼𝛽=3685.

Exemple 5: Déterminer la valeur d’une expression à l’aide de l’équivalence en trigonométrie

Déterminez la valeur de seccsccot𝜃𝜃𝜃, sachant que 180<𝜃<270 et sin𝜃=35.

Réponse

En utilisant le diagramme CAST, comme 180<𝜃<270, on sait que 𝜃 se situe dans le troisième quadrant.

Comme sin𝜃=35, on peut tracer un triangle rectangle dans le troisième quadrant. Le triangle rectangle est un triplet pythagoricien composé de trois entiers positifs 3, 4 et 5 tels que 3+4=5.

Comme cosadjacenthypoténuseettanopposéadjacent𝛼=𝛼=, alors, à partir du schéma, cosettan𝛼=45𝛼=34.

D’après le schéma, nous voyons que 𝜃=180+𝛼 et, en utilisant les propriétés des angles associés, nous savons que coscos(180+𝛼)=𝛼.

Donc, coscoscos𝜃=𝛼𝜃=45.

Aussi, tantan(180+𝛼)=𝛼.

Donc, tantantan𝜃=𝛼𝜃=34.

Les fonctions trigonométriques inverses cosécante de 𝜃, sécante de 𝜃 et cotangente de 𝜃 sont les inverses de sinus de 𝜃 cosinus de 𝜃 et tangente de 𝜃 telles que cscsinseccoscottan𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃.

Donc, cscseccot𝜃=53,𝜃=54,𝜃=43.

En substituant ces valeurs dans notre expression, nous avons seccsccot𝜃𝜃𝜃=545343=25121612=912=34.

On peut donc conclure que si 180<𝜃<270 et sin𝜃=35, alors seccsccot𝜃𝜃𝜃=34.

Exemple 6: Déterminer la valeur d’une expression impliquant des fonctions trigonométriques inverses à l’aide de l’équivalence en trigonométrie

Déterminez la valeur de cotcsctansec𝜃𝜃𝜃𝜃 étant donnés 𝜃3𝜋2;2𝜋 et sin𝜃=45.

Réponse

En utilisant le diagramme CAST, comme 𝜃3𝜋2;2𝜋, 3𝜋2=270radians et 2𝜋=360radians, on sait que 𝜃 se situe dans le quatrième quadrant.

Comme sin𝜃=45, on peut tracer un triangle rectangle dans le quatrième quadrant. Le triangle rectangle est un triplet pythagoricien composé de trois entiers positifs 3, 4 et 5 tels que 3+4=5.

Comme cosadjacenthypoténuseettanopposéadjacent𝛼=𝛼=, alors, à partir du schéma, cosettan𝛼=35𝛼=43.

D’après le schéma, nous voyons que 𝜃=360𝛼 et, en utilisant les propriétés des angles associés, nous savons que coscos(360𝛼)=𝛼.

Donc, coscoscos𝜃=𝛼𝜃=35.

Aussi, tantan(360𝛼)=𝛼.

Donc, tantantan𝜃=𝛼𝜃=43.

Les fonctions trigonométriques inverses cosécante de 𝜃, sécante de 𝜃 et cotangente de 𝜃 sont les inverses de sinus de 𝜃, cosinus de 𝜃 et tangente de 𝜃 telles que cscsinseccoscottan𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃.

Donc, cscseccot𝜃=54,𝜃=53,𝜃=34.

En substituant ces valeurs dans notre expression, nous avons cotcsctansec𝜃𝜃𝜃𝜃===3=16.

On peut donc conclure que si 𝜃3𝜋2;2𝜋 et sin𝜃=45, alors cotcsctansec𝜃𝜃𝜃𝜃=16.

Nous terminerons cette fiche explicative en récapitulant certains des points clés.

Points clés

  • Nous pouvons déterminer la valeur d'une fonction trigonométrique à partir de la valeur donnée d'une autre fonction trigonométrique en rappelant les 6 fonctions trigonométriques et le diagramme CAST.
  • En utilisant les symétries dans le cercle trigonométriques, nous pouvons également utiliser les propriétés des angles associés:sinsincoscostantansinsincoscostantansinsincoscostantan(180𝜃)=𝜃,(180𝜃)=𝜃,(180𝜃)=𝜃,(180+𝜃)=𝜃,(180+𝜃)=𝜃,(180+𝜃)=𝜃,(360𝜃)=𝜃,(360𝜃)=𝜃,(360𝜃)=𝜃.
  • Ces propriétés peuvent être vues sur le schéma suivant du cercle trigonométrique, où ±𝜃cos est l’abscisse 𝑥 et ±𝜃sin est l’ordonnée 𝑦.

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