Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier les théorèmes utilisés pour déterminer la mesure d'un angle inscrit en fonction de son arc intercepté ou de l'angle au centre interceptant le même arc, et déterminer les mesures d'angles inscrits dans un demi-cercle.
Définissons d’abord ce qu’est un angle inscrit.
Définition : Angle inscrit
Un angle inscrit est l’angle interne entre deux cordes qui se coupent sur la circonférence d’un cercle.
Nous allons maintenant prouver une relation importante entre la mesure d’un angle inscrit et la mesure de l’angle au centre interceptant le même arc. Notez que la mesure de l’angle au centre interceptant le même arc a par définition la même mesure que l’arc intercepté par l’angle inscrit.
On considère d’abord le cas où le centre du cercle est appartient à l’un des côtés de l’angle inscrit.
L’angle inscrit et l’angle au centre interceptent le même arc, . Il est à noter que l’arc dit intercepté par l’angle est l’arc qui ne contient pas le point (c’est l’arc en rouge sur la figure).
Comme deux côtés du triangle sont deux rayons du cercle, il s’agit d’un triangle isocèle. Cela signifie que dans le triangle ,
Par conséquent, comme la somme des angles d’un triangle est égale à , on a
Les angles et forment une droite ; par conséquent, on a
Les équations (1) et (2) donnent c’est-à-dire
On considère maintenant une autre situation d’angle inscrit et d’angle au centre interceptant le même arc quand le centre du cercle est situé à l’intérieur de l’angle inscrit.
On peut utiliser le résultat précédent d’un angle inscrit dont un côté contient le centre du cercle en divisant l’angle inscrit en deux angles inscrits et qui ont chacun un côté passant par le centre du cercle (comme est un diamètre du cercle).
On a et
Comme et , on trouve
Donc,
Enfin, on considère la troisième situation lorsque le centre du cercle est situé à l’extérieur de l’angle inscrit.
Comme pour la situation précédente, on considère les deux angles inscrits qui ont un côté passant par le centre du cercle, et , où est un diamètre du cercle.
Comme et , on trouve
Donc,
On a trouvé le même résultat pour les trois positions possibles du centre du cercle par rapport à l’angle inscrit : (i) sur un côté de l’angle inscrit, (ii) à l’intérieur de l’angle inscrit et (iii) à l’extérieur de l’angle inscrit.
On rappelle que la mesure d’un angle au centre interceptant un arc est égale à la mesure de cet arc.
Théorème : Théorème de l’angle inscrit
La mesure d’un angle inscrit interceptant un arc est égale à la moitié de la mesure de cet arc, c’est-à-dire à la moitié de la mesure de l’angle au centre interceptant cet arc.
Voyons maintenant avec le premier exemple comment utiliser ce théorème pour trouver la mesure d’un angle inscrit.
Exemple 1: Déterminer la mesure d’un angle inscrit à partir de la mesure de l’angle au centre interceptant le même arc
Déterminez .
Réponse
Soit le centre du cercle. Il s’agit du point d’intersection de et .
L’angle est inscrit parce que les points , et sont situés sur le cercle. Les angles et sont opposés par le sommet et ont donc la même mesure, . L’angle est l’angle au centre interceptant le même arc que . Le théorème de l’angle inscrit stipule que la mesure d’un angle inscrit interceptant un arc est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre interceptant cet arc.
Par conséquent, on a
Étudions un exemple impliquant la résolution d’équations linéaires.
Exemple 2: Déterminer la mesure d’un angle inscrit à partir de la mesure de son arc en résolvant deux équations linéaires
D’après la figure, quelle est la valeur de ?
Réponse
Dans le cercle de centre , est un angle inscrit parce que les points , et sont situés sur le cercle. L’angle au centre interceptant le même arc (arc majeur ) a une mesure de . Le théorème de l’angle inscrit stipule que la mesure d’un angle inscrit interceptant un arc est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre interceptant cet arc.
Par conséquent, on a
Étudions maintenant un exemple impliquant la mesure d’un arc et la résolution d’une équation linéaire.
Exemple 3: Résoudre des équations en utilisant la mesure d’un angle inscrit à partir de la mesure de son arc
Sachant que , trouvez .
Réponse
L’angle est un angle inscrit interceptant l’arc de mesure .
Le théorème de l’angle inscrit stipule que la mesure d’un angle inscrit interceptant un arc est égale à la moitié de la mesure de cet arc. Par conséquent, on a
De plus, on sait que , par conséquent,
Dans l’exemple suivant, nous allons résoudre un problème en plusieurs étapes où nous connaissons la mesure d’un arc.
Exemple 4: Déterminer la mesure d’un angle inscrit en utilisant la mesure de son arc
Déterminez .
Réponse
L’angle est un angle inscrit interceptant l’arc . Le théorème de l’angle inscrit stipule que la mesure d’un angle inscrit interceptant un arc est égale à la moitié de la mesure de cet arc. Par conséquent, on a
L’angle est un angle inscrit interceptant l’arc . Par conséquent,
Le théorème de l’angle inscrit stipule que la mesure d’un angle inscrit interceptant un arc est égale à la moitié de la mesure de cet arc. Par conséquent, on a
Étudions un corollaire du théorème de l’angle inscrit lorsque l’angle est inscrit dans un demi-cercle (ce qui signifie que l’angle inscrit intercepte un arc de mesure ) ou en d’autres termes, lorsque l’angle au centre est un angle plat (l’angle au centre a une mesure de ).
Appliquer le théorème de l’angle inscrit nous donne
Corollaire : Angle inscrit dans un demi-cercle
Un angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit.
Résolvons maintenant un système d’équations linéaires pour déterminer la mesure d’un angle inscrit dans un demi-cercle.
Exemple 5: Déterminer la mesure d’un angle inscrit dans un demi-cercle
Sachant que , trouvez et .
Réponse
L’angle est inscrit dans un demi-cercle car est un diamètre du cercle. Un angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit. Par conséquent, on a
De plus, la somme des angles dans un triangle est égale à , ce qui donne
Substituer la valeur de que l’on a trouvée dans cette équation donne
On a trouvé que
Dans le dernier exemple, nous allons résoudre un problème impliquant un angle inscrit dans un demi-cercle et la résolution d’une équation.
Exemple 6: Résoudre des équations à l’aide de la mesure d’un angle inscrit dans un demi-cercle
Sachant que et , déterminez la valeur de .
Réponse
L’angle est inscrit dans un demi-cercle car est un diamètre du cercle. Un angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit. Par conséquent, on a
La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à ; dans le triangle , on a donc
Résumons les points clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Un angle inscrit est un angle dont le sommet se situe sur le cercle et dont les côtés contiennent deux cordes du cercle.
- Le théorème de l’angle inscrit stipule que la mesure d’un angle inscrit interceptant un arc est égale à la moitié de la mesure de cet arc, c’est-à-dire à la moitié de la mesure de l’angle au centre interceptant cet arc.
- Un corollaire du théorème de l’angle inscrit est qu’un angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit.
