Lesson Video: Déterminer la valeur d'un rapport trigonométrique étant donnée la valeur d'un autre rapport Mathématiques • First Year of Secondary School

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Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique à partir de la valeur donnée d’une autre fonction trigonométrique.

Commençons par considérer certaines informations que nous devrions déjà connaître. On peut définir les fonctions trigonométriques en termes de certains ratios des côtés des triangles rectangles. Considérons l’angle au sommet 𝐴. On a les trois relations principales sinus, cosinus et tangente de cet angle. La relation sinus est la longueur du côté opposé sur l’hypoténuse. La relation cosinus est la longueur du côté adjacent sur l’hypoténuse. Et la relation tangente est la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent.

Dans le triangle qu’on a tracé ici, si on considère l’angle 𝜃 au sommet 𝐴, la longueur du côté opposé sera petit 𝑎. Et l’hypoténuse est toujours la longueur du côté opposé à l’angle droit. Dans notre cas, ce sera petit 𝑐. Pour déterminer la relation cosinus de ce triangle, la longueur du côté adjacent est petit 𝑏 et l’hypoténuse est toujours 𝑐, ce qui rend la relation tangente 𝑎 sur 𝑏.

En plus de ces trois fonctions trigonométriques principales, il existe les inverses cosécante, sécante et cotangente. La cosécante est l’inverse du sinus, et donc l’hypoténuse sur l’opposé. Dans ce cas, on a 𝑐 sur 𝑎. La sécante est l’inverse du cosinus, donc l’hypoténuse sur l’adjacent. Dans ce cas, on a 𝑐 sur 𝑏. La relation cotangente est l’inverse de la relation tangente. C’est donc la longueur du côté adjacent sur la longueur du côté opposé. Dans ce cas, on a 𝑏 sur 𝑎.

On retient généralement les relations du sinus, du cosinus et de la tangente avec l’expression SOH CAH TOA. Le sinus est l’opposé sur l’hypoténuse. Le cosinus est l’adjacent sur l’hypoténuse. Et la tangente est l’opposé sur l’adjacent.

Lorsqu’on fait de la trigonométrie dans un triangle rectangle, tous les angles sont inférieurs à 90 degrés. Et lorsque tous les angles sont inférieurs à 90 degrés, ces six ratios sont positifs. Mais parfois, on fait appel à des angles supérieurs à 90 degrés. Et dans ce cas, certaines de ces relations sont négatives. Rappelons comment ces grands angles se comportent.

Pour cela on va considérer un repère orthonormé. Parfois, avec ces angles, on utilise les degrés et parfois les radians. Et lorsqu’on mesure un angle comme celui-ci, on commence à droite de l’axe des 𝑥 et on mesure jusqu’à la droite concernée. L’angle que j’ai tracé ici sera quelque part entre 90 degrés et 180 degrés. Si cet angle était de 135 degrés, on pourrait utiliser une calculatrice pour trouver son sinus, cosinus et sa tangente. La calculatrice nous donnerait un résultat de 0,07 pour sinus, moins 0,707 pour cosinus et moins un pour tangente.

Ce cas de figure où on a - une valeur de sinus positive, une valeur de cosinus négative et une valeur de tangente négative - est vrai pour tous les angles compris entre 90 et 180 degrés. Si on trace un triangle rectangle ici, l’hypoténuse aurait une longueur de un et chacun des côtés aurait une longueur égale à la racine carrée de deux sur deux. On le sait parce que cet angle doit être de 45 degrés.

Cela montre qu’on peut toujours utiliser la trigonométrie d’un triangle rectangle. On peut toujours utiliser les longueurs des côtés pour avoir des ratios pour calculer des angles supérieurs à 90. Pour ce faire, on mémorise les relations trigonométriques positives et négatives sur le plan de coordonnées. Et pour cela, on utilise le diagramme CAST, qui ressemble à ceci.

Si on commence dans le premier quadrant avec le A, cela indique que toutes les relations sont positives, ce dont on a déjà parlé. Les relations sinus, cosinus et tangente de zéro à 90 degrés sont toutes positives. On passe au deuxième quadrant avec le S qui indique que seul le sinus est positif. Tous les angles compris entre 90 et 180 degrés auront une relation sinus positive et une relation cosinus et tangente négatives.

Dans le troisième quadrant avec le T indique que la relation tangente est positive. Cela signifie que dans le troisième quadrant, la relation sinus et la relation cosinus sont négatives. Et enfin, dans le quatrième quadrant avec le C indique que la relation cosinus est positive. La relation cosinus est positive, et les relations sinus et tangente de tout angle dans le quatrième quadrant sont négatives.

Connaitre les six fonctions trigonométriques et le diagramme CAST seront des points clés pour résoudre les problèmes. Voyons-en un maintenant.

Calculez la cosécante de 𝜃 sachant que la tangente de 𝜃 est égale à 24 sur sept et le cosinus de 𝜃 est inférieur à zéro.

On a la tangente d’un angle est égale à 24 sur sept. Et on doit déterminer sa cosécante sachant que le cosinus de 𝜃 est inférieur à zéro. Cela signifie que notre cosinus est négatif et notre tangente est positive. Ce sont des informations vraiment importantes. Tout d’abord, rappelons les relations sinus, cosinus et tangentes et leurs inverses cosécantes, sécantes et cotangentes. En plus de cela, on peut tracer un diagramme CAST pour nous aider à déterminer dans quel quadrant se situe notre angle en question.

Puisqu’on sait que la tangente est positive, on peut dire que l’angle est dans le premier ou le troisième quadrant. Cependant, comme le cosinus est négatif, cet angle ne peut pas être dans le premier quadrant. Dans le premier quadrant, on a un A parce que les trois relations sont positives. Dans le troisième quadrant, seule la tangente est positive mais le sinus et le cosinus sont négatifs. Et donc on peut dire que notre angle est situé dans le troisième quadrant et peut être tracé sous cette forme. Pour notre angle 𝜃, puisqu’on sait que sa tangente est de 24 sur sept et que la tangente est le côté opposé sur le côté adjacent, on connait deux des trois côtés.

Ce qu’on veut faire, c’est tracer un triangle rectangle dans le troisième quadrant. Nous allons définir ceci comme notre angle 𝜃. Et ensuite on peut dire que la longueur du côté opposé est 24 et la longueur du côté adjacent est sept. Évidemment, on n’a pas dessiné à l’échelle. Pour déterminer la cosécante de 𝜃, il faut l’hypoténuse sur l’opposé. Et à ce stade, on doit avoir suffisamment d’informations pour le reconnaitre. On utilise alors le théorème de Pythagore.

Si on définit l’hypoténuse comme 𝑐, on sait que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré, ce qui donne 49 plus 576. 𝑐 au carré est égal à 625. Si on applique la racine carrée sur les deux côtés, on obtient que 𝑐 est égal à 25. Maintenant qu’on connait l’hypoténuse, on peut écrire 25 sur l’opposé, 24. Mais ce n’est pas la réponse finale. On doit réfléchir attentivement à la question de savoir s’il s’agit d’une solution positive ou négative.

Puisque l’angle est situé dans le troisième quadrant, les valeurs du sinus et du cosinus sont négatives. Et puisque la valeur cosécante est l’inverse de la valeur sinus, elle a le même signe que la fonction sinus. La cosécante de cet angle est négative. Dans ces conditions, la cosécante de 𝜃 est égale à moins 25 sur 24.

Voyons un autre exemple.

Sachant que la cosécante de 𝜃 est moins sept sur six et la tangente de 𝜃 est supérieur à zéro, déterminez le cosinus de 𝜃.

Pensons aux informations qu’on a. On sait que la cosécante de cet angle est moins sept sur six et la tangente est positive. Commençons par rappeler les six fonctions trigonométriques. Puisque la cosécante de 𝜃 est donnée, on a l’hypoténuse sur l’opposé. Et puisqu’on veut calculer le cosinus de cet angle, on cherche la longueur du côté adjacent sur l’hypoténuse. Mais il y a une autre information à prendre en compte. Notamment l’emplacement de cet angle dans le plan muni du repère orthonormé.

On sait que la tangente est positive. Et la tangente d’un angle n’est positive que dans le premier et le troisième quadrant. Mais on sait aussi que la cosécante est négative. Et si la cosécante est négative, le sinus sera négatif. Dans le premier quadrant, les trois relations sont positives. Dans le troisième quadrant, la tangente est positive, mais les relations sinus et cosinus sont négatives. Et cela signifie qu’on sait que notre relation cosinus doit être négative.

Jusqu’ici, on sait que l’hypoténuse est égale à sept et que la longueur du côté opposé est égale à six. Pour résoudre ce problème, on doit connaître la longueur du côté adjacent. Si on pense à cela en termes de triangle rectangle, les longueurs des côtés doivent être positives car la distance est toujours mesurée avec des valeurs positives. Et cela signifie qu’on doit utiliser la valeur absolue de l’hypoténuse. Au lieu de moins sept, ce sera plus sept. Et la longueur du côté opposé sera six.

On sait qu’on peut utiliser le théorème de Pythagore pour calculer ce troisième côté manquant, la longueur du côté adjacent. On dit donc que six au carré plus 𝑏 au carré est égal à sept au carré. 36 plus 𝑏 au carré est égal à 49. Lorsqu’on soustrait 36 de chaque côté, on obtient 𝑏 au carré est égal à 13. De là, on applique la racine carrée dans les deux côtés pour obtenir la longueur du côté manquant comme étant la racine carrée de 13. Le cosinus est la longueur du côté adjacent, la racine carrée de 13, sur l’hypoténuse, qu’on sait déjà qu’il vaut sept. Et parce que c’est situé dans le troisième quadrant, cette relation cosinus doit être négative. Et cela nous donne une réponse finale de moins racine carrée de 13 sur sept.

Dans cet exemple, on a un intervalle pour la valeur en radian de l’angle qu’on utilise.

Si cotangente de 𝜃 est égale à moins trois demis, où 𝜋 sur deux est inférieur à 𝜃 qui est inférieur à 𝜋. Calculez la sécante carrée de 𝜃 sans calculatrice.

Avant de faire quoi que ce soit, il serait utile d’identifier l’endroit où cet angle 𝜃 est situé. Il est situé entre 𝜋 sur deux et 𝜋. On trace donc un repère orthonormé dans le plan et on l’étiquette avec les mesures du radian. Si 𝜃 est entre 𝜋 sur deux et 𝜋, alors 𝜃 est quelque part dans le deuxième quadrant. Si on représente une droite et l’angle 𝜃, on peut alors tracer un triangle rectangle.

À partir de là, on doit se rappeler des relations trigonométriques. Puisqu’on sait que cotangente de l’angle est moins trois sur deux, on sait que trois représente la longueur du côté adjacent et deux représente la longueur du côté opposé. On peut utiliser cette information pour étiqueter ce dessin. Notre but est de trouver la sécante carrée de 𝜃. Pour ce faire, on va multiplier sec de 𝜃 par sec de 𝜃.

Cette relation sécante est l’hypoténuse sur la longueur du côté adjacent. Mais pour résoudre ce problème, nous devons déterminer la valeur de l’hypoténuse. Pour ce faire, on peut utiliser le théorème de Pythagore. Deux au carré plus trois au carré est égal à l’hypoténuse au carré. On a donc quatre plus neuf, 13, est égal à l’hypoténuse au carré, ce qui signifie que l’hypoténuse est égale à la racine carrée de 13.

Mais on doit être très prudents ici. Il faut déterminer si la sécante sera positive ou négative, sachant que notre angle est situé dans le deuxième quadrant, Pour ce faire, on utilise un diagramme CAST. Nous savons déjà que c’est le deuxième quadrant qui nous intéresse. Et puisque qu’il y a un S ici, cela indique que la relation sinus est positive, mais les relations cosinus et tangentes sont négatives.

La sécante est l’inverse du cosinus. Et cela signifie que si la valeur du cosinus est négative, la valeur de la sécante est aussi négative. Puisque la sécante est l’hypoténuse sur la longueur du côté adjacent, on a la racine carrée de 13 sur trois, mais on sait que cette valeur doit être négative. Et cela rend sec de 𝜃 égal à moins racine carrée de 13 sur trois. sec élevé au carré sera moins racine carrée de 13 sur trois fois moins racine carrée de 13 sur trois. Le produit de deux valeurs négatives est positif. La racine carrée de 13 multipliée par la racine carrée de 13 est égale à 13. Et trois fois trois, font neuf. Dans ces conditions, sec de 𝜃 au carré est égal à 13 sur neuf.

Dans le dernier exemple, on a un intervalle dans lequel 𝜃 est comprise. En plus de cela, on a une valeur de sinus, et on doit trouver la cosécante de deux fois cette valeur de 𝜃.

Sachant que le sinus de 𝜃 est moins un tiers, où 𝜃 se situe entre 𝜋 et trois 𝜋 sur deux, calculez la cosécante de deux 𝜃 sans calculatrice. Indice: supposez que la cosécante de deux 𝜃 est égal à un sur deux fois sinus de 𝜃 fois cosinus de 𝜃.

Il est toujours bon de commencer par ce qu’on a déjà. Le sinus de 𝜃 est moins un tiers, et 𝜃 est compris entre 𝜋 et trois 𝜋 sur deux. Si on considère les quadrants, entre 𝜋 et trois 𝜋 sur deux, on parle donc d’un angle situé dans le troisième quadrant. Mais on ne connait pas la valeur de l’angle, on peut donc juste tracer un angle 𝜃.

Mais avant d’aller plus loin, c’est aussi une bonne idée de penser à ce que nous voulons déterminer. Si on veut déterminer la cosécante de deux 𝜃, on a besoin de deux informations. Nous devons connaître le sinus de 𝜃 et le cosinus de 𝜃. Mais on connait déjà le sinus de 𝜃, qui est moins un tiers. Et cela signifie que la seule chose qu’il reste pour résoudre ce problème est le cosinus de 𝜃.

Si on connait le sinus de 𝜃, comment peut-on déterminer le cosinus de 𝜃 ? Eh bien, on considère d’abord ces relations. Le sinus est égal à l’opposé sur l’hypoténuse, et le cosinus est égal à l’adjacent sur l’hypoténuse. Puisqu’on a sinus de 𝜃 est égal à moins un tiers, on peut dire que la longueur du côté opposé est un et la longueur de l’hypoténuse est trois. On peut tracer ce triangle rectangle sur le plan de coordonnées où la longueur du côté opposé est un et la longueur de l’hypoténuse est trois.

Lorsqu’on examine ce dessin, on réalise qu’il est un peu décalé. Quelque chose comme ceci est un peu plus à l’échelle. On doit déterminer ce côté manquant. Et on utilise le théorème de Pythagore. Lorsqu’on fait cela, on obtient 𝑏 est égal à la racine carrée de huit. Et on peut simplifier cela et obtenir 𝑏 est égal à deux fois la racine carrée de deux. Maintenant qu’on sait que la longueur du côté adjacent est deux fois la racine carrée de deux, on peut écrire le cosinus de 𝜃 comme moins deux fois la racine carrée de deux sur trois.

On sait que le cosinus sera négatif puisque notre angle est situé dans le troisième quadrant. Le diagramme CAST nous indique que dans le troisième quadrant, le sinus est négatif, le cosinus est négatif et la tangente est positive. On introduit donc notre valeur du cosinus de 𝜃. On peut le réécrire comme ceci: un divisé par deux fois moins un tiers fois moins deux fois la racine carrée de deux sur trois.

On veut multiplier les trois numérateurs, ce qui nous donne un résultat positif quatre fois la racine carrée de deux. Et les dénominateurs, trois fois trois font neuf. Pour diviser un par cette valeur, on multiplie par son inverse. Et la dernière étape consiste à rationaliser le dénominateur, ce qui nous donne neuf fois la racine carrée de deux sur huit.

Les points clés ici sont: connaitre les six fonctions trigonométriques et utiliser le diagramme CAST pour identifier leur emplacement sur un plan de coordonnées.