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Fiche explicative de la leçon : Angles inscrits dans un cercle Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier les théorèmes utilisés pour déterminer la mesure d'un angle inscrit en fonction de son arc intercepté ou de l'angle au centre interceptant le même arc, et déterminer les mesures d'angles inscrits dans un demi-cercle.

Définissons d’abord ce qu’est un angle inscrit.

Définition : Angle inscrit

Un angle inscrit est l’angle interne entre deux cordes qui se coupent sur la circonférence d’un cercle.

Nous allons maintenant prouver une relation importante entre la mesure d’un angle inscrit et la mesure de l’angle au centre interceptant le même arc. Notez que la mesure de l’angle au centre interceptant le même arc a par définition la même mesure que l’arc intercepté par l’angle inscrit.

On considère d’abord le cas où le centre du cercle 𝑀 est appartient à l’un des côtés de l’angle inscrit.

L’angle inscrit 𝐴𝐶𝐵 et l’angle au centre 𝐴𝑀𝐵 interceptent le même arc, 𝐴𝐵. Il est à noter que l’arc 𝐴𝐵 dit intercepté par l’angle 𝐴𝐶𝐵 est l’arc qui ne contient pas le point 𝐶 (c’est l’arc en rouge sur la figure).

Comme deux côtés du triangle 𝐴𝐶𝑀 sont deux rayons du cercle, il s’agit d’un triangle isocèle. Cela signifie que dans le triangle 𝐴𝐶𝑀, 𝑚𝐴𝐶𝐵=𝑚𝐴.

Par conséquent, comme la somme des angles d’un triangle est égale à 180, on a

𝑚𝐶𝑀𝐴=1802𝑚𝐴𝐶𝐵.(1)

Les angles 𝐶𝑀𝐴 et 𝐴𝑀𝐵 forment une droite;par conséquent, on a

𝑚𝐴𝑀𝐵+𝑚𝐶𝑀𝐴=180𝑚𝐶𝑀𝐴=180𝑚𝐴𝑀𝐵.(2)

Les équations (1) et (2) donnent 𝑚𝐴𝑀𝐵=2𝑚𝐴𝐶𝐵; c’est-à-dire 𝑚𝐴𝐶𝐵=12𝑚𝐴𝑀𝐵.

On considère maintenant une autre situation d’angle inscrit et d’angle au centre interceptant le même arc quand le centre du cercle 𝑀 est situé à l’intérieur de l’angle inscrit.

On peut utiliser le résultat précédent d’un angle inscrit dont un côté contient le centre du cercle en divisant l’angle inscrit 𝐴𝐶𝐵 en deux angles inscrits 𝐴𝐶𝐷 et 𝐷𝐶𝐵 qui ont chacun un côté passant par le centre du cercle (comme 𝐶𝐷 est un diamètre du cercle).

On a 𝑚𝐴𝑀𝐷=2𝑚𝐴𝐶𝐷 et 𝑚𝐷𝑀𝐵=2𝑚𝐷𝐶𝐵.

Comme 𝑚𝐴𝑀𝐵=𝑚𝐴𝑀𝐷+𝑚𝐷𝑀𝐵 et 𝑚𝐴𝐶𝐵=𝑚𝐴𝐶𝐷+𝑚𝐷𝐶𝐵, on trouve 𝑚𝐴𝑀𝐵=2𝑚𝐴𝐶𝐷+2𝑚𝐷𝐶𝐵𝑚𝐴𝑀𝐵=2(𝑚𝐴𝐶𝐷+𝑚𝐷𝐶𝐵)𝑚𝐴𝑀𝐵=2𝑚𝐴𝐶𝐵.

Donc, 𝑚𝐴𝐶𝐵=12𝑚𝐴𝑀𝐵.

Enfin, on considère la troisième situation lorsque le centre du cercle 𝑀 est situé à l’extérieur de l’angle inscrit.

Comme pour la situation précédente, on considère les deux angles inscrits qui ont un côté passant par le centre du cercle, 𝐴𝐶𝐷 et 𝐵𝐶𝐷, 𝐶𝐷 est un diamètre du cercle.

Comme 𝑚𝐴𝑀𝐵=𝑚𝐴𝑀𝐷𝑚𝐵𝑀𝐷 et 𝑚𝐴𝐶𝐵=𝑚𝐴𝐶𝐷𝑚𝐵𝐶𝐷, on trouve 𝑚𝐴𝑀𝐵=2𝑚𝐴𝐶𝐷2𝑚𝐵𝐶𝐷𝑚𝐴𝑀𝐵=2(𝑚𝐴𝐶𝐷𝑚𝐵𝐶𝐷)𝑚𝐴𝑀𝐵=2𝑚𝐴𝐶𝐵.

Donc, 𝑚𝐴𝐶𝐵=12𝑚𝐴𝑀𝐵.

On a trouvé le même résultat pour les trois positions possibles du centre du cercle 𝑀 par rapport à l’angle inscrit:(i) sur un côté de l’angle inscrit, (ii) à l’intérieur de l’angle inscrit et (iii) à l’extérieur de l’angle inscrit.

On rappelle que la mesure d’un angle au centre interceptant un arc est égale à la mesure de cet arc.

Théorème : Théorème de l’angle inscrit

La mesure d’un angle inscrit interceptant un arc est égale à la moitié de la mesure de cet arc, c’est-à-dire à la moitié de la mesure de l’angle au centre interceptant cet arc.

Voyons maintenant avec le premier exemple comment utiliser ce théorème pour trouver la mesure d’un angle inscrit.

Exemple 1: Déterminer la mesure d’un angle inscrit à partir de la mesure de l’angle au centre interceptant le même arc

Déterminez 𝑚𝐴𝐶𝐷.

Réponse

Soit 𝑀 le centre du cercle. Il s’agit du point d’intersection de 𝐶𝐷 et 𝐴𝐵.

L’angle 𝐴𝐶𝐷 est inscrit parce que les points 𝐴, 𝐶 et 𝐷 sont situés sur le cercle. Les angles 𝐶𝑀𝐵 et 𝐴𝑀𝐷 sont opposés par le sommet et ont donc la même mesure, 72. L’angle 𝐴𝑀𝐷 est l’angle au centre interceptant le même arc que 𝐴𝐶𝐷. Le théorème de l’angle inscrit stipule que la mesure d’un angle inscrit interceptant un arc est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre interceptant cet arc.

Par conséquent, on a 𝑚𝐴𝐶𝐷=12𝑚𝐴𝑀𝐷𝑚𝐴𝐶𝐷=12×72𝑚𝐴𝐶𝐷=36.

Étudions un exemple impliquant la résolution d’équations linéaires.

Exemple 2: Déterminer la mesure d’un angle inscrit à partir de la mesure de son arc en résolvant deux équations linéaires

D’après la figure, quelle est la valeur de 𝑥?

Réponse

Dans le cercle de centre 𝑀, 𝐴𝐶𝐵 est un angle inscrit parce que les points 𝐴, 𝐶 et 𝐵 sont situés sur le cercle. L’angle au centre interceptant le même arc (arc majeur 𝐴𝐵) a une mesure de (2𝑥+8). Le théorème de l’angle inscrit stipule que la mesure d’un angle inscrit interceptant un arc est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre interceptant cet arc.

Par conséquent, on a 𝑚𝐴𝐶𝐵=12𝑚𝐴𝑀𝐵101=12(2𝑥+8)101=𝑥+41014=𝑥+44𝑥=97.

Étudions maintenant un exemple impliquant la mesure d’un arc et la résolution d’une équation linéaire.

Exemple 3: Résoudre des équations en utilisant la mesure d’un angle inscrit à partir de la mesure de son arc

Sachant que 𝑚𝐵𝐴𝐶=(𝑥+15), trouvez 𝑥.

Réponse

L’angle 𝐵𝐴𝐶 est un angle inscrit interceptant l’arc 𝐵𝐶 de mesure 118.

Le théorème de l’angle inscrit stipule que la mesure d’un angle inscrit interceptant un arc est égale à la moitié de la mesure de cet arc. Par conséquent, on a 𝑚𝐵𝐴𝐶=12𝑚𝐵𝐶𝑚𝐵𝐴𝐶=12×118=59.

De plus, on sait que 𝑚𝐵𝐴𝐶=(𝑥+15), par conséquent, 𝑥+15=59𝑥=5915𝑥=44.

Dans l’exemple suivant, nous allons résoudre un problème en plusieurs étapes où nous connaissons la mesure d’un arc.

Exemple 4: Déterminer la mesure d’un angle inscrit en utilisant la mesure de son arc

Déterminez 𝑚𝐷𝐶𝐵.

Réponse

L’angle 𝐴𝐷𝐵 est un angle inscrit interceptant l’arc 𝐴𝐵. Le théorème de l’angle inscrit stipule que la mesure d’un angle inscrit interceptant un arc est égale à la moitié de la mesure de cet arc. Par conséquent, on a 𝑚𝐴𝐷𝐵=12𝑚𝐴𝐵52=12×𝑚𝐴𝐵𝑚𝐴𝐵=2×52=104.

L’angle 𝐷𝐶𝐵 est un angle inscrit interceptant l’arc 𝐷𝐵=𝐴𝐵+𝐴𝐷. Par conséquent, 𝑚𝐷𝐵=𝑚𝐴𝐵+𝑚𝐴𝐷𝑚𝐷𝐵=104+60=164.

Le théorème de l’angle inscrit stipule que la mesure d’un angle inscrit interceptant un arc est égale à la moitié de la mesure de cet arc. Par conséquent, on a 𝑚𝐷𝐶𝐵=12𝑚𝐷𝐵𝑚𝐷𝐶𝐵=12×164=82.

Étudions un corollaire du théorème de l’angle inscrit lorsque l’angle est inscrit dans un demi-cercle (ce qui signifie que l’angle inscrit intercepte un arc de mesure 180) ou en d’autres termes, lorsque l’angle au centre est un angle plat (l’angle au centre 𝐴𝑀𝐵 a une mesure de 180).

Appliquer le théorème de l’angle inscrit nous donne 𝑚𝐴𝐶𝐵=12×180=90.

Corollaire : Angle inscrit dans un demi-cercle

Un angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit.

Résolvons maintenant un système d’équations linéaires pour déterminer la mesure d’un angle inscrit dans un demi-cercle.

Exemple 5: Déterminer la mesure d’un angle inscrit dans un demi-cercle

Sachant que 𝑚𝐶𝐴𝐵=31, trouvez 𝑦 et 𝑥.

Réponse

L’angle 𝐵𝐶𝐴 est inscrit dans un demi-cercle car 𝐴𝐵 est un diamètre du cercle. Un angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit. Par conséquent, on a 𝑚𝐵𝐶𝐴=𝑦=90.

De plus, la somme des angles dans un triangle est égale à 180, ce qui donne 𝑥+𝑦+31=180.

Substituer la valeur de 𝑦 que l’on a trouvée dans cette équation donne 𝑥+90+31=180𝑥+121=180𝑥=180121=59.

On a trouvé que 𝑦=90𝑥=59.et

Dans le dernier exemple, nous allons résoudre un problème impliquant un angle inscrit dans un demi-cercle et la résolution d’une équation.

Exemple 6: Résoudre des équations à l’aide de la mesure d’un angle inscrit dans un demi-cercle

Sachant que 𝑚𝐴𝐵𝐶=(6𝑥+15) et 𝑚𝐶𝐴𝐵=(11𝑥10), déterminez la valeur de 𝑥.

Réponse

L’angle 𝐵𝐶𝐴 est inscrit dans un demi-cercle car 𝐴𝐵 est un diamètre du cercle. Un angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit. Par conséquent, on a 𝑚𝐵𝐶𝐴=90.

La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180;dans le triangle 𝐴𝐵𝐶, on a donc 𝑚𝐶𝐴𝐵+𝑚𝐴𝐵𝐶+90=180𝑚𝐶𝐴𝐵+𝑚𝐴𝐵𝐶=9011𝑥10+6𝑥+15=9017𝑥+5=9017𝑥=905=85𝑥=85÷17𝑥=5.

Résumons les points clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Un angle inscrit est un angle dont le sommet se situe sur le cercle et dont les côtés contiennent deux cordes du cercle.
  • Le théorème de l’angle inscrit stipule que la mesure d’un angle inscrit interceptant un arc est égale à la moitié de la mesure de cet arc, c’est-à-dire à la moitié de la mesure de l’angle au centre interceptant cet arc.
  • Un corollaire du théorème de l’angle inscrit est qu’un angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit.

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