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Vidéo de la leçon : Angles inscrits dans un cercle Mathématiques

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment trouver les mesures des angles inscrits en utilisant la relation entre les angles et les arcs.

15:44

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer les mesures des angles inscrits en utilisant la relation entre les angles et les arcs.

Avant de parler de ces relations entre les angles, rappelons-nous ce qu’est un angle inscrit. C’est un angle dont le sommet et les deux extrémités se situent tous sur la circonférence du cercle, à l’extérieur du cercle. Nous pourrions mesurer cet angle inscrit en degrés. Si cet angle inscrit mesure 𝑎 degrés, alors l’arc formé entre ces deux extrémités sera de deux 𝑎 degrés. Autrement dit, un angle inscrit mesure la moitié de l’arc intercepté formé par cet angle. Si nous avons un autre angle inscrit, qui a les mêmes extrémités que le premier, cet angle mesurera également 𝑎 degrés car 𝑎 est la moitié de l’arc formé par ces extrémités, qui est de deux 𝑎 ici.

Il convient également de noter un cas particulier. C’est le cas où l’angle inscrit a des extrémités qui sont à chaque extrémité du diamètre d’un cercle. Dans ce cas, l’arc intercepté est de 180 degrés, ce qui fait de l’angle inscrit un angle droit. Et encore une fois, nous pouvons déplacer ce sommet et former toujours un angle droit tant que les extrémités ne changent pas.

Avant de continuer, nous devons également nous rappeler des angles au centre. Dans un angle au centre, le sommet est le centre du cercle. Et lorsque nous avons affaire à un angle au centre, sa mesure d’angle sera égale à la mesure d’angle de l’arc intercepté. Vu la façon dont nous l’avons dessiné ici, il sera égal à deux 𝑎. Et cela signifie que lorsqu’un angle inscrit partage les extrémités avec un angle au centre, l’angle inscrit sera la moitié de l’angle au centre.

Une autre chose que nous devons savoir sur les arcs et les cercles est ce qui se passe lorsque nous avons des cordes parallèles. Si nous avons des cordes comme celles-ci qui sont parallèles, l’arc 𝐴𝐷 sera égal à l’arc 𝐵𝐶. C’est-à-dire que dans un cercle, les arcs entre cordes parallèles sont superposables. Dans le cercle que nous avons tracé ici, la mesure de l’arc 𝐴𝐷 sera égale à la mesure de l’arc 𝐵𝐶. Nous sommes maintenant prêts à utiliser ces théorèmes sur le cercle pour déterminer des angles inconnus.

Sur la figure, 𝑂 est le centre et la mesure de l’angle 𝑂𝐴𝐵 est égale à 59,5 degrés. Quelle est la mesure de l’angle 𝐴𝑂𝐵 ? Quelle est la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐵 ?

On nous dit que 𝑂 est le centre de ce cercle et que la mesure de l’angle 𝑂𝐴𝐵 est de 59,5 degrés. Nous voulons déterminer la mesure de l’angle 𝐴𝑂𝐵 et la mesure de 𝐴𝐶𝐵. On voit que les points 𝐴, 𝑂 et 𝐵 forment un triangle. Le segment 𝑂𝐵 et le segment 𝑂𝐴 sont tous deux des rayons de ce cercle, car tout segment tracé du centre du cercle à la circonférence du cercle sera un rayon. Cela signifie que nous pouvons dire que le segment 𝑂𝐴 est égal au segment 𝑂𝐵. Et cela signifiera que le triangle 𝐴𝑂𝐵 est un triangle isocèle.

Dans un triangle isocèle, les deux angles opposés aux rayons sont égaux l’un à l’autre. Et cela signifie que nous pourrions dire que l’angle 𝐴𝐵𝑂 est également égal à 59,5 degrés. Étant donné que ces trois angles forment un triangle, leurs mesures doivent avoir une somme de 180 degrés. Donc, nous substituons les valeurs que nous connaissons à l’angle 𝑂𝐴𝐵 et à l’angle 𝐴𝐵𝑂. Nous additionnons les mesures des deux angles connus et nous obtenons 119 degrés. Puis pour déterminer la mesure de l’angle 𝐴𝑂𝐵, nous soustrayons 119 degrés aux deux côtés, et nous trouvons que l’angle 𝐴𝑂𝐵 est égal à 61 degrés. Voilà la réponse à la première partie.

La deuxième partie est un peu plus difficile. Nous remarquons que ces deux angles partagent les extrémités 𝐴, 𝐵, ce qui signifie qu’ils interceptent tous deux l’arc 𝐴𝐵. Mais nous devons apporter une clarification ici. L’angle 𝐴𝑂𝐵 est un angle au centre interceptant l’arc 𝐴𝐵, tandis que l’angle 𝐴𝐶𝐵 est un angle inscrit interceptant l’arc 𝐴𝐵. Et nous nous souvenons que l’angle au centre interceptant deux points sur un cercle mesure le double de l’angle inscrit interceptant ces deux points. Nous pourrions représenter cela ainsi : si l’angle au centre mesure deux 𝑎, l’angle inscrit interceptant les mêmes points sera de 𝑎 degrés.

Par conséquent, nous pouvons dire que la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐵 sera égale à la moitié de la mesure de l’angle 𝐴𝑂𝐵. Donc, on remplace l’angle 𝐴𝑂𝐵 par 61 degrés. La moitié de 61 degrés vaut 30,5 degrés. Donc, la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐵 est égale à 30,5 degrés.

Voici un autre exemple.

D’après la figure, que vaut 𝑥 ?

Commençons par les informations données. Nous avons l’angle 𝐴𝐶𝐵, qui mesure 101 degrés. Et nous avons l’angle 𝐴𝑀𝐵. Dans ce cas, nous parlons de l’angle rentrant de l’angle 𝐴𝑀𝐵. C’est celui qui est supérieur à 180 degrés, qui mesure deux 𝑥 plus huit degrés. L’angle 𝐴𝐶𝐵 et l’angle 𝐴𝑀𝐵 partagent les extrémités 𝐴 et 𝐵. Mais comme le sommet de l’angle 𝐴𝑀𝐵 est le centre du cercle, nous disons que l’angle 𝐴𝑀𝐵 est un angle au centre pour ce cercle. Alors que le sommet de l’angle 𝐴𝐶𝐵 est à l’extérieur du cercle, l’angle 𝐴𝐶𝐵 est un angle inscrit du cercle. Et ces trois faits nous indiquent le théorème de l’angle au centre.

Le théorème de l’angle au centre nous dit que lorsqu’un angle au centre et un angle inscrit partagent les mêmes extrémités, la mesure de l’angle au centre sera le double de celle de l’angle inscrit. Sur cette figure, l’angle inscrit est de 𝑎 degrés, donc l’angle au centre sera de deux 𝑎 degrés. Ainsi, nous pouvons dire que la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐵 va être égale à deux fois la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐵. La mesure de l’angle au centre sera égale à deux fois la mesure de l’angle inscrit. Donc, nous pouvons dire que deux 𝑥 plus huit sera égal à deux fois 101. Lorsque nous multiplions deux par 101, nous obtenons 202. Et maintenant, nous sommes prêts à déterminer la valeur de 𝑥. Soustrayez huit aux deux côtés. Deux 𝑥 est égal à 194. Ensuite, divisez les deux côtés par deux, nous constatons que 𝑥 est égal à 97.

Dans notre exemple suivant, nous avons des cordes sécantes dans un cercle.

Étant donné que la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐷 est égale à 44 degrés et que la mesure de l’angle 𝐶𝐸𝐴 est égale à 72 degrés, déterminez 𝑥, 𝑦 et 𝑧.

Commençons par énumérer ce que nous savons. La mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐷 est égale à 44 degrés, l’angle 𝐶𝐸𝐴 mesure 72 degrés. Ces deux cordes se coupent en le point 𝐸. Cela signifie que nous pouvons dire que l’angle 𝐵𝐸𝐷 et l’angle 𝐶𝐸𝐴 sont des angles opposés par le sommet, donc ils seront de même mesure. Ce sont des angles superposables. Et dans ce cas, cela signifie que l’angle 𝐵𝐸𝐷 est également égal à 72 degrés. Les points 𝐸, 𝐵 et 𝐷 forment un triangle, ce qui signifie que les mesures de leurs trois angles doivent avoir une somme de 180 degrés. Et nous pouvons remplacer ces trois angles par les valeurs connues dans cette équation. 72 plus 44 est égal à 116. 116 plus 𝑧 est égal à 180. Donc, nous soustrayons 116 aux deux côtés. Et nous constatons que 𝑧 est égal à 64 degrés.

Nous ne pourrons pas suivre la même démarche pour déterminer 𝑥 et 𝑦. Donc, nous devrons penser à certains théorèmes du cercle. Si nous regardons l’angle inscrit 𝐵, nous voyons qu’il a des extrémités le long du cercle en 𝐴 et 𝐷 et que son arc intercepté est l’arc 𝐴𝐷. Nous pourrions les exprimer ainsi : l’arc 𝐴𝐷 est intercepté par l’angle 𝐴𝐵𝐷. Mais il y a un autre angle dans ce cercle qui intercepte également le même arc, et ce serait l’angle 𝐴𝐶𝐷. Comme ces deux angles interceptant le même arc, nous pouvons dire que la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐷 sera égale à la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐷. Et cela signifie que 𝑥 sera égal à 44 degrés.

Et comme les mesures des trois angles doivent avoir une somme de 180 degrés, nous pouvons dire que l’angle 𝑦 va mesurer 64 degrés. Si nous voulons le confirmer, nous pourrons voir que l’angle 𝐶𝐴𝐵 intercepte l’arc 𝐶𝐵 et que l’angle 𝐶𝐷𝐵 intercepte l’arc 𝐶𝐵. Donc, nous constatons que 𝑥 est bien égal à 44 degrés, et que 𝑦 et 𝑧 égalent 64 degrés.

Dans notre prochain exemple, nous aurons un diamètre à considérer.

Étant donné que le segment 𝐴𝐵 est un diamètre dans le cercle de centre 𝑀 et que la mesure de l’angle 𝐵𝑀𝐷 est égale à 59 degrés, déterminez la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐷 en degrés.

Écrivons les informations données sur la figure. L’angle 𝐵𝑀𝐷 mesure 59 degrés, et nous cherchons à déterminer la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐷. Si nous commençons par ce que nous savons de l’angle 𝐵𝑀𝐷, comme le sommet de 𝐵𝑀𝐷 est le centre du cercle, alors 𝐵𝑀𝐷 est un angle au centre. Et comme l’angle 𝐵𝑀𝐷 est un angle au centre, alors son arc intercepté, 𝐵𝐷, mesure également 59 degrés. Nous nous intéressons également à l’angle 𝐴𝐶𝐷. Mais l’angle 𝐴𝐶𝐷 n’est pas un angle au centre. C’est un angle inscrit parce que son sommet est sur la circonférence du cercle, tout comme les deux extrémités.

L’arc associé à l’angle 𝐴𝐶𝐷 serait l’arc 𝐴𝐷. Nous avons une mesure partielle pour cet arc, mais il nous manque la distance de 𝐴 à 𝐵. Mais comme nous savons que 𝐴𝐵 est un diamètre, il coupe alors le cercle en deux. Et cela signifie que la mesure de l’arc 𝐴𝐵 est de 180 degrés. Si l’arc 𝐴𝐵 est égal à 180 et que l’arc 𝐵𝐷 est égal à 59 degrés, nous pouvons en déduire que la mesure de l’arc 𝐴𝐷 est égale à la mesure de l’arc 𝐴𝐵 plus la mesure de l’arc 𝐵𝐷.

Si nous écrivons les valeurs connues, la mesure de l’arc 𝐴𝐷 est de 239 degrés. Comme l’angle 𝐴𝐶𝐷 est un angle inscrit et qu’il a une mesure d’arc intercepté de 239 degrés, nous pouvons déterminer la mesure exacte de l’angle 𝐴𝐶𝐷. La mesure de l’angle inscrit 𝐴𝐶𝐷 sera la moitié de son arc intercepté, 𝐴𝐷. Puisque cet arc est de 239 degrés, nous calculons la moitié et nous obtenons 119,5 degrés pour la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐷.

Dans notre dernier exemple, nous verrons comment les cordes parallèles peuvent nous fournir des informations sur les mesures d’arc.

Étant donné que le segment 𝐴𝐵 est un diamètre du cercle et que le segment 𝐷𝐶 est parallèle au segment 𝐴𝐵, déterminez la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐷.

Nous nous intéressons à la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐷 ; c’est cette mesure. Et nous avons reçu d’autres informations. Nous savons que le segment 𝐷𝐶 est parallèle au segment 𝐴𝐵. Nous savons que le segment 𝐴𝐵 est le diamètre. Et sur la figure, la mesure de l’angle 𝐶𝐵𝐴 a été étiquetée comme 68,5 degrés.

À première vue, il ne semble pas qu’il y ait une démarche claire à suivre ici. Mais si nous commençons par la mesure de l’angle 𝐶𝐴𝐵, en utilisant cette information, nous pourrions déterminer la mesure de l’arc 𝐶𝐴. Puisque l’angle 𝐶𝐴𝐵 est un angle inscrit, la mesure de son arc sera deux fois la mesure de cet angle inscrit. L’arc 𝐴𝐶 sera alors égal à deux fois 68,5, soit 137 degrés. Et comme nous savons que le segment 𝐴𝐵 est un diamètre, l’arc 𝐴𝐵 doit être égal à 180 degrés. On peut aussi dire que l’arc 𝐴𝐵 sera égal à l’arc 𝐵𝐶 plus l’arc 𝐶𝐴.

Nous savons que 𝐴𝐵 doit mesurer 180 degrés et que l’arc 𝐶𝐴 est de 137 degrés. Pour déterminer la mesure de l’arc 𝐵𝐶, nous pouvons soustraire 137 aux deux côtés de l’équation. Nous constatons alors que la mesure de l’arc 𝐵𝐶 est de 43 degrés. Et c’est là que nos cordes parallèles entrent en jeu. Lorsque vous avez des cordes parallèles, leurs arcs interceptés vont être superposables. Et cela signifie que l’arc 𝐶𝐵 est égal à 43 degrés, l’arc 𝐷𝐴 mesure également 43 degrés.

Et à ce stade, nous avons commencé à voir que l’arc 𝐷𝐴 est intercepté par l’angle 𝐴𝐸𝐷. Puisque l’angle 𝐴𝐸𝐷 est un angle inscrit, sa mesure d’angle, la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐷, sera égale à la moitié de la mesure de l’arc 𝐴𝐷. Nous savons que la mesure de l’arc 𝐴𝐷 est de 43 degrés et que la moitié de 43 vaut 21,5. Donc, nous pouvons conclure que la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐷 est de 21,5 degrés.

Avant de terminer, passons rapidement en revue les points clés évoqués. Si vous avez un angle au centre qui mesure deux 𝑎 degrés, son arc intercepté mesurera également deux 𝑎 degrés. Par contre, un angle inscrit qui intercepte le même arc aura la moitié de la mesure de cet angle, à savoir 𝑎 degrés seulement. On pourrait l’exprimer ainsi : la mesure de l’angle au centre interceptant deux points sur un cercle est le double de l’angle inscrit interceptant ces deux mêmes points. On peut aussi dire que les angles interceptant le même arc sur un cercle seront égaux. Et enfin, lorsque vous avez des cordes parallèles, leurs arcs interceptés seront toujours superposables.

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