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Déterminez la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐷 et de l’angle 𝐵𝐴𝐶.
Nous pouvons commencer cette question en mettant en évidence les deux angles que nous devons déterminer, l’angle 𝐴𝐶𝐷 et l’angle 𝐵𝐴𝐶. Lorsque nous examinons notre figure, nous pouvons voir que les quatre points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 se trouvent sur la circonférence du cercle. Cela signifie que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un quadrilatère inscriptible. Nous pouvons rappeler que la propriété clé d’un quadrilatère inscriptible est que les angles opposés sont complémentaires. Cela signifie que leur somme est égale à 180 degrés. On nous dit que la mesure de l’angle 𝐶𝐵𝐴 est de 67 degrés. Nous pouvons donc calculer la mesure de l’angle 𝐶𝐷𝐴. Puisque nous avons deux angles opposés, nous pouvons dire que la mesure de l’angle 𝐶𝐷𝐴 plus 67 degrés est égal à 180 degrés.
Nous pouvons réorganiser cette équation en soustrayant 67 des deux côtés, ce qui nous donne la mesure de l’angle 𝐶𝐷𝐴 est égale à 180 degrés moins 67 degrés, ce qui est égal à 113 degrés. Connaître cet angle maintenant nous aidera à déterminer notre angle orange, l’angle 𝐴𝐶𝐷. Notre cercle a deux arcs superposables. Par conséquent, en utilisant le fait que les arcs superposables ont des cordes superposables, nous pouvons marquer notre triangle 𝐶𝐷𝐴 avec deux côtés égaux, ce qui signifie que ce triangle est isocèle et, par conséquent, a également deux angles de même mesure.
Nous pouvons définir ces deux angles de même mesure avec la lettre 𝑥. Nous pouvons utiliser le fait que la somme des angles d’un triangle est égale à 180 degrés pour écrire que 113 degrés plus deux 𝑥 égale 180 degrés. Donc, deux 𝑥 est égal à 180 degrés moins 113 degrés, ce qui est égal à 67 degrés. Par conséquent, 𝑥 doit être égal à 33,5 degrés. Ainsi, notre premier angle manquant, la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐷, est égal à 33,5 degrés. Pour déterminer notre prochain angle manquant rose, l’angle 𝐵𝐴𝐶, nous utilisons un autre fait concernant les angles d’un cercle. Nous avons une droite 𝐴𝐵, qui est le diamètre d’un cercle créant un demi-cercle. L’angle interceptant un demi-cercle est de 90 degrés. Ainsi, notre angle 𝐵𝐶𝐴 est de 90 degrés.
En utilisant le fait que la somme des angles d’un triangle est égale à 180 degrés, nous pouvons écrire que la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶 plus 67 degrés plus 90 degrés égale 180 degrés. Ainsi, la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶 plus 157 degrés est égale à 180 degrés. Pour déterminer la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶, nous soustrayons 157 des deux côtés de notre équation et nous obtenons que la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶 est de 23 degrés. Par conséquent, notre réponse finale est : la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐷 est égale à 33,5 degrés. De plus, la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶 est égale à 23 degrés.
